【数学】北京市西城区高三上学期期末考试试卷(文)(解析版)

北京市西城区高三上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，
B＝{x|x2≤5}＝{x|}，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故选：B．
2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2+2x为二次函数，其对称轴为x＝﹣1，不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝x3，是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝ln|x|，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝cos x为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，
故选：C．
3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体如图所示，P A⊥底面ABCD，P A=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．
由三视图可知：该几何体如图所示，P A⊥底面ABCD，P A=2，底面是一个直角梯形，
其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．
可知其最长棱长为PD2．
故选：C．
4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
由x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，﹣1），
化目标函数z＝x+3y为y，
由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．
故选：A．
5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：模拟程序的运行，可得：
m=1
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63
满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127
此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．
可得输出数据的总个数为6．
故选：B．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。

点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。

7.设，是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意可得出，而P，Q，R三点共线，从而得出与共线，从而存在实数λ，使得，从而得出，这便得出，解出k即可．
【详解】解：∵是不共线的两个平面向量；
∴；
即；
∵P，Q，R三点共线；
∴与共线；
∴存在λ，使；
∴；
∴根据平面向量基本定理得，；
解得．
故选：D．
8.设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则λ=（）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】设出P的坐标，求出双曲线的左焦点为F，右顶点为A．利用推出λ的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．
双曲线的左焦点为F（﹣2，0），右顶点为A（1，0）．设P（m，n），可得：，推出n2＝3m2﹣3，
（﹣2﹣m，﹣n），（1﹣m，﹣n），，
可得λ＝（m+2）（m﹣1）+n2＝4m2+m﹣5，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
如图：
当λ＝0时，有且只有3个不同的点P使得成立，
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.复数z满足方程，则______．
【答案】-1-i
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由1﹣i•z＝i，得i z＝1﹣i，
则z．
故答案为：﹣1﹣i．
10.以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为______．
【答案】（x-2）2+y2=2
【解析】依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．
依题意可知抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），到直线直线y＝x的距离即圆的半径为，故圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝2．
11.能说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题的一个函数是______．
【答案】f（x）=x2
【解析】可取f（x）=x2，可得定义域为R，计算f（-x）与f（x）比较可得f（x）为偶函数．可取f（x）=x2，
可得f（x）的定义域为R，且f（0）=0，
但f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
可得f（x）为偶函数．
可说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题．
故答案为：f（x）=x2．
12.在△ABC中，a=3，，B=2A，则cos A=______．
【答案】
【解析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．
∵a＝3，，B＝2A，
∴由正弦定理可得：，
∴cos A．
故答案为：．
13.设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．
【答案】(1). (2). （，）
【解析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围. 函数则f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）．
x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x，对称轴为：x，开口向下，
函数的最大值为：f（），x→0时，f（0）→，
方程f（x）＝b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）．
故答案为：；（，）．
14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．
报告名称 A B C D E F
开始时间8：00 8：10 8：45 8：40 9：15 9：25
结束时间8：30 9：05 9：20 9：30 10：10 10：10
某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且
所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．
【答案】D
【解析】当甲乙两人中某人听报告D，通过数据比对与分析，则此人不能听报告B，C，E，F，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D。

通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，
当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，
故听报告D最不合适，
故答案为：D．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，求实数a的值．
解：（Ⅰ）∵．
=2cos x（sin x+cos x）
=sin x cos x+
=
=sin（2x+）
∴T=π，
（II）由（I）可知f（x+a）=sin（2x+2a+），
∵直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，
∴f（π+a）为f（x+a）的最大或最新值，
即f（π+α）=sin（）=sin（2a+）=±1，
∴，k∈Z
∴a=，k∈Z
16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，，且a4+a5=6a3．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{log2a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．
解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，
，且a4+a5=6a3，
可得a1q=，a1q3+a1q4=6a1q2，
解得q=2，a1=，
则a n=a1q n-1=•2n-1=2n-4；
（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，
由1≤n≤4时，b n≤0，n≥5时，b n＞0，
可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6．
17.为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45] 等级次品二等品一等品二等品三等品次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．
质量指标值频数
[15，20） 2
[20，25）18
[25，30）48
[30，35）14
[35，40）16
[40，45] 2
合计100
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，
解得a=0.008，
∴甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5=0.14，
故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．
（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，
记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，
从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），
而事件M包含的结果有4种，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
∴这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率P=．
（Ⅲ）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，
即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，
∴认为乙企业产品的食品生产质量更高．
18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．
（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；
（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．
（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCM，BC⊂平面BCM，∴AB⊥BC，
∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，
∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，
∵BC⊂平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）证明：设BC中点为Q，连结NQ，MQ，
∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，
∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，
∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，
∵MQ⊂平面BCM，A1N⊄
∴A1N∥平面BCM．
（Ⅲ）解：连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，
得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，
∵M为A1B1的中点，
∴棱锥C1-BB1M的体积===．
19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C 上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．
（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．
解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，
∵e==，
∴a=2，c=，
∴椭圆的方程为+=1，
设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，
又∵A（-2，0），
∴直线AM的斜率k AM==∈（-，），
又M为椭圆C上异于A，B的一点，
∴k AM∈（-，0），（0，），
（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，
则+=1，
直线AM的方程为y=（x+2），
令x=0，得点P的坐标为（0，），
由∠PFQ=90°，可得•=0，
∴（-，）•（-，y1）=0，
即2+•y1=0，
解得y1=-，
∴Q（0，-），
∵k BM=，k AQ=-，
∴k BM-k AQ=+=0，
故k BM=k AQ，即AQ∥BM
20.已知函数，其中．
（I）如果曲线与x轴相切，求a的值；
（II）若，证明：；
（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．（I）解：求导．得f′（x）=-1=
∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．
由f′（x）=0，解得x=1，
又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0
解得a=1．
（II）证明：由题意，f（x）=ln x-x+ln2e，
令函数F（x）=f（x）-x=ln x-2x+ln2e
求导，得F′（x）=-2=
由F′（x）=0，得x=，
当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：
x （0，）（，+∞）F′（x）+ 0 -
F（x）增极大值减
∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，
故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，
∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，
（Ⅲ）解：由题意可得，g（x）=，
∴g′（x）=，
当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，
当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，
∴x-2ln x+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2ln x+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，
令h（x）=x-2ln x+1，
∴h′（x）=1-=，
由h′（x）=0，解得x=2，
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，
∴h（x）max=h（1）=2
∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，
∴2a≥2或2a≤3-2ln2，
∴a≥1或a＜-ln2，
∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，
∴-ln2＜a＜1，
故a的取值范围为（-ln2，1）．。