2013年高三数学(理)考试试题5月份高考模拟试卷
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2013年高三数学(理)试题5月份高考模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。
考试时间120分钟。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1. 设集合}2,1,0,1{-=A ,}13|{<≤-=x x B ,则A B =
A .{}1,0,1-
B .{}0,1-
C .{}10x x -<<
D . {}
10x x -≤≤
2.抛物线2
4
1x y =
的焦点坐标是 A .⎪⎭⎫
⎝⎛0,161 B .⎪⎭
⎫
⎝⎛161,0 C .()1,0
D .()0,1
3. 已知3
1
cos sin =-θθ ,则θ2sin 的值为
A . 3
2
-
B .32
C .9
8-
D .
9
8
4. 若函数()y f x =的图象与函数1log 2-=x y 的图象关于直线x y =对称,则(1)f x -=
A .x
4 B .1
4
+x C .x
2
D .1
2
+x
5. 已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个不重合的平面,则α//β的一个充分条件是( ) A .m //α,m //β B .α⊥γ,β⊥γ
C .m ⊂α,n ⊂β, m ∥n
D . m 、n 是异
面直线,m ⊂α,m ∥β,n ⊂β,n ∥α
6.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且 包括边界),若目标函数 z =x +ay 取得最小值的最优解 有无数个,则y
x a
-的最大值是
A .23
B .25
C .
1
6
D .1
4
7.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个
格点,则称函数()f x 为k 阶格点函数.下列函数:
①()f x =sinx ; ② ()f x =π(x -1)2+3; ③ 1
()()3
x f x = ; ④ x x f 6.0log )(=. 其中是一阶格点函数的有
A .①②
B .①④
C .①②④
D .①②③④
8.已知函数()y f x =的定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y ∈R ,等式
()()()f x f y f x y =+成立.若数列{}n a 满足1(0)a f =,且11
()(2)
n n f a f a +=--(n ∈N*),则2009
a 的值为
A . 4016
B .4017
C .4018
D .4019
第Ⅱ卷(共110分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在题中横线上。
9. 已知z 是复数,i 是虚数单位,若()12i z i -=,则=z ____________________.
10. 极限()()10
6
11lim
x x x x
→+-+=_____________________.
11.如图,等腰梯形ABCD 中, E,F 分别是BC 上三等分点,
AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE 和DCF 分别沿AE 和DF 折起,使得B 、C 两点重合于一点P ,则二面角P-AD-E 的大小为 . 12.设集合{=D 平面向量},定义在D 上的映射f ,满足对任意
x D ∈,均有f (x ) =λx (λ∈R
且0λ≠).若︱a ︱= ︱b ︱ 且a 、b 不共线,则〔f ( a ) -f (b )〕⋅(a +b )=________;若)8,4(),6,3(),2,1(C B A ,且→
-→
-=AB BC f )(,则λ_________________.
13.已知(),0F c 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点,以坐标原点O 为圆心,a 为半径作圆P ,过F
垂直于x 轴的直线与圆P 交于,A B 两点,过点A 作圆P 的切线交x 轴于点M .若直线l 过点M 且垂直于x 轴,则直线l 的方程为_______;若OA AM =,则椭圆的离心率等于______.
14.对于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子
集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1=6
,
集合{5}的交替和为5.当集合N 中的n =2时,集合N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和”的总和2S =1+2+(2–1)=4,请你尝试对n=3、n=4的情况,计算它的“交替和”的总和3S 、
4S ,并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和n S =__________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a, b, c ,已知向量m )3,(c b a -=,n )cos (cos C A ,=,
满足m ∥n , (Ⅰ)求cosA 的大小; (Ⅱ) 求)4
sin()4sin(22sin
2
π
π+--+A A C B 的值.
16.(本小题满分14分)
在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB//CD,AB=AD=1,D 1D=CD=2,AB ⊥AD (I )求证:BC ⊥面D 1DB ;
(II )求D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小;
(III )在BB 1上是否存在一点F ,使F 到平面D 1BC 的距
离为3
3
,若存在,则指出该点的位置;若不存在,请说明理由.
17.(本小题满分13分)
高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛,比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少..
参加一盘比赛,但不得参加两盘单打比赛; ③ 先胜两盘的队获胜,比赛结束.已知每盘比赛双方胜出的概率均为
1
2
. (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜..两盘的概率为多少? (Ⅲ)设高三(1)班代表队获胜的盘数为ξ,求ξ的分布列和期望. 18.(本小题满分13分)
已知函数)22()(2
--⋅=x ax e x f x
,a ∈R 且0≠a .
(Ⅰ)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值; (Ⅱ)当0>a 时,求函数)cos (x f 的最大值和最小值. 19.(本小题满分14分)
已知动圆P
过点)N
并且与圆(2
2:16M x y ++=相外切,动圆圆心P 的轨迹为W ,轨
迹W 与x 轴的交点为D .
(Ⅰ)求轨迹W 的方程;
(Ⅱ)设直线l 过点()(),02m m >且与轨迹W 有两个不同的交点,A B ,求直线l 斜率k 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若0DA DB ⋅=,证明直线l 过定点,并求出这个定点的坐标. 20.(本小题满分13分)
已知函数()41,()2,f x x g x x x =+=∈R ,数列}{n a ,}{n b ,}{n c 满足条件:11,a =
1()()n n n a f b g b +==(n ∈N *),]3)(][2
1
)(21[1
++=
n g n f c n .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)求数列}{n c 的前n 项和n T ,并求使得150
m
T n >对任意n ∈N *都成立的最大正整数m ; (Ⅲ)求证:122311
23
n n a a a n a a a +++⋅⋅⋅+>-.
参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.1i -+ 10. 4 11.arctan
; 12. 0 ,1
13.2a x c
=, 14.1
2n n -⋅
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
解: (Ⅰ)由m ∥n 得acosC=(3b-c )cosA , --------------------------------1分 由正弦定理得 sinAcosC=(3sinB-sinC )cosA , -----------------------3分
即sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA , ∴sin (A+C )=3sinBcosA , ABC ∆中,A+C=π-B ,
∴sin (π-B )=3sinBcosA , 即sinB=3sinBcosA
0sin ),0(≠∈B B π ,
∴cosA=3
1. --------------------------------------------6分
(Ⅱ) )4
sin()4sin(22sin
2
π
π+--+A A C B )cos 2
2
sin 22)(cos 22sin 22(
22
sin 2
A A A A A
+---=π --------9分 )cos (sin 2cos 222
A A A
--= ------------------------------11分 1cos 22cos 12-++=A A
911)31(223112-=-++
=. ---------------------------------13分 16.(本小题满分14分) 解法一:
(I )证明:∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱, ∴ D 1D ⊥平面ABCD , ∴BC ⊥D 1D
∵AB//CD, AB ⊥AD
∴四边形ABCD 为直角梯形, 又∵AB=AD=1,CD=2,
可知BC ⊥DB ∵D 1D∩ DB=D ,
∴BC ⊥平面D 1DB-----------------------4分 (II )取DC 中点E ,连结BE,D 1E . ∵DB=BC , ∴BE ⊥CD
∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为直四棱柱, ∴ABCD ⊥D 1DCC 1. ∴BE ⊥D 1DCC 1.
∴D 1E 为D 1B 在平面D 1DCC 1上的射影, ∴∠BD 1E 为所求角.
在BE D Rt 1∆中,5,11=
=E D BE .
5
5
tan 11=
=
∠E D BE E BD . ∴所求角为5
5
arctan
. ---------------------------------9分 (Ⅲ)假设B 1B 存在点F,设BF= x , ∵BF D C BC D F V V 11--=,BC ⊥平面D 1BF ,
∴
BC S S BF D BC D ⋅=⋅∆∆113
13331 ∵2,6,111==⊥∆BC B D B D BC BC D 中,在,
∴3262
1
2111=⨯⨯=⋅=∆BC B D S BC D . 又x x B D BF S BF D
2
222121111=⨯⨯=⋅=
∆, ∴
122
23133331=⇒⋅⋅=⋅x x . 即存在点F 为B 1B 的中点. ---------------14分 解法二:
(I )证明:如图建立坐标系D-xyz,
1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D B C D .
∴1(1,1,0),(0,0,2),(1,1,0)BC DD DB =-==. ∵0,01=⋅=⋅DD ,
∴BC ⊥DD 1, BC ⊥DB ∵D 1D∩ DB=D ,
∴BC ⊥平面D 1DB ------------------4分 (II ) 1(1,1,2),(1,0,0),(1,0,0)D B A DA =-=. ∵AD ⊥平面D 1DCC 1,
∴平面D 1DCC 1的法向量(1,0,0)m =,
∵111cos ,6D B m D B m D B m
⋅<>=
=
= ∴D 1B 与平面D 1DCC 1所成角的大小为6
6
arcsin
. --------------------9分 (III ) 假设B 1B 存在点F,设BF = a ,则F (1,1,a ), 设平面D 1BC 的法向量为),,(z y x =,
由1020
00
D B n x y z x y BC n ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩.令x=1,则y = z =1.
∴)1,1,1(=,又),0,0(a =,
∴3
cos ,BF n BF n BF n
⋅<>=
=
∵F 到平面D 1
BC 的距离为
3
3, 3cos ,1BF BF n a a ⋅<>=
⇒=⇒=. 即存在点F 为B 1B 的中点. -------------------------------------------14分
17.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)参加单打的队员有2
3A 种方法,参加双打的队员有1
2C 种方法.
所以,高三(1)班出场阵容共有)(121
223种=⋅C A . ------------------3分
(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜. 所以,连胜两盘的概率为
.8
3
2121212121=⨯⨯+⨯ ----------------------7分 (Ⅲ)ξ的取值可能为0,1,2.
()111
0224
P ξ==⨯=.
()1111111
12222224
P ξ==⨯⨯+⨯⨯= .
()111111111
2.222222222
P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
p
14 14 12
∴1115
0124424
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. -------------------------------13分 18.(本小题满分13分)
解:'
'
2
2
'
()()(22)(22)x x
f x e ax x e ax x =⋅--+⋅-- =2
(22)(22)x
x
e ax x e ax ⋅--+⋅-
=2
()(2)x
a e x x a
⋅⋅-+. --------------------3分 (Ⅰ) ∵曲线()y f x =在点(1, (1))P f 处的切线垂直于y 轴, 由导数的几何意义得'
(1)0f =,
∴2a =. ---------------6分 (Ⅱ)设|cos |x t =(01)t ≤≤,只需求函数() (0t 1)y f t =≤≤的最大值和最小值.---7分 令'
()0f x =,解得2
x a
=或2x =-. ∵0a >,∴
2
2a
>-. 当x 变化时,'
()f x 与()f x 的变化情况如下表:
函数()f x 在(, 2)-∞-和2(, +)a ∞上单调递增;在2(2, )a
-上单调递减;--------------9分
x (, 2)-∞- 2-
2(2, )a -
2a
2
(, +)a ∞ '()f x
+
0 -
0 +
()f x
极大值
极小值
①当
2
1a
≥,即 02a <≤时,函数()f t 在[0, 1]上为减函数. min (1)(4)y f a e ==-, max (0)2y f ==-.
②当2
01a
<
<,即 2a >时,函数()f x 的极小值为[0, 1]上的最小值, ∴ 2
min
2
()2a y f e a
==-.
函数()f t 在[0, 1]上的最大值为(0)f 与(1)f 中的较大者. ∵(0)2f =-,(1)(4)f a e =-. ∴当2
4a e
>-时,(1)(0)f f >,此时max (1)y f =(4)a e =-; 当2
4a e =-
时,(1)(0)f f =,此时max (0)(1)2y f f ===-; 当2
24a e
<<-时,(1)(0)f f <,此时max (0)y f =2=-. -------------12分
综上,当02a <≤时,(|cos |)f x 的最小值为(4)a e -,最大值为2-;
当224a e
<≤-时,(|cos |)f x 的最小值为2
2a
e -,最大值为2-;
当2
4a e
>-时,(|cos |)f x 的最小值为2
2a e -,最大值为(4)a e -. ------13分
19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知
4PM PN MN -=<= ∴点P 的轨迹是以N M ,为焦点的双曲线的右支,且
2,,1a c b ==.
∴轨迹W 的方程为 ()2
2124
x y x -=≥. ------------------------------------- 4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为()y k x m =-()2,0m k >≠.
由()22
,1,4
y k x m x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩ 得 ()
2222148440k x k mx k m -+--=.
设()()2211,.,y x B y x A ,则
21228041k m
x x k +=>-, ①
22122
44041
k m x x k +=>-, ② ()()
4222264414440k m k k m ∆=+-+>. ③
由①②③ 得 2
41k >.
∴直线l 斜率k 的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. -----------------------------9分
(Ⅲ)DA DB ⋅=()()11222,2,x y x y -⋅-
= ()()()()()12121212122224x x y y x x x x k x m k x m --+=-+++-- = ()()()22
2
2
121
2
124k x x mk x x k m +-++++
= ()()()2
2
2
2
2
222
2
1428441
41
k k m mk mk k m k k ++-
++--.
∵DA DB ⋅ = 0,
∴()()()2
2
2
2
2
22221428441
41
k k m mk mk k m k k ++-
++--= 0,
∴()()()()()
2
2
2
2
2
2
2
2
14284410k
k m mk mk k m k
+-+++-=,
∴2
2
2
2
201630k k m k m -+=. ∵0k ≠,
∴2
316200m m -+=,解得10
3
m =,或2m =(舍). ∴直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
. ∴直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫
⎪⎝⎭
. ----------------------------------------14分 20.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题意1112,14+++=+=n n n n b a b a ,
∴121+=+n n a a , --------2分
∴)1(211+=++n n a a ,
∵11=a ,
∴数列}1{+n a 是首项为2,公比为2的等比数列 . ---------4分
∴.1221-⨯=+n n a
∴12-=n n a . ---------5分 (Ⅱ)∵)321121(21)32)(12(1+-+=++=
n n n n c n , ---------7分 ∴)3
2112171515131(21+-++⋅⋅⋅+-+-=n n T n 9
6)32(3)32131(21+=+⨯=+-=n n n n n . ----------8分 ∵11569156961561221>+++=+⋅++=+n
n n n n n n n T T n n , ∴1,n n T T n +<∈N *.
∴当1=n 时,n T 取得最小值
151. -----------10分 由题意得150
151m >,得10<m . ∵m ∈Z ,
∴由题意得9=m . --------------------11分 (Ⅲ)证明:
∵n
k a a k k k k k k k k ,,3,2,1,2131212223121)12(21211212111⋅⋅⋅=⋅-≥-+⨯-=--=--=+++ ----12分 ∴)211(312)212121(312213221n n n n n n a a a a a a --=+⋅⋅⋅++-≥+⋅⋅⋅+++ 312->n . ∴
12231123
n n a a a n a a a +++⋅⋅⋅+>-(n ∈N *). ---------------14分。