2018-2019学年华二附中高三期中考

华二附中高三期中数学试卷
2018.11
一.填空题
1.抛物线2
y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为_____________ 2.函数()
()22log 10y x x =+<的反函数是____________
3.已知1
020
lg 03
4
x π=，则x =_____________
4.若函数21
1
x y x -=
-的值域是(,0][3,)-∝+∝U ，则此函数的定义域是__________ 5.在平面直角坐标系中，从六个点A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三个点能构成三角形的概念是_____________（结果用分数表示）
6.已知实数a 满足3a i +≥，则21
2lim 2n n
n
n n a a +-→∝+=+___________ 7.一般地，矩阵运算''a b x x c d y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以看作向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
变
换为向量''x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，我们把矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做变换矩阵，向量''x y ⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭叫做向量x y ⎛⎫
⎪⎝⎭的像，已知向量cos sin r r αα⎛⎫
⎪⎝⎭的像是()()cos sin r r αθαθ+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝
⎭，则对应的变换矩阵是_______ 8.某家具公司生产甲、乙两种书柜，制柜需先制白胚再油漆，每种柜的制造白胚工
则该公司合理安排这两种产品的生产，每天可获得的最大利润为______________ 9.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意
()1212,[2,)x x x x ∈+∝≠0 ，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则
实数a 的取值范围是_________
10.已知三棱锥A-BCD ，从B 、C 、D 三点及各棱中点共9个点中任取不共面4点，共____________种不同的取法（用数字作答）
11.如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴y 上运动，在第一
秒时它从原点运动到点（0，1），接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点_______________.
12.已知正实数p 、q 满足2p q pq +=，则22p q p q ++的最小值是
_________ 二.选择题
13.若()''
3x y +展开式的系数之和等于()10
7a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（ ） A.15 B.10
C.8
D.5
14.已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与
AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，
则圆N 的面积为（ ） A.7π B.9π
C.11π
D.13π
15.使直线1ax by +=和2
2
50x y +=只有整数公共点的有序实数对(),a b 的个数为（ ） A.72
B.74
C.78
D.82
16.定义向量的外积：a b ⨯r r 叫做向量a r 与b r
的外积，它是一个向量，满足下列两个
条件：
（1）,a a b b a b ⊥⨯⊥⨯r r r r r r ，且,a b r r 和a b ⨯r r
构成右手系（即三个向量两两垂直，且
三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；
（2）a b ⨯r r 的模sin ,a b a b a b ⨯=•r r r r r r ,a b r r
表示向量a r 、b r 的夹角）；如右图，
在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论： ①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB BC BC AB ⨯=⨯；
③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等；
④()
1AB AB CB ⨯•与正方体体积的数值相等；
这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A.4 B.3 C.2
D.1
三.解答题
17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωθωθ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图像与y 轴交于点302⎛⎫
⎪⎝⎭
，，它在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3M x 、()02,3N x π+-，点P 是()f x 图像上任意一点.
（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知()0,1j =r
，求()
j MP NP •+r 的取值范围.
18.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB 23=.
（1）求点A 到平面MBC 的距离；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.
19.已知二次函数()2
f x ax bx c =++（a 、b 、c 均为实常数，*
a N ∈）的最小
值是0，函数()y f x x =-的零点是352x +=
和35
2
x =，函数()g x 满足()()21f x g x x k =•+-，其中2k ≥，为常数.
（1）已知实数1x 、2x ，满足120x k x <<<，且2
12x x k •>，试比较()1g x 与()2g x
的大小关系，并说明理由；
（2）求证：()()()()()()1211221g g g k g k g k g k +++->++++-L L .
20.已知A 、B 为椭圆()222210x y a b a b +=>>和双曲线22
221x y a b
-=的公共顶点，
P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且
()
(),>1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈，设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别
为1k 、2k 、3k 、4k .
（1）若2λ=，求2
OP 的值（用a 、b 的代数式表示）； （2）求证：12340k k k k +++=；
（3）设1F 、2F 分别为椭圆和双曲线的右焦点，若22F P F Q P ，求2222
1234
k k k k +++的值.
21.已知数列{}()()11
:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,1,...,1k k k n a k k ----------644474448
个
，即当
()()
()*
112
2
k k k k n k N -+<≤∈时，()
1
1k n
a k -=-，记
()*12n n S a a a n N =+++∈L .
（1）求2018S 的值；
（2）求当（
()()()()*11222
k k k k n k N +++<≤∈，试用n 、k 的代数式表示
()*n S n N ∈；
（3）对于*
t N ∈，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*
n N ∈，且1}n t ≤≤，
求集合2018P 中元素的个数.
参考答案
一.填空题
1.
14
2.)0y x =>
3.1
4.[0,1)(1,2]U
5.34
6.a
7.
cos sin sin cos θθθ
θ
- 8.272
9.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
10.69
11.()6,44
12.10
二.选择题 13.D 14.A 15.A 16.D
三.解答题
17.（1）()1
3sin 26f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
；（2）[]6,6-
18.（1）d =
（2 19.（1）()()()2
1221,f x x x g x g x =-+<；（2）略
20.（1）22
532
a b +；（2）证明略；（3）8
21.（1）1888；（2）()()()1
1112k n k k S m k -+⎡⎤=-+-⎢
⎥⎣⎦
，其中1,2,...,1m k =+，
()()()()*11222
k k k k n k N +++<≤∈；
（3）65.。