高中数学选修4-4习题(含答案)

高中数学选修4-4习
题(含答案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
统考作业题目——4-4
6.2
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,
(2x t t y t =+⎧⎨
=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值. 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与O 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线O 的极坐标方程为：O =√2sin (O −O
4)
，点
P (2cos O ,2sin O +2)，参数O ∈[0,2O ]． （I ）求点O 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点O 到直线O 距离的最大值．
1、【详解】
（1）12,
2x t y t =+⎧⎨
=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=
（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=
=
所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r = 2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2
，且参数α∈[0,2π]，
消参得：x 2+(y −2)2=4
所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=
√2sin(θ−π
4)
所以ρ√2sin (θ−π
4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，
所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =
√22
=4√2，
P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√22
=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π
4
)+
4|
当a =7
4π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．
6.3
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{
x =cosθy =√3sinθ
（θ为
参数），曲线C 2的参数方程为{
x =4−
√22t y =4+
√22
t
（t ∈R ，t 为参数）.
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；
(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.
4．在直角坐标系xOy 中曲线1C
的参数方程为cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以
坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐
标方程为sin 4πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
3、【详解】
（1）对曲线C 1：cos 2
θ=x 2
，sin 2
θ=y 23
，
∴曲线C 1的普通方程为x 2+
y 23
=1．
对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．
又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π
4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=
4√2sin(θ+π4
)。

（2）设曲线C 1上的任意一点为P( cosθ , √3sinθ )， 则点P 到曲线C 2：x +y −8=0的距离d =
√3sinθ−8|
√2
=
|2sin(θ+π6
)−8|
√2，
当sin(θ+π
6)=1，即θ=π
3时，d min =3√2，此时点P 的坐标为( 1
2 , 3
2 )． 4、【详解】
（1）曲线
1C 的参数方程为cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），
移项后两边平方可得，2
2
22cos sin 13
y x αα+=+=
即有椭圆2
2
1:13
y C x +=； 曲线
2C 的极坐标方程为sin 4
π
ρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
即有22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得40x y +-=， 即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=；
（2）设(cos )P αα，
由P
到直线的距离为d =
=
当sin 16x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时，||PQ
， 此时可取3π
α=，即有13,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
6.4
5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =2cosθy =√3sinθ
（θ为参
数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−√3=0．若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ,B ，且P(√3,0)，求|PA|⋅|PB|的值．
6．已知直线l 的参数方程为315
(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2sin 4cos 0ρθθ-=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
5、
因为x =ρcosθ,y =ρsinθ，所以直线l 的直角坐标方程为x −y −√3=0， 其倾斜角为π
4，过点P(√3,0)，
所以直线l 的参数方程为{x =√3+tcos π
4
y =tsin π4 （t 为参数），即{x =√3+√2
2t y =√22t （t 为参数）．
曲线C 的参数方程{x =2cosθy =√3sinθ （θ为参数）化为普通方程为x 24+y 2
3=1，
将{x =√3+√2
2t y =√2
2t 代入曲线C 的方程x 24+y 23=1，整理得7t 2+6√6t −6=
0，
Δ=(6√6)2−4×7×(−6)=384>0，
设点A ，B 对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1t 2=−6
7，所以|PA |⋅|PB |=|t 1t 2|=
67
．
6、【详解】
（Ⅰ）将315
(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=，即
故直线l 的普通方程为4340x y --=．
由2sin 4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得042=-x y ，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．
（Ⅱ）将315
45x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入24y x =，可得2415250t t --=，
设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12154
t t +=
，1225
4t t =-，
所以1225||||4
AB t t =-===， 故线段AB 的长为25
4
． 6.5
7．已知平面直角坐标系x0y ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点P(-1，2)，且倾斜角为
23
π
，圆C 的极坐标方程为)3
cos(2π
θρ+=。

(1)求圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；
(2)设直线l 与圆C 交于M 、N 两点。

求PM PN +的值。

8． 在以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中，曲线1C 的参
数方程为2
x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 在点),(00y x P 处的切线l 的极坐标
方程为ρ=
（1）求切线l 的直角坐标方程及切点P 的直角坐标；
（2）若切线l 和曲线2:
C 2cos 6sin 160ρθρθ--+=相交于不同的两点
,A B ，求
1||PA +1||
PB 的值.
7、【详解】 （1）
2cos ,3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
2cos sin ρρθθ∴=⋅-⋅
∴圆C
的方程：220x y x +-+=，直线l
的参数方程为1122x t y ⎧
=--⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t
为参数）
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程，得：
2
2
11222t ⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭11202t ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
120,0,t t ∴<<(
)12||||3PM PN t t +=-+=+8、【详解】
（1）切线l
的极坐标方程为ρ=，
∴cos 2sin 3θρθ-=，
则切线l
的直角坐标方程为230y --=，
∵曲线1C
的参数方程为2
x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为y x 22=，即2
12
y x =
，则y x '=， 又切线l 的斜率为3
，∴0x =，此时032
y =，
故切点P
的直角坐标为3
)2.
（2）切线l 的倾斜角为π
3
，
∴切线l
的参数方程为1232x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
曲线2C
的极坐标方程为2cos 6sin 160ρθρθ--+=， ∴曲线2C
的直角坐标方程为226160x y y +--+=，
将12322x t y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入226160x y y +--+=，
得2410t -+=，设交点,A B 对应的参数分别是12,t t ，
则1212
14t t t t ⎧+=⎪⎪⎨
⎪⋅=⎪⎩
，∴121212
11214t t t t t t ++=== 故|
|1
||1PB PA +310=.
6.10
9．已知曲线C1的参数方程为{x=4+5cost
y=5+5sint(t为参数)，以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2−√2ρsin(θ+π
4
)=0，曲线E的极坐标方程为ρ=4cosθ.
（1）分别求曲线C和E的直角坐标方程；
（2）求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.
9、【详解】
（1）将{x=4+5cost,
y=5+5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)
2＋(y－5)2＝25
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将{x=ρcosθ,
y=ρsinθ代入x
2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，
由{x 2+y 2−8x −10y +16=0,x 2+y 2−2y =0
解得{x =1,y =1 或{x =0,y =2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π
4)，(2,π
2). 10、【详解】
（1）由题意，曲线C 的直角坐标方程为：ρ2−√2ρsin (θ+π
4)=0⇒ ρ2−ρsinθ−ρcosθ=0⇒x 2+y 2−x −y =0；
曲线E 的直角坐标方程为：ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x 2+y 2−4x =0. （2）由题意得：{x 2+y 2−x −y =0x 2+y 2−4x =0 得3x −y =0.
即所求直线的直角坐标方程为3x −y =0 6.11
11． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩参
数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆
2
π
）且经过极点的圆
（1）求曲线C 1的极坐标方程和C 2的普通方程； （2）已知射线(0)6
π
θρ=
≥分別与曲线C 1，C 2交于点A ，B （点B 异于坐标
原点O ），求线段AB 的长
12．选修4-4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩，（t 为参数），在
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
1:2cos C ρθ=，2:2cos 3C πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭.
（Ⅰ）求1C 与2C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若直线l 与曲线1C ，2C 分别相交于异于原点的点M ，N ，求MN 的最大值.
11、【详解】
（1）由曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ得
2
214
x y +=， 又cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入2214x y +=得1C 的极坐标方程为
222244cos 4sin 13sin ρθθθ
=
=++，
由曲线2C
是圆心的极坐标为2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
且经过极点的圆.
可得其极坐标方程为ρθ=， 从而得2C
的普通方程为220x y +-=. （2）将(0)6
π
θρ=≥
代入ρθ=
得6
B π
ρ==
又将(0)6
π
θρ=
≥代入2224
cos 4sin ρθθ
=
+
得
7A ρ=
=
，
12、【详解】
解：（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程为222x y x +=， 曲线2C
的直角坐标方程为220x y x +-=.
由22
22
20x y x x y x ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩
解得00x y =⎧⎨=⎩
或322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故1C 与2C 交点的直角坐标为()0,0
，3,22⎛
⎝⎭
. （Ⅱ）不妨设0απ≤<，点M ，N 的极坐标分别为()1,ρα，()2,ρα
所以122cos 2cos 3MN πρραα⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭
(
)
2cos cos cos ααααα=-+=
2cos 3πα⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
所以当3
2π
α=时，MN 取得最大值2. 6.12
13． 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+√5cosφy =2+√5sinφ
（φ为参
数），直线l 的方程为y =√3x ．
（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程和直线l的极坐标方程；
(ρ∈R)，设曲线C与（2）在（1）的条件下，直线m的极坐标方程为θ=π
6
直线l的交于点O和点A，曲线C与直线m的交于点O和点B，求ΔOAB的面积．
13、【详解】
（1）由(x−1)2+(y−2)2=(√5cosφ)2+(√5sinφ)2=5，
得曲线C的普通方程为(x−1)2+(y−2)2=5，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入该式化简得曲线C的极坐标方程为：ρ=
2cosθ+4sinθ.
因为直线l：y=√3x是过原点且倾斜角为π
3
的直线，
所以直线l的极坐标方程为：θ=π
3
(ρ∈R)．
（2）把θ=π
3
代入ρ=2cosθ+4sinθ得ρ=1+2√3，故|OA|=1+2√3，
把θ=π
6
代入ρ=2cosθ+4sinθ得ρ=2+√3，故|OB|=2+√3，
因为∠AOB=π
3−π
6
=π
6
,
所以ΔOAB的面积为S=1
2|OA|⋅|OB|⋅sinπ
6
=8+5√3
4
.。