江苏省南京鼓楼区2016-2017学年八年级下学期期末数学试题(有解析)

2017年鼓楼期末试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
2．若将分式x y
xy +中的x 和y 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）． A ．是原来的
12
B ．是原来的2倍
C ．是原来的
14
D ．不变
3．已知反比例函数(<0)k
y k x
=的图像经过点(1,)A a 、(3,)B b ，则a 与b 的关系正确的（ ）
A ．a b =
B ．a b =-
C ．<a b
D ．>a b
4．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）． A ．点数之和是偶数 B ．点数之和是奇数 C ．点数之和小于13
D ．点数之和小于2
5．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，点M 、N 分别是AE 、PE 的中点，则线段MN 长为（ ）．
P M N
E
D C
B
A
A ．210
B ．3
C 13
D 106．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数1
y x x
=-
进行探索．下列结论：①图像在第一、三象限；②图像与y 轴无交点；③图像与x 轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当>0x 时，y 随x 的增大而增大；其中正确的结论（ ）．
A ．①②③
B ．①③⑤
C ．②④⑤
D ．③④⑤
-121
2
-32
32-2
-12
1y x
二、填空题（每小题2分，共20分）
7
x 的取值范围是________．
8．当x ________时，分式
2
3x x
-的值为0． 9．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，
而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为km/h x ，则根据题意可列方程为_______________． 10．如果
32311
x a
x x -=+++，则常数a 的值是________． 11．如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDFE 重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点
有________个．
F
E
D
C
B
A
12．把一元二次方程2430x x -+=配方成2()x a b +=的形式，则a b +=________．
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，由此可估计袋中约有红球________个．
14．如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是d ，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，且面积都是1，则d =________．
l 4
l 3l 2l 1D
C
B
A
M
E A
B
C
D
15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，M 为斜边AB 上一动点，过点M 作MD AC ⊥，垂足为D ，作ME CB ⊥，垂足为E ，则线段DE 的最小值为________．
16．如图，A 、B 是反比例函数k
y x
=
图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO △的面积为4，则k 的值为________．
三、解答题（本大题共11小题，共68分）
17．（8分）计算：（1
（2）22
-⎝⎭⎝⎭
18．（8分）解方程：（1）
31244
x
x x -+=-- （2）22(1)(23)x x +=-
19．（5分）先化简，再求值：
11122a a a ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中a 的值是方程220a a -=的解．
20．（6分）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分：
30%
26%
F E
A
B C D
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查方式是________；（填“普查”或者“抽样调查”）
（2）本次调查的家庭数为________户，家庭用水量在9.0<11.5x ≤范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是________%．
（3）若该小区共有1000户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD 中，EF BD ∥，分别交BC ，CD 于P ，Q ，交AB ，AD 的延长线于点E 、F ．
P Q
F
E
A
B C
D
（1）求证：EP FQ =；
（2）若BE BP =，求证平行四边形ABCD 是菱形．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程2
1 (1)0
4
kx k x k
--+=．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当k取最大整数时，求该一元二次方程的解．
23．（6分）（1
1
>”、“<”或者“=”）；
（2）其实我们可以利用三角形的知识在方格纸上画图验证（1）的结果，请在图①中画出相应的图形（设小正方形的边长为1）；
（3）用（2
（填“>”、“<”或者“=”）．
②
①
24．（7分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 、N 分别在AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，设落点为E ，折痕MN 与DE 相交于点Q ．
N
M Q
F
E D
C
B
A
（1）若E 是BC 的中点，求DN 的长；
（2）比较线段DE 与MN 的大小，并说明理由；
（3）若点G 为EF 的中点，随着折痕MN 位置的变化，请直接写出GQE △周长的最小值．
25．（8分）阅读材料：设>0a ，>0b
．∵2
0≥
，∴0b a a -≥，
即b
a a +≥
，即a =时，取“=”）．
由此可得结论：若>0a ，>0b
，则当a 时，b
a a +
有最小值 理解概念：（1）若0x >，则x =________时，函数1
x x
+有最小值为________．
拓展应用：（2）若>1x ，则代数式4
1
x x +-的最小值为________，此时x =________；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD 靠墙（如图，墙足够长），面积为28m ，求至少需要多少米的篱笆？
D C
B
A
26．（8分）如图，已知(,2)
A n、(2,4)
B-是一次函数y kx b
=+和反比例函数
m
y
x
=的图像的两个交点．
（1）求m、n的值；
（2）观察图像，直接写出<m
kx b
x
-的解集；
（3）若将反比例函数
m
y
x
=的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，此时该函数图像
与x轴、y轴分别交于P、Q两点．
①请你直接写出P、Q的坐标：________．
②求四边形APBQ的面积．
2017年鼓楼期末试卷
（满分：100分 时间：100分钟）
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）． A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【解析】中心对称图形的定义． 2．若将分式x y
xy +中的x 和y 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）． A ．是原来的12
B ．是原来的2倍
C ．是原来的
14
D ．不变
【答案】A 【解析】
222()12242x y x y x y
x y xy xy
+++==⋅⋅．
3．已知反比例函数(<0)k
y k x
=的图像经过点(1,)A a 、(3,)B b ，则a 与b 的关系正确的是（ ）．
A ．a b =
B ．a b =-
C ．<a b
D ．>a b
【答案】C
【解析】反比例函数(<0)k
y k x
=的图像在二、四象限，点(1,)A a 、(3,)B b 在第四象限，y 随x 的增大而增
大，3>1，即>b a ．
4．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）． A ．点数之和是偶数 B ．点数之和是奇数 C ．点数之和小于13
D ．点数之和小于2
【答案】C
【解析】点数之和为偶数的概率为12，点数之和为奇数的概率为1
2
，点数之和小于13的概率为1，点数之和小于2的概率为0．
5．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，点M 、N 分别是AE 、PE 的中点，则线段MN 长为（ ）．
P M N
E
D C
B
A
A
．B ．3
C
D
【答案】D 【解析】连接AP ．
∵M 、N 分别是AE 、PE 的中点． ∴MN 是APE △的中位数．
即111
222
MN AP =
= A B
C
D E
N M P
6．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数1
y x x
=-
进行探索．下列结论：①图像在第一、三象限；②图像与y 轴无交点；③图像与x 轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当>0x 时，y 随x 的增大而增大；其中正确的结论是（ ）． A ．①②③ B ．①③⑤ C ．②④⑤ D ．③④⑤
【答案】C
【解析】通过抽点作图，函数1
y x x
=-
的图象大致如右图图像分布在一、二、三、四象限；自变量0x ≠，则图像与y 轴没有交点；当1x =±时，0y =，则图像与x 轴有两个交点；图像关于原点中心对称；当>0x 时，y 随x 的增大而增大．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7x 的取值范围是________．
【答案】2x ≤
【解析】20x -≥，2x ≤． 8．当x ________时，分式2
3x x
-的值为0． 【答案】2
【解析】
2
=03x x
-，20x -=，2x =． 9．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，
而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为km/h x ，则根据题意可列方程为_______________． 【答案】
180180
11.5x x
=+ 【解析】原来的平均车速为km/h x ，A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速为1.5km/h x ，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，可列方程：18018011.5x x =+（180180
=11.5x x
-亦可）． 10．如果
32311
x a
x x -=+++，则常数a 的值是________． 【答案】5-
【解析】
32311
x a
x x -=+++ 323(1)x x a -=++
2=3a -+ 5a =-．
11．如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDFE 重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点
有________个．
F
E
D
C
B
A
【答案】3 【解析】
可以作为旋转中心的点有C 点、D 点和CD 的中点G 点．
B
C
F
12．把一元二次方程2430x x -+=配方成2()x a b +=的形式，则a b +=________． 【答案】1-
【解析】2430x x -+=，2243(2)10x x x -+=--=，2(2)1x -=． 即2a =-，1b =，1a b +=-．
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，由此可估计袋中约有红球________个． 【答案】8
【解析】设袋中的红球为x 个，根据题意可设方程
0.484
x
x =++．解得8x =．
14．如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是d ，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，且面积都是1，则d =________．
l 4
l 3l 2l 1D
C
B
A
【解析】分别过B 、D 两点作EF 、HG 垂直于平行的直线． 易证四个小直角三角形全等（AAS ）及正方形EFGH ，边长为3d ． 21(3)4212d d d -⋅⋅⋅
=
，解得d ． G
F
H
E A B
C D l 1l 2
l 3l 4
15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，M 为斜边AB 上一动点，过点M 作MD AC ⊥，垂足为D ，作ME CB ⊥，垂足为E ，则线段DE 的最小值为________．
M
E A
B
C
D
【答案】
125
【解析】设DM x =（0<<3x ）．
DM AD BC AC =，43AD x =，4
43CD x =-，CE DM x ==． 2
2
2
2
2242532416393DE CD CE x x x x ⎛
⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭．
开口朝上，当48225b x a =-
=时，2DE 有最小值为14425
．
那么DE 的最小值为
125
． D C
B
A
E M
16．如图，A 、B 是反比例函数k
y x
=
图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO △的面积为4，则k 的值为________．
【答案】163
-
【解析】过A 、B 两点分别作AE x ⊥轴，BF y ⊥轴． D 是BO 的中点，1
==22
ABD AOD AOB S S S =△△△．
易知B 点的纵坐标是C 点的两倍．
又==
2
AOC BOF k S S △△，则==2AOD BDCF S S 梯形△
3=4BOF BDCF S S 梯形△，3=242
k
⋅
，16=3k ，k
三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17．（8分）计算：（1
（2）22
-⎝⎭⎝⎭
【解析】（1）原式
（2）原式=+⎝⎭⎝⎭
1
18．（8分）解方程：（1）
31244
x
x x -+=-- （2）22(1)(23)x x +=- 【解析】（1）31244
x x x -+=--． 等式两边同时每次以4x -，32(4)1x x +-=-．
解得2111x x +=-，4x =． 检验，当4x =时，40x -=．
∴4x =是原方程的增根，原方程无解． （2）22(1)(23)x x +=-．
123x x +=-或132x x +=-．
解得14x =，22
3
x =．
19．（5分）先化简，再求值：
11122a a a ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭，其中a 的值是方程220a a -=的解．
【解析】原式22121
=
22a a a a a -+-+÷-- 2(1)1=22a a a a --÷
-- =1a -．
解方程220a a -=得10a =，22a =．
当2a =时，20a -=，舍去；0a =时，11a -=-．
20．（6分）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分：
30%
26%
F E A
B C D
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查方式是________；（填“普查”或者“抽样调查”）
（2）本次调查的家庭数为________户，家庭用水量在9.0<11.5x ≤范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是________%．
（3）若该小区共有1000户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数． 【答案】（1）抽样调查． （2）50；18． （3）640．
【解析】（1）抽样调查．
（2）1326%=50÷（户）．（分组的家庭数为5030%=15⨯（户），那么D 分组的家庭所占的比例为504131563
=18%50
-----）．
（3）41315
1000=64050
++⨯（户）． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD 中，EF BD ∥，分别交BC ，CD 于P ，Q ，交AB ，AD 的延长线于点E 、F ．
P Q
F
E
A
B C
D
（1）求证：EP FQ =；
（2）若BE BP =，求证平行四边形ABCD 是菱形． 【解析】（1）∵ABCD 是平行四边形． ∴AD BC ∥，AB CD ∥． ∵EF BD ∥，AB CD ∥．
∴四边形BEQD 为平行四边形． ∴BD EQ =．
同理可得，四边形BPFD 为平行四边形，BD PE =． ∴EQ PF =． ∴EP FQ =． （2）∵BE BP =． ∴BFP BPE ∠=∠． ∵BD EF ∥．
∴ABD BEP ∠=∠，CBD BPE ∠=∠． ∵AD BC ∥． ∴CBD ADB ∠=∠． ∴ABD ADB ∠=∠． ∴AB AD =．
又∵ABCD 为平行四边形． ∴ABCD 为菱形．
22．（6分）已知关于x 的一元二次方程2
1(1)04
kx k x k --+=．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当k 取最大整数时，求该一元二次方程的解．
【解析】（1）由题意可知k 2
01(1)4>04k k k k ≠⎧⎪
⎨--⋅⎪⎩． 解得1
<
2
k 且0k ≠． （2）1k =-，此时2
1
204
x x -+-
=．
解得11x =
，21x =
23．（6分）（1
1
>”、“<”或者“=”）；
（2）其实我们可以利用三角形的知识在方格纸上画图验证（1）的结果，请在图①中画出相应的图形（设小正方形的边长为1）；
（3）用（2
（填“>”、“<”或者“=”）．
②
①
【解析】（1）>． （2）
C
B
A
1AB =
，AC
BC 易得>AB AC BC +．
（3）“<”
．如图，AB
BC =
AC ，则<AC AB BC -．
A
B
C
24．（7分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 、N 分别在AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，设落点为E ，折痕MN 与DE 相交于点Q ．
N
M Q
F
E D
C
B
A
（1）若E 是BC 的中点，求DN 的长；
（2）比较线段DE 与MN 的大小，并说明理由；
（3）若点G 为EF 的中点，随着折痕MN 位置的变化，请直接写出GQE △周长的最小值． 【解析】（1）设DN EN x ==，4CN x =-．
在Rt NEC △中，222CN CE EN +=，则222(4)2x x -+=． 解得 2.5x =，即 2.5DN =．
（2）如图，过M 点作MG CD ⊥，MG 交CD 于点G ，交DE 于点H ．
N
A
B
C
D E F
Q
M N
由折叠性质可知，DE MN ⊥．
90MHQ HMQ ∠+∠=︒，90MNG NMG ∠+∠=︒． 则=MHQ MNG ∠∠． 又∵MG BC ∥． ∴MHE CED ∠=∠． ∴MNG DEC ∠=∠． 在MNG △和DEC △中， CED GNM C MGN
CD MG ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
． ∴MNG △≌DEC △（AAS ）三垂直模型．
那么MN DE =．
（3）如图，取AD 中点F ，连接QF 、QG 、QC ．
F G N
M Q F
E D
C
B
A
由折叠的对称性可知，QF QG =． ∵Q 为DE 中点，CDE △为直角三角形． ∴QE CQ =．
∴22GQE C QG GE EQ QF CQ CF =++=+++△≥． 当且仅当F 、Q 、C
开线时最小，最小为2+
25．（8分）阅读材料：设>0a ，>0b
．∵2
0≥
，∴0b a a -≥，
即b
a a +≥
，即a =时，取“=”）．
由此可得结论：若>0a ，>0b
，则当a 时，b
a a +
有最小值 理解概念：（1）若0x >，则x =________时，函数1
x x
+有最小值为________．
拓展应用：（2）若>1x ，则代数式4
1
x x +-的最小值为________，此时x =________；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD 靠墙（如图，墙足够长），面积为28m ，求至少需要多少米的篱笆？
D C
B
A
【答案】（1）1；2 （2）5；3 【解析】（1）1；2．
（2
）44=111511x x x x +-++=--≥．当411
x x -=-，3x =时，取最小值． （3）设AB x =，则CD x =，8
BC x
=．
则篱笆长度为828x x +=≥，当且仅当2x =时取“=”．
答：至少需要8m 篱笆．
26．（8分）如图，已知(,2)A n 、(2,4)B -是一次函数y kx b =+和反比例函数m
y x
=的图像的两个交点．
（1）求m 、n 的值； （2）观察图像，直接写出<m
kx b x
-的解集； （3）若将反比例函数m
y x
=
的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，此时该函数图像与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点．
①请你直接写出P 、Q 的坐标：________． ②求四边形APBQ 的面积．
【解析】（1）点(2,4)B -在m
y x
=上，解得8m =-．
点(,2)A n 在8y x -=上，则
8
2n -=，4n =-． （2）<m kx b x -，即<m
kx b x
+，求一次函数图象在反比例函数图象下方的部分图像解集，观察图像可知，
解集为4<<0x -工k >2x ．
（3）平移之后的函数解析式为8
14
y x =-
--，(4,0)P -，(0,1)Q ． 设PB 交y 轴于C 点，设PB 的解析式为y kx b =+(0)k ≠．
将P 、Q 坐标代入求得23k =-，8
3
b =-．
解析式为28
33
y x =--．
∴80,3C ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭．
∴11134=24=233APCQ S ⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭梯形，11111
=2=233BCQ S ⨯⨯△．【注意有文字】
∴=15APBQ S 四边形．【注意有文字】。