(第9讲)可控性和能控标准型

1 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 A AT 1 0 0 2 T 0 1 0 , b 3 , c 0 b c T 0 0 1 4 0 c b T 5 0 a2 a3 a4 1 0 0 0 a0 1 1 0 1 0 0 0 a1 2 T a 2 , b 0 , c 3 QC 0 0 1 0 4 a3 0 0 0 0 1 5 0 a4 0 0 0 0 0 0
1
e e 1 e e e t 3t t 3 t 2 e e e e 状态方程中强迫响应为
t 3t t 3t At
u
1
x 2 ( 0)

x2
2
1
x2
t x1 1 t (t ) A( t ) Bu( )d e u ( )d x 0 e 0 1 2p
7 0 0 0 0 0 5 0 x 4 0 u1 4)x u 0 7 5 2 0 1
•各个特征值不同 •输入矩阵中每行都不为零，系统能控。
四川理工自动化教研室 tgq77@
0 0 1 0 0 0 0 0 1 a4 QC b Ab A4b 0 0 1 a4 *1 0 1 a4 *1 * 2 1 a4 *1 * 2 * 3


四川理工自动化教研室
rankQ 5, 系统能控 C
tgq77@
称自有响应e 为可控模态；b1 0时
1t 1t
x1 (0) x1
b1

1
x1
u
x 2 ( 0)
b2
x1不可控，称e 为不可控模态。 2同理。 x 2、对1 2。当b1和b2不为零时，x1和x2皆可控，
x2
2

x2
对任意初态可控制到任 意指定状态。 3、对1 2。则两模态相同，强迫 响应分量之比永远
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Agenda
• 能控性/可控性定义
• 能控性/可控性判据 • 变换为能控/可控标准型
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tgq77@
第二能控标准型
b4 s b3 s b2 s b1s b0 Y ( s) 5 U (s) s a4 s 4 a3 s 3 a2 s 2 a1s a0
x1 p (t ) x2 p (t )
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强迫响应仅是一维的，不能将初态控制到任意指定态。 tgq77@
能控/可控性定义
• 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始 状态转移到期望状态?
如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔 [to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定 的终态x(tf) ，则称此状态x(to)是完全可控的，简 称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，
4 3 2
0 0 A 0 0 a0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 a3
a1 a2
0 0 0 0 0 , b 0, c b0 b1 b2 b3 b4 1 0 1 a4
x
P
c
y
1
P
tgq77@
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能控系统可化为能控标准型
• 如果系统能控，则一定能通过状态变换，将 系统化为能控标准型 x Ax bu SISO y cx 系统能控，即能控阵满秩
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rankQC 5, 系统能控
0 0 0 0 1
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状态变换不改变系统能控性
状态变换
x Ax bu x A x b u x Px y cx y cx x P 1 APx P 1bu y cPx 2 n1 Qc b Ab A b A b
7 0 0 0 2)x 0 5 0 x 5 u 0 7 0 1
7 0 0 0 1 0 5 0 x 4 0 u1 3)x u 0 0 1 7 5 2
从任意初始状态出发，在有限时间内，通过施 加控制作用，能否使系统状态转移至期望终态？
• 能观性：输出变量对状态变量的反映能力如何?
在有限时间内，能否由输出变量的测量值，计 算出系统的各个状态？
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可控/能控性实例猜想
x1 a11 x1 x2 a22 x2 b2u
x1 (0) x1
猜想：
x1和u无直接联系，但 通过 x2和u有间接联 系，u也许可以控制x1。

a11 a12
x1 c1
y
u
b2
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x 2 ( 0)

x2
a22 x2
c2
tgq77@
可控/能控性实例猜想
xi和u有联系就可控吗？猜想： 当联系的通道不止 一个时，各通道的控制作用之间是否抵消？如果抵 消，则会造成u不能控制xi。 x1 (0) x1 2 1 x1 1 x1 x1 u x x 1 2 1 2 2 1 2
四川理工自动化教研室 tgq77@
对角阵中的能控/可控性模态
1 b1 x1 1 x1 b1u x x b u x x b u 2 2 2 2 2 2 1、对1 2。显然，b1 0时x1可控，
现代控制理论
（第9讲 2009年4月18日）
可控性/能控性定义
能控性判据
能控标准型
自动化教研室 谭功全
为什么要有能控性/能观性概念？
x Ax Bu ( A, B, C, D)：y Cx Du
• 怎样更好地了解和控制系统？
• 能控性：控制变量对状态变量的支配能力如何?
是b1 : b2 , 可控子空间为维，其坐标满足 1 : x2 b1 : b2 1 x
四川理工自动化教研室
是1维的，不能充满整个 维空间，显然系统不可 2 控。 tgq77@
约当块中的能控/可控性模态
1 b1 x x b u 2 x1 x1 x2 b1u x2 x2 b2u
则系统不可控）。
如果所有的初始状态都是完全能控的，则称系 统是状态完全能控的。
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能控/可控性评注
1. 初态取状态空间任意点，终态取原点，相当于调节实现问 题。初态取原点，终态取任意点，相当于跟踪可实现问题。 2. 对线性定常系统说来，调节问题与跟踪问题等价。 3. 对于时变系统，可控的时间区间大小与初始时刻有关，对定 常系统，可控时间区间与初始时刻无关。故后者不必强调特 定时间段。 4. 定义中的u是没有限制条件的。 5. 对线性系统作非奇异线性变换（也就是坐标变换），状态空 间的原点不变。状态空间中某一点在变换前后分别为x和x’， 则u在有限时间内把x转移到原点也就意味着同样的u可以把 x’转移到原点。即非奇异变换不改变系统的可控性。 6. 对不完全可控系统，状态空间可以分解为可控状态子空间及 其正交补空间（不可控状态子空间）。 7. 外扰不影响系统的可控性，输出不涉及可控性。
例题：求使系统能控的参数
系统状态方程已知。当 输入矩阵如何取值时， 系统能控？
1 1 b1 x x b u 1 2
Q c b Ab b1 b2
1b1 b2 1b2 1b1 b2 b22 1b2
b1 det Q c b2
b2 0 时系统能控
四川理工自动化教研室 tgq77@
判断Jordan型是否能控？
• 要求：各个Jordan块对应的特征值不同 • 找到每个Jordan块的最后一行，找出输入矩阵中与 之对应的行 • 如果输入矩阵中对应的行不全为零，系统能控。
0 4 1 0 0 4 0 x 4 u 1)x 0 3 0 2 0 4 1 4 2 0 4 0 x 0 0 u1 2)x u 2 0 3 0 0 2
Qc
b

Ab
A b A
2
n1
b

A m b ( P1 AP)( P1 AP) P1b P1 Amb
Qc P1Qc rankQ rankQc c 四川理工自动化教研室
tgq77@
状态变换图示
u

y
u
b
P 1 P
x

A
x1 (0) x1
猜想：

a11
x1和u无直接间接联系， 不能用u改变x1。 x2 和u有直接联系，u可 以控制x2。
x1 c1
y
u
b2
四川理工自动化教研室
x 2 ( 0)

x2
a22 x2
c2
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可控/能控性实例猜想
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a 22 x2 b2 u
LTI连续系统
QC [B AB A B A B]
2
n1
则系统状态完全可控的充要条件是
rankQ n C
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n 是系统的阶数
思考：单输入、多输入情况下能控矩阵的维数 分别是什么？
tgq77@
判断对角型是否能控？
7 0 0 2 1)x 0 5 0 x 5 u 0 7 0 1
四川理工自动化教研室 tgq77@
Agenda
• 能控性/可控性定义
• 能控性/可控性判据 • 变换为能控/可控标准型
四川理工自动化教研室
tgq77@
能控性判别矩阵
x Ax Bu ( A, B, C, D)：y Cx Du 定义能控性判别矩阵
x1 (0) x1
b1


x1
u
b2
x 2 ( 0) 1

x2
x2
1、对b2 0时x2可控，称et为可控模态；

b2 0时x2不可控，称et为不可控模态。 2、b2 0时。若b1 0，则x1受x2间接影响，两自由响
应模态e t 和te t 都可控；若b1 0，则x1受两个通道影 响，模态te t 仍然存在，故系统仍然 是可控的。
第一能控标准型
b4 s b3 s b2 s b1s b0 Y ( s) 5 U (s) s a4 s 4 a3 s 3 a2 s 2 a1s a0
4 3 2
0 0 A 0 0 a0 0 0 1 0 A 0 1 0 0 0 0