数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），，
推论公式： ，
等差中项：成等差数列,
等差数列前项和： 性质：是等差数列
（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2；
（3）若三个成等差数列，可设为； （4）若是等差数列，且前项和分别为，则
； （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二
次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界
项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数n 2的等差数列，有
1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-==+
{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，21
21
m m m m a S b T --={}n a 2
n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2
n S an bn =+{}n a 100a d ><，10
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，10
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}
n a
nd S S =-奇偶，
1+=
n n
a a S S 偶
奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，
有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,
n a S S =-偶奇， .
1
-=
n n S S 偶
奇 2. 等比数列的定义与性质
定义：
（为常数，），.推论公式：
且
等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，
偶数项同号
等比数列前n 项和公式：
性质：是等比数列
（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。

（2）仍为等比数列,公比为n q 。

. （3）是正项等比数列，则
是等比数列。

注意：由求时应注意什么？
时，； 时，.
3.求数列通项公式的常用方法
（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）
{}n a 1
n n
a q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2
G xy ⇒
=G ={}n a m n p q +=+m
n p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --，，……{}n a n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-
（2）已知的关系与n 或的关系时与n n a s ，求。

⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(1
1n s s n s a n n n
例： 数列的前项和．求数列的通项公式;
解：当时
，
当时
数列的通项公式为．
练习：设数列的前项和为，且．求数列
的通项公式。

（3）求差（商）法
例：数列，，求 解： 时，，∴
① 时， ② ① —②得：，∴，∴
练习：在数列 中， ，
, 求数列 的通项
公式。

(4)累乘法
形如
的递推式
由
1()n n a f n a +=，则31212
(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， n S n a {}n a 12211125222n
n a a a n +++=+……n a 1n =11
2152
a =⨯+114a =122111
25222n n a a a n +++=+……2n ≥121
21111
215222
n n a a a n --+++=-+……122n n a =1
2n n a +=114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩
两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==⋅∏ 例：数列中，，求
解 ，∴又，∴. 练习：已知
, 求数列 的通项公式。

（5）累加法
形如 的递推式。

由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴ 例：已知数列满足 , 求 与 的值。

（2）求数列
的通项公式
练习：已知数列中， ，（）．求数列的通
项公式；
（6）构造法
形如（为常数，）的递推式。

可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
{}n a 1131
n n a n
a a n +==+，n a 3212112123n n a a a n a a a n --= (11)
n a a n
=13a =3n a n =
110()n n a a f n a a --==，n a 2n ≥21321(2)
(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫
⎪-=⎪
⎬⎪⎪-=⎭…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠，，()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-(1)c x d -=1d x c =
-1n d a c ⎧
⎫+⎨⎬-⎩⎭
1
1d a c c +-，
∴，∴ 例：已知数列
满足
，
.求数列
的通项公式；
解：（1），， 而，故数列是首项为2，公
比为2的等比数列，
，因此．
练习1：已知数列 中
，求数列{}n a 的通项公式。

练习2：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（7）倒数法 例：，求 由已知得：
，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴
练习：已知数列
的首项， 。

求数列
的通项公式。

总结：公式法、利用
{
1(2)1(1)
n n S S n S n n a --≥==
、累加法、累乘法.构造等差或等比
1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法。

4. 求数列前n 项和的常用方法
（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和
等差数列前项和： 1111n n d d a a c c c -⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭·1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝
⎭11212
n
n n a a a a +==
+，n a 1211122n n n n a a a a ++==+11112
n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
11
1a =12()()11111122n n n a =+-=+·2
1n a n =
+n ()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
等比数列前n 项和公式：
常见公式：
,
（2）错位相减法
给 两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式
与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n 项的和 .一般适用于为等差数列，
为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
例：
①
②
① —②
时，，时， 练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，，
． （1）求数列和的通项公式
（2）数列
满足
，求数列
的前项和
．
(2) 裂项法
把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。

常见形式：①若是公差为的等差数列，则
②
{}n a {}n b {}n n a b n n n S qS -n S q
{}n b 231
1234n n S x x x nx -=+++++……()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……()2111n n
n x S x x x nx --=++++-……()()
2
111n
n
n
x nx S x
x -=
---1x =()
11232
n n n S n +=++++=
……{}n a d
③
④
⑤
如：是公差为的等差数列，求 解：由
∴ 练习：已知数列的前n 项和，
①求数列
的通项公式； ②求数列的前n 项和。

（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则
由
∴原式
（3）分组求和法
有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个
等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。

一般适用于为等差
{}n a d 11
1
n
k k k a a =+∑
()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫
==-≠ ⎪+⎝⎭
·11111223111111111111n
n
k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑……121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭
............()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++ (2)
2
()1x f x x =+2
222222
111()111111x x x f x f x x x x
x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1111
1(1)(2)(3)(4)11132342
2f f f f f f f ⎡
⎤⎡
⎤⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦{}n a
数列，为等比数列，求数列 前项和。

练习：已知数列为等差数列，公差为d ，为等比数列，公比为q ，且d=q=2， ,
① 求 的通项公式， ②求 的前 项和 。

②
{}n b n {}n a {}n b。