浙江省绍兴市柯桥区兰亭中学2015_2016学年度八年级数学上学期期中试题(含解析)新人教版

浙江省绍兴市柯桥区兰亭中学2015-2016学年度八年级数学上学期期中试
题
一、选择题（共10题，每题2分，共20分）
1．△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，则∠A的度数是（）
A．70° B．30° C．80° D．90°
2．已知三角形的两边长分别是5cm和10cm，则下列长度的线段中不能作为第三边的是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．14cm
3．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
4．满足﹣1＜x≤2的数在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
5．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的高为（）
A．5 B．12 C．6 D．
6．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE（）
A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF
7．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）
A．70° B．35° C．110°或35°D．110°
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．3 B．4 C．6 D．5
9．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC边的中点，BC=2；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为（）
A．1 B．1.5 C．D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）
（1）△ABC是等腰三角形（2）BF=AC
（3）BH：BD：BC=1：（4）GE2+CE2=BG2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
11．已知x＜y，试比较大小：2x 2y．
12．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．
13．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为．
14．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是，这个逆命题是命题；
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B恰好落
在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=．
16．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF、CE，下列说法：
①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．
其中正确的是．
17．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为．
18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD= ．
19．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN=．
20．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B
为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB=x，若△ABC为直角三角形，则x= ．
三、简答题（共6题，共50分）
21．解不等式解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2（x﹣1）+5＜3x；
（2）﹣≤1．
22．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
23．如图，FE⊥AB于点E，AC⊥BF于点C，连结AF，EC，点M，N分别为AF，EC的中点，连结ME，MC．
（1）求证：ME=MC．
（2）连结MN，若MN=8，EC=12，求AF的长．
24．柯桥苏宁电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
25．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小
辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别a、a、a（a ＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
26．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为6cm2？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
浙江省绍兴市柯桥区兰亭中学2015～2016学年度八年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题2分，共20分）
1．△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，则∠A的度数是（）
A．70° B．30° C．80° D．90°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=30°，∠C=70°，
∴∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，
故选C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
2．已知三角形的两边长分别是5cm和10cm，则下列长度的线段中不能作为第三边的是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．14cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】设三角形第三边的长为x，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，
∵三角形的两边长分别是5cm和10cm，
∴10cm﹣5cm＜x＜10cm+5cm，即5cm＜x＜15cm，
∴四个选项中只有A不符合．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键．
3．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
【考点】反证法．
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，
∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，
只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．满足﹣1＜x≤2的数在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】﹣1＜x≤2表示不等式x＞﹣1与不等式x≤2的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈
不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由于x＞﹣1，所以表示﹣1的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．
由于x≤2，所以表示2的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．
所以数轴表示的解集为
故选B．
【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的高为（）
A．5 B．12 C．6 D．
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，然后设斜边上的高为h，再根据三角形的面积列出方程求解即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边==5，
设斜边上的高为h，
则三角形的面积=×5h=×3×4，
解得h=．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
6．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE（）
A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，BE=CF，具备了两条边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：可添加AC=DF，或AB∥DE或∠B=∠DEF，
证明添加AC=DF后成立，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
又AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF．
故选D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
7．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）
A．70° B．35° C．110°或35°D．110°
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是70°，
∴∠A=180°﹣70°=110°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=（180°﹣110°）=35°．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，根据求出的∠A是钝角可知∠B是底角是解题的关键．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．3 B．4 C．6 D．5
【考点】角平分线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC边的中点，BC=2；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为（）
A．1 B．1.5 C．D．
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为QE+QC最小值．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，且BC=2，
∴AB=2，
连接BE，线段BE的长即为QE+QC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE=AB=1，
∴BE==，
∴QE+QC的最小值是．
故选D
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）
（1）△ABC是等腰三角形（2）BF=AC
（3）BH：BD：BC=1：（4）GE2+CE2=BG2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A=∠BCA，再根据等角对等边可得AB=BC，从而得证；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；
（4）由（2）得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角△CEG得出CG2=CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
故（1）正确；
（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴BD=CD，BC=BD．
由点H是BC的中点，
∴DH=BH=CH=BC，
∴BD=BH，
∴BH：BD：BC=BH：BH：2BH=1：：2．
故（3）错误；
（4）由（2）知：BF=AC，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴CE=AE=AC，
∴CE=AC=BF；
连接CG．
∵BD=CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG=CG，
在Rt△CGE中有：CG2=CE2+GE2，
∴CE2+GE2=BG2．
故（4）正确．
综上所述，正确的结论由3个．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
11．已知x＜y，试比较大小：2x ＜2y．
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变可得2x＜2y．【解答】解：x＜y，则2x＜2y，
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
12．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是钝角三角形．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：
锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．
【点评】注意不同形状的三角形的高的位置．
13．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为24 ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．
【解答】解：作辅助线：连接AB，
因为△ABD是直角三角形，所以AB===5，
因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×12×5﹣×3×4=30﹣6=24．
【点评】巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解．综合运用勾股定理及其逆定理．
14．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题；
【考点】命题与定理．
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形．
因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题．
【点评】要根据逆命题的定义来回答，逆命题与原命题互换题设和结论．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B恰好落
在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= 3 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设EB′=x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设EB′=x，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
由折叠的性质可知，BE=EB′=x，AB′=AB=6，
则CB′=AC﹣AB′=4，EC=BC﹣BE=8﹣x，
由勾股定理得，x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
∴EB′=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF、CE，下列说法：
①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥C E；④△BDF≌△CDE．
其中正确的是①②③④．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
17．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为8 ．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】由已知易得CD=BC，AD=BD，则AC=CD+BD=18，所以BC=28﹣18=10，则CD=10，即可求得BD．【解答】解：∵CE平分∠ACB，且CE⊥DB，
∴CD=BC，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
∵AC=CD+AD=18，
∴AC=CD+BD=18，
∴BC=△BCD的周长﹣AC=28﹣18=10，
∴CD=10，
∴BD=18﹣10=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系．
18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD= 6．
【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【分析】首先证明△ABE≌△CED，得到∠AEB=∠EDC，在利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°，
∴∠AEB=∠CDE=30°，
∵30°所对的直角边是斜边的一半，AB=CE=3，
∴AE=6，DE=6，
在△ABE和△CED中，
，
∴△ABE≌△CED（ASA），
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°
根据勾股定理
∴AD==6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．
19．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN=20°．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到FA=FB，NA=NC，得到∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴FA=FB，NA=NC，
∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，
∠FAN=∠BAC﹣∠BAF﹣∠CAN=100°﹣80°=20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B
为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB=x，若△ABC为直角三角形，
则x= 或．
【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理．
【专题】分类讨论．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．
【解答】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3﹣x．
∴，
解得1＜x＜2；
①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解，
②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得x=，满足1＜x＜2，
③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得x=，满足1＜x＜2，
故x的值为：或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．
三、简答题（共6题，共50分）
21．解不等式解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2（x﹣1）+5＜3x；
（2）﹣≤1．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【解答】解：（1）去括号得，2x﹣2+5＜3x，
移项得，2x﹣3x＜2﹣5，
合并同类项，得﹣x＜﹣3，
系数化为1得，x＞3，
解集在数轴上表示为：
（2）去分母，得2（4x+3）﹣5（7﹣x）≤10，
去括号，得8x+6﹣35+5x≤10，
移项，得8x+5x≤10+35﹣6，
合并同类项，得13x≤39，
系数化为1，得x≤3，
解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集的知识，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
22．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先角平分线的性质得到OD=OE，然后利用其他已知条件可以证明△BOD≌△COE，从而不难得到结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．
∵∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE．
∴OB=OC．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，利用它构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质与判定解决问题．
23．如图，FE⊥AB于点E，AC⊥BF于点C，连结AF，EC，点M，N分别为AF，EC的中点，连结ME，MC．
（1）求证：ME=MC．
（2）连结MN，若MN=8，EC=12，求AF的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）首先根据FE⊥AB于点E，AC⊥BF于点C可得△AEF和△ACF是直角三角形，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；
（2）首先连接MN，根据等腰三角形的性质可得MN⊥EC，再利用勾股定理计算出MC的长，然后再计算AF长即可．
【解答】（1）证明：∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∵M为AF中点，
∴EM=AF，
∵AC⊥BF，
∴∠ACF=90°，
∴CM=AF，
∴EM=CM；
（2）解：∵N为EC中点，EM=CM，
∴MN⊥EC，CN=EC，
∵EC=12，
∴C N=6，
∵MN=8，
∴MC==10，
∴AF=20．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形性质和勾股定理的应用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
24．柯桥苏宁电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇
最多能采购多少台？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元、B种型号电风扇的销售单价为y元，根据3台A 型号5台B型号的电扇收入1720元，4台A型号10台B型号的电扇收入2960元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多于5100元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元、B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种型号电风扇的销售单价为240元、B种型号电风扇的销售单价为200元；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：190a+160（30﹣a）≤5100，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
25．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小
辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： 3.5 ．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别a、a、a（a ＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
【考点】勾股定理．
【专题】作图题；阅读型．
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）先作出以a、2a为直角边的三角形的斜边，再根据勾股定理和网格结构作出a、a的长度，然后顺次连接即可；再根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式
计算即可得解．
【解答】解：（1）△ABC的面积=3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3
=9﹣1﹣﹣3
=9﹣5.5
=3.5；
故答案为：3.5；
（2）△ABC如图所示，
△ABC的面积=2a•4a﹣×2a•a﹣×2a•2a﹣×4a•a
=8a2﹣a2﹣2a2﹣2a2
=3a2．
【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息并熟练掌握网格结构和勾股定理准确找出对应点的位置是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为6cm2？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
【考点】全等三角形的判定；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】（1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE
和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB2=BC2，
∴AB==3cm；
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF=BC=3cm，
∵S△ABD=6cm2，
∴AF×BD=12，
∴BD=4cm．
若D在B点右侧，则CD=2cm，t=1s；
若D在B点左侧，则CD=10cm，t=5s．
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=6﹣2t∴t=6﹣2t∴t=2
证明：∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t﹣6∴t=2t﹣6∴t=6
证明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE
∴△ABD≌△ACE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质及面积，综合性强，题目难度适中．
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