中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合.doc

中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合
1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝k
x（x＞0）的图象经过
点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求△BMN面积的最大值；
（2）若MA⊥AB，求t的值．
（1）将A（8，1）代入y＝k
x，得k＝8
∴y＝8 x
易求直线AB的解析式为y＝1
2x－3
则M（t，8
t），N（t，
1
2t－3），MN＝
8
t－
1
2t＋3
S△BMN＝1
2(
8
t－
1
2t＋3)t＝－
1
4t
2
＋
3
2t＋4＝－
1
4(t－3)
2
＋
25
4
∴当t＝3时，△BMN面积的最大值为25 4
（2）作AQ⊥y轴于Q，延长AM交y轴于P ∵MA⊥AB，∴△ABQ∽△P AQ
∴AQ
BQ＝
PQ
AQ，∴
8
4＝
PQ
8，∴PQ＝16
∴P（0，17）
∴直线AP：y＝－2x＋17
令－2x＋17＝8
x，解得x1＝
1
2，x2＝8（舍去）
∴t＝1 2
2、如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝5，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）的图象经过点D 且与边BA
交于点E ，连接DE ． （1）若△BDE 的面积为
10
3
，求k 的值； （2）连接CA ，DE 与CA 是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设D （k 5
，5），E （3，k 3 ），则BD ＝3－
k 5 ，BE ＝5－
k
3
∵S △BDE
＝
10 3
，∴1 2 ×(
3－
k 5
)(
5－
k 3
)＝
10 3
解得k ＝5或k ＝25（舍去）
∴k ＝5
（2）DE ∥CA
∵BD ＝3－ k 5 ，BE ＝5－ k 3 ，∴BD BE ＝ 3－
k 5
5－
k 3
＝
3
5
∵BC BA
＝
3 5
，∴BD BE ＝
BC BA
又∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BCA ∴∠BDE ＝∠BCA ，∴DE ∥CA
（3）设点B 关于DE 的对称点F 在OC 上 过E 作EG ⊥OC 于G 则△DCF ∽△FGE ∴CF GE ＝ DF EF ，∴CF 3 ＝ 3－
k 5
5－
k 3
＝ 3 5 ，∴CF ＝
9
5
在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2
∴(
k
5
)2＋(
9 5 )2＝( 3－ k 5 )2，解得k ＝
24 5
∴D （24
5
，5）
备用图
3、如图，反比例函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图象经过点A 、B （2，2），AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，AC 与
BD 交于点F ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ． （1）若AC ＝
3
2
OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．
（1）∵点B （2，2）在函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图象上
∴k ＝4，y ＝
4
x
∵BD ⊥y 轴，∴D （0，2），OD ＝2 ∵AC ⊥x 轴，AC ＝
3
2
OD ，∴AC ＝3，即A 点的纵坐标为3 ∵点A 在y ＝
4
x
的图象上，∴A （4
3
，3） ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D
∴⎩⎪⎨⎪⎧4 3
a ＋
b ＝3b ＝2 解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝
3 4
b ＝2
（2）设A （m ，4
m
），则C （m ，0）
∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形 ∴CE ＝BD ＝2
∵BD ∥CE ，∴∠ADF ＝∠AEC ∵tan ∠ADF ＝ AF
DF ＝ 4 m
－2 m
，
tan ∠AEC ＝
AC
EC
＝
4
m
2
∴4 m
－2 m ＝ 4
m
2
，解得m ＝1
∴C （1，0），BC ＝5
4、如图，直线y＝ax＋b与双曲线y＝k
x（x＞0）交于不同的两点A（x1，
y1）、B（x2，y2），直线AB与x
轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若b＝y1＋1，x0＝6，且AB＝BP，求A、B两点的坐标；（2）猜想x1、x2、x0之间的关系并证明．
（1）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E
则AD∥BE，AD＝y1，BE＝y2
∵AB＝BP，∴BE＝1
2AD，即
y2＝
1
2
y1，DE＝EP
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y＝k
x上
∴x1y1＝x2y2＝k
∴x2＝2x1，∴OD＝DE＝EP＝x1
∵x0＝6，∴OP＝6，∴3x1＝6，∴x1＝2 ∴x2＝2x1＝4
∵AD∥OC，∴△P AD∽△PCO
∴AD
OC＝
PD
OP，∴
y1
y1＋1＝
4
6
解得y1＝2，∴y2＝1
2
y1＝1
∴A（2，2），B（4，1）（2）猜想x1＋x2＝x0
令y＝ax＋b＝0，得x＝－b
a，即x0＝－
b
a
令ax＋b＝k
x，即ax
2
＋bx－k＝0
∴x1＋x2＝－b a
∴x1＋x2＝x0
5、如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝m
x的图象交于A（－4，
1
2）、B（n，2）两点，AC⊥x轴于C，
BD⊥y轴于D，P是线段AB上一点．
（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）若△PCA和△PBD的面积相等，求点P的坐标．
（1）一次函数的解析式为y＝1
2x＋
5
2
反比例函数的解析式为y＝－2 x
（2）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N
设P（m，1
2m＋
5
2），则PM＝
1
2m＋
5
2，PN＝－m
∵S△P AC＝S△PBD，
∴1
2AC·CM＝
1
2BD·DN
即1
2(m＋4)＝(2－
1
2m－
5
2)，解得m＝－
5
2
∴P（－5
2，
5
4）
6、如图，直线y＝mx与双曲线y＝k
x（k＜0）相交于A（－1，a）、B两点，过点B作BC⊥x轴于C，连
接AC交y轴于D，△AOD的面积为1 2．
（1）求m、k的值；
（2）在x轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意，OA＝OB，OD∥BC
∴AD＝DC
∵点A的横坐标为－1，∴点B的横坐标为1
∴OC＝1
∴S△BOC＝S△AOC＝2S△AOD＝1
∴1
2OC·BC＝1，即
1
2×1·BC＝1
∴BC＝2，∴B（1，－2）
∴m＝－2
1＝－2，k＝1×(－2)＝－2
（2）易得A（－1，2），D（0，1），C（1，0）∠ACO＝45°，∠ACB＝135°
∴满足条件的点P只能在点C的右侧
易求AC＝22，则PC＝2或PC＝4
∴P1（3，0），P2（5，0）
7、如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y
＝－1
2x＋b分别交边AB、BC于点M、N，反比例函数
y＝
k
x的图象经过点M、N．
（1）当b＝3时，求△MON的面积；
（2）若将△BMN沿MN翻折后，点B恰好落在OC上，求b的值和反比例函数的解析式．
（1）当b＝3时，直线y＝－1
2x＋3
则M（2，2），N（4，1）
AM＝BM＝2，BN＝CN＝1
∴S△MON＝S矩形OABC－S△AOM－S△BMN－S△CON
＝2×4－1
2×2×2－
1
2×2×1－
1
2×4×1＝3
（2）设翻折后点B落在OC上点B′处
过M作MH⊥OC于H，设M（m，2），N（4，1
2m）
则MH＝2，MB′＝MB＝4－m，B′N＝BN＝2－1 2m
∵∠MB′N＝∠B＝90°，∴∠MB′H＋∠NB′C＝90°∵∠B′NC＋∠NB′C＝90°，∴∠MB′H＝∠B′NC
∴Rt△MB′H∽Rt△B′NC
∴MH
B′C
＝
MB′
B′N
＝
4－m
2－
1
2m
＝
4－m
1
2(4－m)
＝2
∴B′C＝1
2MH＝1
∵B′C2＋NC2＝B′N2，∴12＋(1
2m
)2＝(2－12m)2
解得m＝3
2，∴k＝2m＝3
∴反比例函数的解析式为y＝3 x
把M（3
2，2）代入
y＝－
1
2x＋b，得2＝－
1
2×
3
2＋b
∴b＝11 4
8、如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝
k
x
（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
（2）在x 轴上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△P AB 的面积．
（1）∵点A （1，a ）在一次函数y ＝－x ＋4的图象上 ∴a ＝－1＋4＝3，∴A （1，3） 将点A （1，3）代入y ＝
k
x
中，得k ＝3 ∴反比例函数的表达式为y ＝
3
x
联立
⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4y ＝
3
x
解得
⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝3 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3
y 2＝1 ∴点B 的坐标为（3，1）
（2）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′ 交x 轴于点P 则点P 即为所求的点
由B （3，1）得点B ′（3，－1）
设直线AB ′ 的函数的表达式为y ＝mx ＋n ，则有：
⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝33m ＋n ＝－1 解得
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝5 ∴AB ′：y ＝－2x ＋5
令y ＝0，即－2x ＋5＝0，得x ＝
5
2
∴点P 的坐标为（5
2
，0）
∴S △P AB
＝S △ABB ′
－
S △PBB ′
＝
1 2 ×2×(
3－1 )－ 1 2 ×2×( 3－ 5 2 )＝
3
2
9、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例y＝m
x的图象交于A（1，4），B（－4，n）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一动点，使|P A－PB|的值最大，求点P的坐标及△P AB的面积．
（1）y＝4
x，
y＝x＋3
（2）（－17
3，0），S△P AB＝
20
3
10、如图，一次函数y ＝kx ＋b （k ＜0）的图象经过点C （3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式； （2）若反比例函数y ＝
m
x
的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC ＝2BC ，求m 的值．
（1）设一次函数y ＝kx ＋b 的图象交y 轴于D 则S △OCD
＝
1
2
OC ·OD ＝
1
2
×3×OD ＝3 ∴OD ＝2
∵k ＜0，∴D （0，2）
∴⎩⎪⎨⎪
⎧3k ＋b ＝0b ＝2 解得
⎩⎪
⎨⎪⎧k ＝－
2 3
b ＝2
∴一次函数的解析式为y ＝－
2
3
x ＋2
（2）令－
2 3 x ＋2＝
m x
，得2x
2
－6x ＋3m ＝0
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝3
作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F 则△ACE ∽△BCF
∵AC ＝2BC ，∴CE ＝2CF ∴3－x 1＝2(
x 2－3
)
∴x 1＋2x 2＝9，解得x 2＝6
∴y 2＝－
2
3
×6＋2＝－2，∴B （6，－2）
∴m ＝6×(
－2
)＝－12
11、如图，□ABCD的顶点A、D在反比例函数y＝k
x（k＜0，x＜0）的图象上，顶点B、C分别在坐标轴
上．
（1）求证：∠BAD＝2∠OBC；
（2）若B（0，1），C（
5
5－1，0），AB＝5AD，求k的值．
（1）延长AB交x轴于G，作AE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F
设A（a，k
a），D（b，
k
b）
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC ∴∠DCF＝∠AGC，∴∠BAE＝∠DCF
∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝k b
∴tan∠OBC＝x A－x D
y A－y D＝
a－b
k
a－
k
b
＝－
ab
k
tan∠OBG＝tan∠ABE＝AE
BE＝
－a
k
b
＝－
ab
k
∴∠OBC＝∠OBG
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC ∴∠BAD＝∠GBC＝2∠OBC
（2）∵B（0，1），C（
5
5－1，0），∴OB＝1，OC＝1－
5
5
∵∠ABE＝∠OBG＝∠OBC，∠AEB＝∠COB＝90°
∴△ABE∽△CBO，∴AE
OC＝
BE
OB＝
AB
BC＝ 5
∴AE＝5OC＝5－1，BE＝5OB＝ 5 ∴A（1－5，5＋1）
∵点A在反比例函数y＝k
x的图象上
∴
k
1－5
＝5＋1，∴k＝－4
12、已知：一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝
k
x
（k
＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的
右侧）．
（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数的图象的另一支上是否存在一点P ，使△P AB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）y ＝
8
x
由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10y ＝
8 x
得x
2－5x ＋4＝0 解得x 1＝1，x 2＝4，∴B （1，8）
（2）设直线EF 与x 、y 轴分别交于点E （5，0），F （0，10） 当∠P 1AB ＝90°时，设P 1（x 1，
8
x 1
） 分别过A 、P 1作AA 1∥x 轴，P 1A 1∥y 轴，得Rt △P 1A 1A ∵∠P 1AB ＝90°，∴∠A 1AB ＝∠OEF ＝∠A 1P 1A tan ∠A 1P 1A ＝tan ∠OEF ，∴AA 1
P 1A 1
＝2
∴
4－x 1
2－
8 x 1
＝2，解得x 1＝－4（舍去正值） ∴P 1（－4，－2）
同理，当∠P 2BA ＝90°时，设P 2（x 2，8
x 2
），作Rt △P 2B 1B
则
BB 1
P 2B 1
＝2，∴1－x 2
8－
8
x 2
＝2，解得x 1＝－16（舍去正值） ∴P 1（－16，－
1
2
）
∴满足条件的点P 的坐标为（－4，－2），（－16，－
1
2
）
备用图。