2020年广东省湛江市高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4} 2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．B．1C．2D．
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．40
4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：
嘉宾A B C D E F
评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）
A．B．
C．D．
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）
A．B．
C．D．
6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．
8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）
A．2B．C．2D．
9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）
A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）
A．6B．9C．9D．6
11．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）
A．1﹣B．C．D．1﹣
二、填空题
13．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．
14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝．
15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不同的音序．
16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．
（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；
（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．
18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；
（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．
21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．
（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；
（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；
（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．
（1）求证：a+2b＝1；
（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
参考答案
一、选择题
1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4}【分析】先求出集合M，N，由此能求出M∩N．
解：集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，则M∩N＝{x|1＜x ≤2}，
故选：B．
2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．B．1C．2D．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解：z＝＝+2i＝1﹣i+2i＝1+i，
则|z|＝．
故选：A．
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．40
【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1＝﹣1，d＝4，由此能求出a10．
解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，
∴，
解得a1＝﹣1，d＝4，
∴a10＝﹣1+4×9＝35．
故选：C．
4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如
表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：
嘉宾A B C D E F
评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】计算，，，进行比较，得出结论．
解：，
＝75×0.2+85×0.3+95×0.5＝88，
由于场外有数万人观众，则．
故选：C．
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）
A．B．
C．D．
【分析】由图象结合趋近性即可得出结论．
解：由图象可知，当x→0+时，f（x）→﹣∞，故可排除BD；
当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除C；
故选：A．
6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设与夹角为θ，由分析可得||＝||，对变形可得：10•＝3（2+2），由数量积公式分析可得答案．解：根据题意，设与夹角为θ，
若两个非零向量满足，则有2﹣2＝0，即||＝||，
又由，则（+）2＝4（﹣）2，
变形可得：10•＝3（2+2），则有cosθ＝；
故选：D．
7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．
【分析】推导出a5a8＝a4a9＝﹣18，从而a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，求出a5
＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，解得或，再由a2+a11＝a1q（1+q9），
能求出结果．
解：∵{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，
∴a5a8＝a4a9＝﹣18，
∴a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，
∴a5＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，
∴，或，
解得或，
∴a2+a11＝a1q（1+q9）＝．
故选：C．
8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）
A．2B．C．2D．
【分析】可得直线AB的方程为：．联立可得．依题意可得，求得2a2＝b2即可从而求得双曲线C的离心率．
解：设双曲线C：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0），双曲线C的一条渐近线方程设为
bx±ay＝0，
直线AB的方程为：．
联立可得．
依题意可得，
∴2a2＝b2，
则双曲线C的离心率为e＝．
故选：B．
9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）
A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 【分析】可先根据对数的换底公式和对数的运算求出，
，ac＝log0.30.5•log0.50.9，然后根据对数函数的单调性即可得出ab，a+b和ac的大小关系．
解：，
＝，ac＝log0.30.5•log0.50.9，
∵log0.50.3＞0，log0.53＜0，0＜log0.50.9＜1，log0.30.5＞0，
∴log0.50.3•log0.53＜0，＜log0.30.5•log0.50.9，
∴ab＜a+b＜ac．
故选：D．
10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）
A．6B．9C．9D．6
【分析】设焦点F的坐标及直线AB的方程，与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由且＝2，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，
再由抛物线的性质可得三角形ACF的面积，再由题意可得p的值，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值．
解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），
有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线与抛物线联立可得：，整理可得y2﹣2mpy﹣p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝
﹣p2，
因为＝2，即（﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣，y2），所以可得：y1＝﹣2y2，
所以，可得：＝，所以|m|＝，所以|y2|＝＝，|y1|＝2|y2|＝p，
所以S△CFA＝|CF|•|y1|＝＝8，解得：p＝4，
所以抛物线的方程为：y2＝8x，
所以|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2m2p+2p＝2•4+8＝9，
故选：B．
11．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意可知，g（x）＝A cos（φ）由图象可知A，T，ω，把代入（，0）后可得φ，进而可得即g（x）＝cos（2x+），f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+），利用三角函数知识分析充分性和必要性即可．
解：由题意可知，g（x）＝A cos（φ），
由图象知，A＝1，
T＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；
代入（，0）后可得：cos（φ）＝0，
φ＝kπ+，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣π﹣，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝﹣，
即g（x）＝cos（2x+），
f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+）
当f（x）＝时，cos（2x+）＝﹣；
cos（2x+）＝2cos（x+）2﹣1＝﹣，解得cos（x+）＝，
g（+）＝cos（x+）＝﹣cos（x+）＝，
当时，
g（）＝cos[2（）+]＝cos[x+]＝﹣cos（x+）＝，
所以cos（x +）＝﹣，
所以f（x）＝cos（2x ﹣）＝cos[π﹣2（x +）]＝﹣cos2（x +）＝﹣[2cos2（x +）﹣1]＝﹣[2（﹣）2﹣1]＝．
故是的必要不充分条件．
故选：B．
12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）
A．1﹣B ．C ．D．1﹣
【分析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解．
解：设事件A为：检测了5个人确定为“感染高危户”；
设事件B为：检测了6个人确定为“感染高危户”；
∴P（A）＝p（1﹣p）4，P（B）＝p（1﹣p）5，
即f（p）＝p（1﹣p）4+p（1﹣p）5＝p（2﹣p）（1﹣p）4，
设x＝1﹣p＞0，则g（x）＝f（p）＝（1﹣x）（1+x）x4＝（1﹣x2）x4，
∴g（x）＝（1﹣x2）x4＝≤＝．当且仅当2﹣2x2＝x2，即时取等号．
即．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x，y 满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为1．
【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值．
解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，
如图所示；
化目标函数为y＝﹣x+z，
由图可知，当直线y＝﹣x+z过点B时，
直线在y轴上的截距最小，
由，解得A（3，﹣1）；
∴z的最小值为3﹣2×1＝1．
故答案为：1．
14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝1或﹣1．
【分析】由已知可得f（﹣x）+f（x）＝0，代入后结合对数的运算性质即可求解．解：因为f（x）＝ln为奇函数，
所求f（﹣x）+f（x）＝ln（）＝0，
故＝1，
所以a＝1或a＝﹣1，
当a＝﹣1时，f（x）＝0符合题意，
当a＝1时，f（x）＝ln符合题意．
综上可得，a＝1或a＝﹣1
故答案为：1或﹣1
15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成32种不同的音序．
【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．
解：若角排在一或五，则有＝24种，
若角排在二或四，则有2＝8，
根据分类计数原理可得，共有24+8＝32种，
故答案为：32．
16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π．
【分析】根据题意作出图象，利用三垂线定理找出二面角P﹣AC﹣B的平面角，再设出AB，BC的长，即可求出三棱锥P﹣ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值，从而可得出各棱长的长度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关机即可求出外接球的表面积．
解：如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作DE⊥AC交AC于点D，连接PD，
则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE＝，
易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，
所以D为AC中点，
设AB＝a，BC＝b，AC＝＝c，
则PE＝PD sin∠PDE＝×c×＝，
故三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝ab×＝abc≤c×＝，当且仅当a＝b＝c时，体积最大，则＝，即a＝b＝，c＝2，
所以B、D、E三点共线，
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，
过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，
则OD＝EF＝，ED＝OF＝PD cos∠PDE＝＝，PE＝1，
在Rt△PFO中，R2＝2+（1﹣）2，解得R2＝2，
三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π，
故答案为：8π．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．
（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；
（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据已知条件可得，再由正弦定理可得答案；
（2）先在△ADC及△BDC中，分别运用正弦定理可得，再利用余弦定理可得AB＝3，最后由三角形面积公式得到答案．
解：（1）由cos∠CDB＝﹣，得，
∴，
由正弦定理得，即，解得；
（2）在△ADC中，由正弦定理，①，
在△BDC中，由正弦定理，②，
又，
由得，，
由余弦定理可得，CB2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，即7＝4+AB2﹣2AB，解得AB＝3，∴．
18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；
（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
【分析】（1）首先由AC⊥BD，B1O⊥AC可得AC⊥平面BDD1B1，而AC在平面ABCD 内，由面面垂直的判定即得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接B1O，
又面ABCD为菱形，故AC⊥BD，O为AC中点，
又AB1＝CB1，故B1O⊥AC，
又BD在平面BDD1B1内，B1O在平面BDD1B1内，且BD∩B1O＝O，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又AC在平面ABCD内，
∴平面BDD1B1⊥平面ABCD；
（2）由△DB1B是等边三角形，可得B1O⊥BD，故B1O⊥平面ABCD，
∴B1O，AC，BD两两互相垂直，则以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AB＝2，则，则
，
设平面C1BD的一个法向量为，则，可取，
设平面A1BD的一个法向量为，则，可取，
∴，
∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为0．
19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．
【分析】（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，然后依次求出每个X的取值所对应的概率即可得解；
（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则P（A）＝0.4，再结合对立事件的概率求出工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率，然后与0.8比较大小即可判断设备是否符合要求；当符合要求时，设P（A）＝p，再用p表示出至少有1件是标准长度产品的概率，并列出不等式，解之即可得解．
解：（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，P（X＝0.04）＝，
P（X＝0.03）＝，
P（X＝0.02）＝，
P（X＝0.01）＝，
P（X＝0）＝．
所以该批次产品长度误差绝对值的数学期望为0.04×0.025+0.03×0.075+0.02×0.2+0.01×0.3+0×0.4＝0.01025．
（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则，
工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝
，
所以现有设备不符合此要求．
当符合要求时，设P（A）＝p，
则工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝
，
解得，
所以生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．
20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．
【分析】（1）由题意过的点的坐标及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设D，A，B的坐标由，，可得A，B，D的坐标的关系，再由A，B在椭圆上可得D在定直线上．
解：（1）由题意可得：+＝1，＝，c2＝a2﹣b2，
解得：a2＝6，b2＝2，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）证明：设D（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，，可得（4﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣4，y2），（x﹣x1，y﹣y1）＝﹣λ（x2﹣x，y2﹣y），可得：
x1+λx2＝4（1+λ）①
x1﹣λx2＝x（1﹣λ）②
y1+λy2＝0③
y1﹣λy2＝y（1﹣λ）④
①×②可得：x12﹣λ2x22＝4x（1﹣λ2）⑤，
③×④可得y12﹣λ2y22＝0⑥
因为A，B在椭圆上，所以x12+3y12＝6，x22+3y22＝6，
所以⑤×+⑥×3可得6﹣λ2×6＝8x（1﹣λ2），
因为λ＜0，λ≠﹣1，
所以8x＝6，即x＝，
即证D在定直线x＝上．
21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；
（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1带入，求导可得f′（x）＝2﹣x sin x，进一步研究导函数f′（x），可得当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，结合即可得出结论；
（2）问题等价于恒成立，设，易判断当时，符合题意；当a≤0时，不合题意；难点在于判断当时的情况，先通过构造函数g（x）＝sin x﹣3ax，利用导数可知当x∈（0，x1）时，sin x＞3ax，进而放缩可得
，由此判断此情况也不合题意，综合即得出实数a的取值范围．解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝x（2+cos x）﹣sin x，则f′（x）＝2﹣x sin x，设h （x）＝f′（x）＝2﹣x sin x，则h′（x）＝﹣sin x﹣x cos x，h′（0）＝0，
且h′（﹣x）＝sin x+x cos x＝﹣h′（x），故函数h′（x）为奇函数，
当时，sin x＞0，x cos x＞0，这时h′（x）＜0，
又函数h′（x）为奇函数，
∴当时，h′（x）＞0，
综上，当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，
又，故f′（x）＞0在上恒成立，
∴f′（x）在上没有零点；
（2），由cos x∈[﹣1，1]可知，2+cos x＞0恒成立，若f（x）＞0，则恒成立，
记，则
，故当时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，又F（0）＝0，
∴当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；
当a≤0时，有，与题设矛盾；
当时，令g（x）＝sin x﹣3ax，则g′（x）＝cos x﹣3a，
又3a＜1，故g′（x）＝0在（0，+∞）上有无穷多个零点，设最小的零点为x1，则当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，因此g（x）在（0，x1）上单调递增，
故当x∈（0，x1）时，g（x）＞g（0）＝0，故sin x＞3ax，
于是，当x∈（0，x1）时，，得，与题设矛盾．综上，实数a的取值范围为．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；
（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．
曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．
（2）曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），
即代入x2+y2﹣2y＝0，得到，
转换为参数方程为（θ为参数），
所以点P（2cosθ，sinθ）到直线的距离d＝＝
，
即当时，．
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．
（1）求证：a+2b＝1；
（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
【分析】（1）由题意可得f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得f（x）的最小值，即可得到所求；
（2）由题意可得t≤+恒成立，运用乘1法和基本不等式可得此不等式右边的最小值，即可得到t的最大值．
解：（1）证明：a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|
≥|﹣+|+|x+﹣x+b|＝0+|b+|＝b+，
当且仅当x＝b时，上式取得等号，可得f（x）的最小值为b+，
则b+＝，即a+2b＝1；
（2）若2a+b≥tab恒成立，由a，b＞0，可得t≤+恒成立，
由+＝（a+2b）（+）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当a＝b＝，上式取得等号，
则t≤9，可得t的最大值为9．。