8.2正态总体的参数检验
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电子科技大学
正态总体参数假设检验
由于σ2 未知，故采用 t 检验法. H0 成立时，检验统计量
T X0 ~t(n1)
Sn
x1 6i 61xi13,1s 4 n1 1i 61 xix23.5,2
t x 131143 12.0 78 , 3 s n1 3.521 6
2
铁水温度的测量
电子科技大学
正态总体参数假设检验
采用不同的显著性水平α,常得到不同的结论. 即检验的结果取决于显著性水平α的选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
未1 2 ， 知 2 2 ，但 1 22 2 有 2
例8.2.1 炼钢厂为测定混铁炉铁水温度，用测 温枪(主要装置为一种热电偶)测温6次，记录 如下(单位：oC)：
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
未知方差时,如何检验关于正态总体均值的 有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
电子科技大学
正态总体参数假设检验
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X0 ~t(n1)
Sn
拒绝域为： t t(n1)
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01).
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正态总体参数假设检验
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2. 由于未知σ2, 故采用 t 检验法, 取检验统计量
(查标准正态分布表 u0.005=2.58)
有
|t|=5.712>2.598，
所以拒绝假设H0，即认为正常成年男、女性 红细胞数有显著差异.
#
电子科技大学
正态总体参数假设检验
例8.2.3 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田 中, 每块田中甲、乙稻种各种一半. 假设两种稻 种产量X、Y 服从正态分布, 且方差相等. 10块田 中的产量如下表 (单位: 公斤) ，两种稻种的产 量平均值是否有明显差异？ (α=0.05).
Swn 1n 122[n (11)S1 2(n 21)S2 2]5.2 39 , 5
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正态总体参数假设检验
t xy 46.15342.1265.71, 2
sw
11 n1 n2
5.32951 1 15674
α=0.01时可得：tα/2=t0.005(228)=2.598,
SZ2
1n ni1(Zi
Z)2
因Z1,Z2， ,Zn相互,独 且立
Zi～N(μ1－μ2, 2σ2)
电子科技大学
正态总体参数假设检验
根据抽样定理知，统计量
T
Z (1 2 )
SZ
～t (n－1)
n
原检验问题等价于检验：
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0成立，则
T
Z n ~t(n1)
SZ
两种稻种的平均值差异
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正态总体参数假设检验
二、方差σ2 的检验
1. 2 检验法
X1,…,Xn 是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,检验
H0: σ2 = σ02； σ2 ≠ σ02 1)已知μ
原假设成立时， 2i n1(Xi 0)2~2(n)
n1n122in11(Xi X)2jn21(Yj Y)2
拒绝域为： t t(n1n22)
2
电子科技大学
正态总体参数假设检验
特别 n1 n2 n时 T n XY ~t(2n2) S12S22
成年人红细胞数 与性别的关系
两种稻种的平均值差异
电子科技大学
正态总体参数假设检验
§8.2 正态总体的参数检验
一、均值μ的检验 1. u 检验法 1) 单样本u 检验法：
X1,…,Xn是从正态总体N(μ,σ02)中抽取的 简单随机样本
已知σ02 ，检验 H0: μ= μ0，H1：μ≠μ0
电子科技大学
正态总体参数假设检验
原假设成立时，U X0 ~N(0,1) 0 n
长度xi : 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12
频数yi : 1
3 7 10 6 3 1
解 检验假设 H0：σ=σ0=0.424， H1：σ≠σ0 若原假设H0成立，则有
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计算得
正态总体参数假设检验
2
(n1)S2
02
～
2(n1)
xn1i71nixi 11.08, 4
t
4.9457
s1 2s2 2
1.9 6 37.6 22
查t 分布表得： t0.025(18)= 2.1009
有
|t|=4.9457>2.1009，
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
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正态总体参数假设检验
解二 设X~N(1, 2), Y~N(2, 2),
7
(n1)s2 nixi2nx
i1
3816.432808.4188.00, 2
拒绝域为：
u u
2
见例8.1.1 “包装机工作正常与否的判断”
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正态总体参数假设检验
2) 双样本u 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
已知σ12与σ22，检验假设 H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
正态总体参数假设检验
3) 配对试验 t 检验法
设总体X~N(μ1, 2), Y~N(μ2, 2), X与Y相
互独立，当成对抽样时(n1=n2 )，如何检验：
H0: μ1 = a2 ， H1: μ1 ≠ a2 ；
分析 记 Z i X i Y i, i 1 ,2 , ,n ;
则有 Zn 1i n1Zi XY,
甲 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 乙 135 118 115 140 128 131 130 115 121 125
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正态总体参数假设检验
解一 设X~N(1 , 2), Y~N(2 , 2),
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2.
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
#
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正态总体参数假设检验
例8.2.4 一自动车床加工的零件长度X～N(,
2 ), 原加工精度 0=0.424，经过一段时间后要
检验此车床是否保持原加工精度，测得31个零
件的长度数据如下：
(取α=0.05)
拒绝域为：
2 2 (n)
2
或
2
2 1
(n)
2
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正态总体参数假设检验
2(x;n)
12 2(n)
2
2
(n)
x
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正态总体参数假设检验
2) 未知μ X1,…,Xn 是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样
本，检验 H0: σ2 = σ02；H1： σ2 ≠ σ02
T X Y (1 2)
Sw
11 n1 n2
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正态总体参数假设检验
H0成立，则 T
X Y
1 1 ～t(n1+n2－2)
Sw
n1 n2
n 11,5x 64.6 1万 5 3/m3,m s15.9 4万 7/6 m3m
n27,4y4.2 1万 2 6/m3,m s24.5 9万 3/6 m3m
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正态总体参数假设检验
若取α=0.05，查t 分布表可得 t0.025(5)=2.5706，
因为
|t|=2.783> t0.025(5)=2.5706，
所以在显著性水平0.05下，拒绝H0，即可 认为该种测温枪有系统误差.
若取α=0.01，查t 分布表可得 t0.005(5)=4.0322，
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0 成立，则
TZ(12) n Z
SZ
SZ
～t(n－1)，
n
其中 ZXY，Z110i110(Xi Yi)XY,
SZ2
1 10 10i1(Zi
Z)2,
电子科技大学
正态总体参数假设检验
由样本值表可计算得
因为
|t|=2.783<t0.005(5)=4.0322，
所以在显著性水平0.01下，接受H0，即可认 为该种测温枪没有系统误差.
电子科技大学
正态总体参数假设检验
#
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正态总体参数假设检验
例8.2.2 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
原假设成立时， 2(n1)S022~2(n1)
拒绝域为：
2 2(n1) 或
2
2 12(n1) 2
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正态总体参数假设检验
2(x;n1)
122(n1)
x
2 2(n1)
车床加工精度
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正态总体参数假设检验
2. F 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
2
f F1(n1,n2) 2
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正态总体参数假设检验
F(x;n1,n2)
x
F12(n1,n2)
F2(n1,n2)
2) 未知μ1 和μ2
原假设成立时， FS S1 2 2 2 1 2 2 2S S1 2 2 2~F(n11,n21)
电子科技大学
正态总体参数假设检验
例822为研究正常成年男女红细胞的平均数之差别检查某地正常成年男子156名常成年女子74名计算得男性红细胞平均数为46513万mm样本标准差为49536万mm电子科技大学正态总体参数假设检验dec17设x表示正常成年男性的红细胞数y表示正常成年女性的红细胞数假定xn故采用t检验法取检验统计量电子科技大学正态总体参数假设检验dec17156mm电子科技大学正态总体参数假设检验dec1700052282598查标准正态分布表0005258531642213即认为正常成年男女性红细胞数有显著差异
x14 .6,0 y12 .8,5
sZ
1 10 9i1(zi
z)2
7.0682
tnZ1 014 .6 012 .8 56.18
SZ
7.5785
查t 分布表得
t(n1)t0.02(9 5)2.262 2 电子科技大学
正态总体参数假设检验
有
|t|=6.18>2.262
检验 H0: μ1= μ2 ，H1:μ1≠μ2
电子科技大学
正态总体参数假设检验
原假设成立时，检验统计量
T(XS w Y)n 11( 1n 1 22)SwX n 1 1Y n 12~t(n1n22)
其中，Sw 2 n1n122[(n11)S12(n21)S22]
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
检验 H0: σ12 = σ22; H1: σ12 ≠σ22
1) 已知μ1 和 μ2 原假设成立时，
电子科技大学
正态总体参数假设检验
n1
n2 (Xi 1)2
F
i1 n2
~ F(n1,n2)
n1 (Yj 2)2
j1
拒绝域为： f F(n1,n2) 或
因 n1n21， 0 H 当 0成立时
XY 1（ 0 XY ）
Tn
~t(2n2)
S1 2S2 2
S1 2S2 2
由样本值表可计算得
x14.06, y12.58,
s12 16.93, s22 72.62,
电子科技大学
正态总体参数假设检验
n （ xy）1 0 （ 14.6 012.8） 5
F (x;n 11,n 21)
F 12(n11,n21)
x
F2(n11,n21)
拒绝域为：
fF(n11,n21) 或
2
fF1(n11,n21) 2
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正态总体参数假设检验
成年人红细胞数与性别 的关系(F 检验法) 思考练习题
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正态总体参数假设检验
原假设H0成立时，
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正态总体参数假设检验
U (X Y ) (1 2)
2 1
2 2
n1 n2
X Y ~ N ( 0 ,1 )
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为：
u u
2
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正态总体参数假设检验
u 检验法的要点 1.构造服从标准正态分布的统计量U 作为 检验统计量； 2. 为进行标准化，必须已知总体的方差.
正态总体参数假设检验
由于σ2 未知，故采用 t 检验法. H0 成立时，检验统计量
T X0 ~t(n1)
Sn
x1 6i 61xi13,1s 4 n1 1i 61 xix23.5,2
t x 131143 12.0 78 , 3 s n1 3.521 6
2
铁水温度的测量
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正态总体参数假设检验
采用不同的显著性水平α,常得到不同的结论. 即检验的结果取决于显著性水平α的选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
未1 2 ， 知 2 2 ，但 1 22 2 有 2
例8.2.1 炼钢厂为测定混铁炉铁水温度，用测 温枪(主要装置为一种热电偶)测温6次，记录 如下(单位：oC)：
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
未知方差时,如何检验关于正态总体均值的 有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
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正态总体参数假设检验
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X0 ~t(n1)
Sn
拒绝域为： t t(n1)
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01).
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正态总体参数假设检验
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2. 由于未知σ2, 故采用 t 检验法, 取检验统计量
(查标准正态分布表 u0.005=2.58)
有
|t|=5.712>2.598，
所以拒绝假设H0，即认为正常成年男、女性 红细胞数有显著差异.
#
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正态总体参数假设检验
例8.2.3 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田 中, 每块田中甲、乙稻种各种一半. 假设两种稻 种产量X、Y 服从正态分布, 且方差相等. 10块田 中的产量如下表 (单位: 公斤) ，两种稻种的产 量平均值是否有明显差异？ (α=0.05).
Swn 1n 122[n (11)S1 2(n 21)S2 2]5.2 39 , 5
电子科技大学
正态总体参数假设检验
t xy 46.15342.1265.71, 2
sw
11 n1 n2
5.32951 1 15674
α=0.01时可得：tα/2=t0.005(228)=2.598,
SZ2
1n ni1(Zi
Z)2
因Z1,Z2， ,Zn相互,独 且立
Zi～N(μ1－μ2, 2σ2)
电子科技大学
正态总体参数假设检验
根据抽样定理知，统计量
T
Z (1 2 )
SZ
～t (n－1)
n
原检验问题等价于检验：
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0成立，则
T
Z n ~t(n1)
SZ
两种稻种的平均值差异
电子科技大学
正态总体参数假设检验
二、方差σ2 的检验
1. 2 检验法
X1,…,Xn 是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,检验
H0: σ2 = σ02； σ2 ≠ σ02 1)已知μ
原假设成立时， 2i n1(Xi 0)2~2(n)
n1n122in11(Xi X)2jn21(Yj Y)2
拒绝域为： t t(n1n22)
2
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正态总体参数假设检验
特别 n1 n2 n时 T n XY ~t(2n2) S12S22
成年人红细胞数 与性别的关系
两种稻种的平均值差异
电子科技大学
正态总体参数假设检验
§8.2 正态总体的参数检验
一、均值μ的检验 1. u 检验法 1) 单样本u 检验法：
X1,…,Xn是从正态总体N(μ,σ02)中抽取的 简单随机样本
已知σ02 ，检验 H0: μ= μ0，H1：μ≠μ0
电子科技大学
正态总体参数假设检验
原假设成立时，U X0 ~N(0,1) 0 n
长度xi : 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12
频数yi : 1
3 7 10 6 3 1
解 检验假设 H0：σ=σ0=0.424， H1：σ≠σ0 若原假设H0成立，则有
电子科技大学
计算得
正态总体参数假设检验
2
(n1)S2
02
～
2(n1)
xn1i71nixi 11.08, 4
t
4.9457
s1 2s2 2
1.9 6 37.6 22
查t 分布表得： t0.025(18)= 2.1009
有
|t|=4.9457>2.1009，
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
电子科技大学
正态总体参数假设检验
解二 设X~N(1, 2), Y~N(2, 2),
7
(n1)s2 nixi2nx
i1
3816.432808.4188.00, 2
拒绝域为：
u u
2
见例8.1.1 “包装机工作正常与否的判断”
电子科技大学
正态总体参数假设检验
2) 双样本u 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
已知σ12与σ22，检验假设 H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
正态总体参数假设检验
3) 配对试验 t 检验法
设总体X~N(μ1, 2), Y~N(μ2, 2), X与Y相
互独立，当成对抽样时(n1=n2 )，如何检验：
H0: μ1 = a2 ， H1: μ1 ≠ a2 ；
分析 记 Z i X i Y i, i 1 ,2 , ,n ;
则有 Zn 1i n1Zi XY,
甲 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 乙 135 118 115 140 128 131 130 115 121 125
电子科技大学
正态总体参数假设检验
解一 设X~N(1 , 2), Y~N(2 , 2),
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2.
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
#
电子科技大学
正态总体参数假设检验
例8.2.4 一自动车床加工的零件长度X～N(,
2 ), 原加工精度 0=0.424，经过一段时间后要
检验此车床是否保持原加工精度，测得31个零
件的长度数据如下：
(取α=0.05)
拒绝域为：
2 2 (n)
2
或
2
2 1
(n)
2
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正态总体参数假设检验
2(x;n)
12 2(n)
2
2
(n)
x
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正态总体参数假设检验
2) 未知μ X1,…,Xn 是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样
本，检验 H0: σ2 = σ02；H1： σ2 ≠ σ02
T X Y (1 2)
Sw
11 n1 n2
电子科技大学
正态总体参数假设检验
H0成立，则 T
X Y
1 1 ～t(n1+n2－2)
Sw
n1 n2
n 11,5x 64.6 1万 5 3/m3,m s15.9 4万 7/6 m3m
n27,4y4.2 1万 2 6/m3,m s24.5 9万 3/6 m3m
电子科技大学
正态总体参数假设检验
若取α=0.05，查t 分布表可得 t0.025(5)=2.5706，
因为
|t|=2.783> t0.025(5)=2.5706，
所以在显著性水平0.05下，拒绝H0，即可 认为该种测温枪有系统误差.
若取α=0.01，查t 分布表可得 t0.005(5)=4.0322，
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0 成立，则
TZ(12) n Z
SZ
SZ
～t(n－1)，
n
其中 ZXY，Z110i110(Xi Yi)XY,
SZ2
1 10 10i1(Zi
Z)2,
电子科技大学
正态总体参数假设检验
由样本值表可计算得
因为
|t|=2.783<t0.005(5)=4.0322，
所以在显著性水平0.01下，接受H0，即可认 为该种测温枪没有系统误差.
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正态总体参数假设检验
#
电子科技大学
正态总体参数假设检验
例8.2.2 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
原假设成立时， 2(n1)S022~2(n1)
拒绝域为：
2 2(n1) 或
2
2 12(n1) 2
电子科技大学
正态总体参数假设检验
2(x;n1)
122(n1)
x
2 2(n1)
车床加工精度
电子科技大学
正态总体参数假设检验
2. F 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
2
f F1(n1,n2) 2
电子科技大学
正态总体参数假设检验
F(x;n1,n2)
x
F12(n1,n2)
F2(n1,n2)
2) 未知μ1 和μ2
原假设成立时， FS S1 2 2 2 1 2 2 2S S1 2 2 2~F(n11,n21)
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正态总体参数假设检验
例822为研究正常成年男女红细胞的平均数之差别检查某地正常成年男子156名常成年女子74名计算得男性红细胞平均数为46513万mm样本标准差为49536万mm电子科技大学正态总体参数假设检验dec17设x表示正常成年男性的红细胞数y表示正常成年女性的红细胞数假定xn故采用t检验法取检验统计量电子科技大学正态总体参数假设检验dec17156mm电子科技大学正态总体参数假设检验dec1700052282598查标准正态分布表0005258531642213即认为正常成年男女性红细胞数有显著差异
x14 .6,0 y12 .8,5
sZ
1 10 9i1(zi
z)2
7.0682
tnZ1 014 .6 012 .8 56.18
SZ
7.5785
查t 分布表得
t(n1)t0.02(9 5)2.262 2 电子科技大学
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有
|t|=6.18>2.262
检验 H0: μ1= μ2 ，H1:μ1≠μ2
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原假设成立时，检验统计量
T(XS w Y)n 11( 1n 1 22)SwX n 1 1Y n 12~t(n1n22)
其中，Sw 2 n1n122[(n11)S12(n21)S22]
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
检验 H0: σ12 = σ22; H1: σ12 ≠σ22
1) 已知μ1 和 μ2 原假设成立时，
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n1
n2 (Xi 1)2
F
i1 n2
~ F(n1,n2)
n1 (Yj 2)2
j1
拒绝域为： f F(n1,n2) 或
因 n1n21， 0 H 当 0成立时
XY 1（ 0 XY ）
Tn
~t(2n2)
S1 2S2 2
S1 2S2 2
由样本值表可计算得
x14.06, y12.58,
s12 16.93, s22 72.62,
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n （ xy）1 0 （ 14.6 012.8） 5
F (x;n 11,n 21)
F 12(n11,n21)
x
F2(n11,n21)
拒绝域为：
fF(n11,n21) 或
2
fF1(n11,n21) 2
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成年人红细胞数与性别 的关系(F 检验法) 思考练习题
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原假设H0成立时，
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U (X Y ) (1 2)
2 1
2 2
n1 n2
X Y ~ N ( 0 ,1 )
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为：
u u
2
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正态总体参数假设检验
u 检验法的要点 1.构造服从标准正态分布的统计量U 作为 检验统计量； 2. 为进行标准化，必须已知总体的方差.