静电场的唯一性定理

导体上电荷的面密度 e n D n 0U
q a U e 0 3 2 2 2 2 ( x y a ) 2 z z 0
l
2
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 a(a>R)处有一点电荷Q,求空间各点电势
说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽
• 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。

图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
• 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 • 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
解：
• 任一P点的电势
1
q q' U ( x, y, z ) ( ) z0 4 0 r r ' 其 中r ' x 2 y 2 ( z a) 2；
r x 2 y 2 ( z a) 2 1 1 1 U ( x, y, z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 x y ( z a) x y ( z a)
• 证明（反证）
– 若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
• 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
对所有都成立，
R2 b R 有b Q' Q Q 取－？ 即要求与无关，要求 2 2 a a a cos 的系数 bQ aQ ' 三角形
相似
求p点电势
1 Q Q' 1 UP 4 0 r r ' 4 0 Q RQ r ar'
–1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） –2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) –设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
• 给定每个导体电势的情形
–设对应同一组边值 U k (k 1,2) 有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布
U I U II EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形

第k个导体上的电量
电量与场 强、电势 的关系
设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
与电势参 考点有关， 不影响电 势梯度
U 0 dS 0 U U I U II 常量 EI EII n Sk
极大
几个引理
极小
• 引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
– 证明（反证）若有极大，则
U 指向 P 点, E U 背离 P 点 ΦE
E × dS > 0 , 但面内无电荷
S
，
矛盾
若有极小，同样证明
• 引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0
证明（反证）
即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
• 寻找像电荷
– 对称性分析，确定像 电荷位置 – 使球面上电势＝0 – 任取 P点，利用叠加 原理求出像电荷位置
Q Q' r ' Q' 0 r ' Q rQ' r r' r Q
R 2 b 2 2 Rb cos Q R 2 a 2 2 Ra cos Q'
其中r ' R 2 b 2 2Rb cos；r R 2 a 2 2Ra cos
讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’，Q’=球 面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处 传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于 导体球，剩下的伸展至无穷
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 • 理论证明在电动力学中给出，给出普物方式 的论证 • 论证分三步：引理——叠加原理——证明
静电场边值问题的 唯一性定理
• 静电场小结 • 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
泛 定 方 程
U 泊松方程 or 2U＝0 拉普拉斯方程