2018年高考数学一轮复习精品试题第12讲 函数与方程

第十二讲 函数与方程
班级________姓名________考号________日期________得分________ 一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.方程x-1x
=0的实数解所在的区间是() A.(-∞,-1)B.(-2,2)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析:令f(x)=x-
1x
,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B 合适. 答案:B
2.下列函数图象与x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是
()
解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除A ､B,因为A ､B 不符合f(a)·f(b)<0.
答案:C
3.若函数f(x)=ax+b 有一个零点2,则方程bx 2
-ax=0的根是()
A.0,2
B.0,
C.0, -
D.2,-
解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,∴b=-2a,则方程bx 2-ax=0变为2ax 2+ax=0.∵a≠0,∴2x 2+x=0,∴x 1=0,x 2=- . 答案:C
4.(2010·合肥模拟)方程x 2
+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是() (), 23 B..52323.,1,1.,55A C D -⎡⎤⎛⎤-⎛⎫--+∞+∞ ⎪⎝⎭
∞ ⎢⎥⎥⎣⎦
⎝⎦
解析:设f(x)=x 2+ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)≤0且f(5)≥0即可,解得-235
≤a≤1. 答案:C
5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:
则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有()
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点.
答案:D
6.(2010·浙江)已知x 0是函数f(x)=2x +
11x -的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则() A.f(x 1)<0,f(x 2)<0
B.f(x 1)<0,f(x 2)>0
C.f(x 1)>0,f(x 2)<0
D.f(x 1)>0,f(x 2)>0
解析:由于函数g(x)=1111
x x =---在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x 在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x)<0,在(x 0,+∞)上f(x)>0,故选B.
答案:B
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.若函数f(x)=x 2
+ax+b 的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________.
解析:由于f(x)=x 2+ax+b 的两个零点是-2和3,即方程x 2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此231236
a a
b b -+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩,因此f(x)=x 2-x-6,所以不等式a·f(-2x)>0即-(4x 2+2x-6)>0,即2x 2+x-3<0,解集为{x|- <x<1}.
答案:{x|- <x<1}
8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?
答案:4
9.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=1x ,画出y=lg(x+2),y=1x
的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.
答案:2
10.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a 的零点个数不为0,则a 的最小值为________.
解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=22,0,2,
02,22, 2.
x x x x x -⎧⎪<<⎨⎪-⎩≤≥ 所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a 的最小值为2.
答案:2
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.已知二次函数f(x)=ax 2
+bx+c.
(1)若a>b>c 且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x 1、x 2∈R 且x 1<x 2,f(x 1)≠f(x 2),方程f(x)= [f(x 1)+f(x 2)]有两个不等实根,证明必有一实根属于(x 1,x 2).
证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b 2-4ac≥-4ac>0,
∴方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根,
所以函数f(x)有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)- [f(x 1)+f(x 2)],
则g(x 1)=f(x 1)- [f(x 1)+f(x 2)] =()()()()()()()()22121122112212212g x f x y f x f x g x g x ()()
2
()()
2()()()() f x f x .22
14f x f x f x f x f x f x f x f x o --=
--==-=-+⎡⎤⎣⎦∴-⎡⎤⎣⎦ ∵f(x 1)≠f(x 2),∴g(x 1)•g(x 2)<0.
∴g(x)=0在(x 1,x 2)内必有一实根.
评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.
12.若函数f(x)=22x +2x
a+a+1有零点,求实数a 的取值范围.
解:依题意,方程22x +2x a+a+1=0有实数根.
令2x =t(t>0),则t 2
+at+a+1=0, 2222211(1)2(1)2,111
22(1)2,(1)11
112,211
2a a a t t t t t t t t t t t t t t t +++-++-=+++=++-++++++---∴+∴+=由于≥≥故的取值范围是≤≤ 13.(1)m 为何值时,f(x)=x 2
+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x 2|+a 有4个零点,求实数a 的取值范围.
解:(1)①f(x)=x 2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0, 即4m 2-4(3m+4)=0,即m 2-3m-4=0,
∴m=4或m=-1.
②解法一:设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2.
则x 1+x 2=-2m,x 1•x 2=3m+4.
由题意,知 ()()()()()2121223404m 43m 40x 1x 10x 1x 2203421041,1,
51,0
m m m m m m m m m -->⎧⎪-+>⎨⎪+-+>⎩
><-⎧⎪⇒<⎨⎪⎧-+>⎪∆=+++>⎨⎪++>->⎩⇒⎩
或
∴-5<m<-1.
故m 的取值范围为(-5,-1).
解法二:由题意,知
0,1,
(1)0,2340,1,
12340.m f m m m m m ∆>⎧⎪->-⎨⎪->⎩
-->⎧⎪<⎨⎪-++>⎩
即
∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1).
(2)令f(x)=0,得|4x-x 2|+a=0,即|4x-x 2
|=-a.
令g(x)=|4x-x 2|,h(x)=-a.
作出g(x)、h(x)的图象
.
由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点. 故a 的取值范围为(-4,0).。