天津市红桥区九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人

天津市红桥区2016届九年级数学上学期期中试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．将二次函数y=x 2
的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A ．y=（x ﹣1）2
B ．y=x 2﹣1
C ．y=（x+1）2
D ．y=x 2
+1
3．若方程（m ﹣1）
﹣2x ﹣m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．5
D ．﹣1或1
4．已知x=1是方程（k ﹣1）x 2
+x ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2
5．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2
+2x ﹣2=0有不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞
B ．k≥
C ．k ＞且k≠1
D ．k≥且k≠1
6．一件商品的原价是118元，经过两次提价后的价格为168元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．118（1+x ）=168
B ．118（1+2x ）=168
C ．118（1﹣x ）2=168
D ．118（1+x ）2
=168
7．若抛物线y=x 2
﹣2bx+4的顶点在x 轴的正半轴上，则b 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣2或2
8．如图，已知△AOB 是正三角形，OC ⊥OB ，OC=OB ，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD ，则旋转的角度是（ ）
A ．150°
B ．120°
C ．90°
D ．60°
9．如图，在△ABC 中，∠A=30°，若BC=12，则其外接圆O 的直径为（ ）
A ．12
B ．18
C ．20
D ．24
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）
A．B．C．D．
11．在同一坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+（a+c）x+c的图象可能是（）
A． B．C．D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①5a+b＞0；
②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中，正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为．14．方程x2﹣3x=0的解是．
15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．
16．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．17．如图，点A、D在⊙O上，BC是⊙O的直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是．
18．一块草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为．（米）
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．用适当的方法解下列方程．
（Ⅰ）3x（x+3）=2（x+3）
（Ⅱ）2x2﹣4x﹣3=0．
20．已知二次函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）的图象与y轴交于点（0，3）
（Ⅰ）求二次函数的最大值及相应的x值；
（Ⅱ）在所给的平面直角坐标系内，作出此二次函数的图象，并根据图象，直接写出当y＞0时所对应的自变量x的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，3），且经过点A（1，﹣8）和B（5，8）
（Ⅰ）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（Ⅱ）当1≤x≤4时，求二次函数的函数值y的取值范围．
23．某超市购进一批单价为28元的日用品，如果按每件40元的价格销售，每月能卖200件，根据销售统计，每件日用品的售价每降价1元，每月可多售出25件．
（Ⅰ）写出该日用品每月的销售利润y元与售价x元之间的函数关系式；
（Ⅱ）求出售价为多少元时，该日用品每月的销售利润最大？最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，4），将△ABO）绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α，直线AA′与直线BB′相交于点P．
（Ⅰ）如图①，当0°＜α＜90°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，当90°＜α＜180°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅲ）求点P的纵坐标的最大值与最小值（直接写出结果即可）．
25．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
2015-2016学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A．y=（x﹣1）2B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=x2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：原抛物线y=x2的顶点为（0，0），向左平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，0）．
可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x+1）2．
故选：C．
3．若方程（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，则m的值为（）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：由（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，得
m2+1=2，且m﹣1≠0．
解得m=﹣1，
故选：A．
4．已知x=1是方程（k﹣1）x2+x﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先将方程的根代入方程求得k值，然后利用根与系数关系求得另一根即可．【解答】解：∵x=1是方程（k﹣1）x2+x﹣2=0的一个根，
∴k﹣1+1﹣2=0，
解得：k=2，
∴方程变为x2+x﹣2=0
设方程另一个根为t，
根据题意得1×t=﹣2，
解得t=﹣2，
所以方程另一个根为﹣2．
故选D．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
6．一件商品的原价是118元，经过两次提价后的价格为168元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A．118（1+x）=168 B．118（1+2x）=168 C．118（1﹣x）2=168 D．118（1+x）2=168 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】等量关系为：原价×（1+增长率）2=168，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵第一次提价后的价格为118×（1+x），
第二次降价后的价格为118×（1+x）×（1+x）=118×（1+x）2，
∴方程为118（1+x）2=168．
故选D．
7．若抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴的正半轴上，则b的值为（）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质可得出△=0，从而得出b的值．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴的正半轴上，
∴b＞0，△=0，
即b2﹣4ac=4b2﹣16=0，
∴b=±2，
当b=﹣2不符合题意，
∴b=2，
故选B．
8．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）
A．150°B．120°C．90° D．60°
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
【解答】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．
故选A．
9．如图，在△ABC中，∠A=30°，若BC=12，则其外接圆O的直径为（）
A．12 B．18 C．20 D．24
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】连接CD，易证三角形BCD是直角三角形，由圆周角定理可得∠A=∠D=30°，利用含30°直角三角形的性质即可求出直径BD的长．
【解答】解：连接CD，
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠A=∠D=30°，
∴BC=BD，
∵BC=12，
∴BD=24，
故选D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB 交于点D，则AD的长为（）
A．B．C．D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M 为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AD=2AM=．
故选C．
11．在同一坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+（a+c）x+c的图象可能是（）
A． B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：A、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与x轴的两个交点为（﹣，0），（﹣1，0），一次函数y=ax+c与x轴的交点为（﹣，0），故两函数在x轴上有交点，
正确；
B、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限，a＞0，与二次函数开口向下，即a＜0相矛盾，错误；
C、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限，a＜0，与二次函数开口向上，a＞0相矛盾，错误；
D、两个函数在x轴上没有交点，错误．
故选：D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①5a+b＞0；
②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中，正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．
【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，
与y轴交于正半轴，所以c＞0，
∵对称轴x=﹣=1，
∴b=2a，
∴b＞0，
∴5a+b＞0，故①正确；
由图，当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故②正确；
由图，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③错误．
④由图可知，抛物线顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac=0，
∴b2=4ac，
∵（a﹣c）2≥0，
∴（a﹣c）2+4ac≥b2，
∴（a+c）2≥b2，故④错误，
所以，结论正确的有①②两个，
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为（2，﹣1）．【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而求得结论．
【解答】解：由A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，得
m+（﹣2）=0，n﹣2+n=0．
解得m=2，n=1．
n﹣2=1﹣2=﹣1，
A点坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
14．方程x2﹣3x=0的解是x1=0，x2=3 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：原式为x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0或x﹣3=0，x1=0，x2=3．
∴方程x2﹣3x=0的解是x1=0，x2=3．
15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
16．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为m＞1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴的没有交点，即△=b2﹣4ac＜0，即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＜0，
即4﹣4m＜0，解得：m＞1，
故答案为：m＞1．
17．如图，点A、D在⊙O上，BC是⊙O的直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是35°．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可求得∠AOC的度数，再根据三角形的外角的性质以及等边对等角，即可求解．
【解答】解：方法一：
∵∠AOC=2∠D=70°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠AOC=∠ABO+∠BAO，
∴∠OAB=35°．
方法二：
∵AO=BO，
∴∠B=∠BAO，
∵∠D=∠B（同弧所对圆周角相等），
∴∠OAB=35°，
故答案是：35°．
18．一块草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为80 ．（米）
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值的解析式；根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
【解答】解：由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c（a≠0），
，
代入得：
故解析式为：y=﹣x2+；
∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6（米），
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80（米）．
故答案为：80．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．用适当的方法解下列方程．
（Ⅰ）3x（x+3）=2（x+3）
（Ⅱ）2x2﹣4x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）提取公因式（x+3）得到（x+3）（3x﹣2）=0，再解两个一元一次方程即可；（2）先找出方程中a，b和c的值，求出b2﹣4ac的值，即可利用求根公式解答．
【解答】解：（1）∵3x（x+3）=2（x+3），
∴（x+3）（3x﹣2）=0，
∴x+3=0或3x﹣2=0，
∴x1=﹣3，x2=；
（2）∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴a=2，b=﹣4，c=﹣3，
∴b2﹣4ac=40＞0，
∴x=，
∴x1=1+，x2=1﹣．
20．已知二次函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）的图象与y轴交于点（0，3）
（Ⅰ）求二次函数的最大值及相应的x值；
（Ⅱ）在所给的平面直角坐标系内，作出此二次函数的图象，并根据图象，直接写出当y＞0时所对应的自变量x的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得函数解析式，根据顶点坐标是函数的最
值，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：x轴上方部分的函数值大于零，可得答案．
【解答】解：（1）当x=0时，y=m=3，
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
当x=1时，y最大=4；
（2）如图：
由图象位于x轴上方的部分，得﹣1＜x＜3．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）设此方程的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m+1，x1•x2=m2﹣4，根据“方程的两个实数根的平方和为15”可得x12+x22=15，整理后可即可解出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣4）＞0，
∴m＞；
（2）设此方程的两个实数根为x1，x2
则x1+x2=2m+1，x1•x2=m2﹣4，
∵两个实数根的平方和等于15，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2（m2﹣4）=15，
解得：m=﹣3，m=1．
22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，3），且经过点A（1，﹣8）和B（5，8）
（Ⅰ）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（Ⅱ）当1≤x≤4时，求二次函数的函数值y的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）把点（0，3），（1，﹣8），（5，8）分别代入y=ax2+bx+c，得到关于a、b、c 的方程组，然后解方程组得出解析式，再配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，3），且经过点A（1，﹣8）和B（5，8），
∴，解得．
所以此二次函数的解析式为y=3x2﹣14x+3，
y=3x2﹣14x+3=3（x﹣）2﹣，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（，﹣）；
（2）∵y=3（x﹣）2﹣，
∴当x=时，y有最小值﹣；
当x=4时，y=3（4﹣）2﹣=﹣5，
∴当1≤x≤4时，二次函数的函数值y的取值范围是﹣≤y≤﹣5．
23．某超市购进一批单价为28元的日用品，如果按每件40元的价格销售，每月能卖200件，根据销售统计，每件日用品的售价每降价1元，每月可多售出25件．
（Ⅰ）写出该日用品每月的销售利润y元与售价x元之间的函数关系式；
（Ⅱ）求出售价为多少元时，该日用品每月的销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据利润=（售价﹣成本）×售出件数，即可得到y元与售价x元之间的函数关系式；
（2）根据利润的函数解析式，利用顶点坐标公式解决问题．
【解答】解：（1）销售利润y=（x﹣28）[25×（40﹣x）+200]=﹣25x2+1900x﹣33600；（2）∵y=﹣25x2+1900x﹣33600；
∵a=﹣10＜0，
∴y随x增大而增大．
∴当x=38时，W最大值=2500（元）．
答：售价为38元时，该日用品每月的销售最大利润是2500元．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，4），将△ABO）绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α，直线AA′与直线BB′相交于点P．
（Ⅰ）如图①，当0°＜α＜90°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，当90°＜α＜180°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅲ）求点P的纵坐标的最大值与最小值（直接写出结果即可）．
【考点】圆的综合题．
【分析】（Ⅰ）如图①，根据旋转的性质得OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出
∠OA′A=∠OB′B=90°﹣α，利用邻补角得∠OA′P+∠OA′A=180°，所以∠OB′B+∠OA′P=180°，则利用四边形内角和可得到∠A′PB+∠A′OB′=180°，于是得到∠A′PB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，由（Ⅰ）得∠OAA′=∠OBB′==90°﹣α，在△AOC和△BCP中利用三角形内角和易得∠AOC=∠CPB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅲ）由于∠BPA=90°，根据圆周角定理的推论得点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点E，过点E作直径PP′⊥x轴交x轴于F点，如图①，此时P点的纵坐标最大，点P′的纵
坐标最小，根据等腰直角三角形的性质得AB=4，则EP=EP′=2，再计算出EF=OA=2，
所以FP=2+2，FP′=2﹣2，于是可得到P的纵坐标的最大值为2+2，最小值为2﹣
2．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣4，0），点B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，
∴OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，
∴∠OA′A=∠OB′B==90°﹣α，
∵∠OA′P+∠OA′A=180°，
∴∠OB′B+∠OA′P=180°，
在四边形OA′PB中，∵∠A′PB+∠A′OB′+∠OB′B+∠OA′P=360°，
∴∠A′PB+∠A′OB′=180°，
∴∠A′PB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，
由（Ⅰ）得∴∠OAA′=∠OBB′==90°﹣α，
在△AOC和△BCP中，∵∠ACO=∠BCP，
∴∠AOC=∠CPB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅲ）∵∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点E，过点E作直径PP′⊥x轴交x轴于F点，如图①，此时P点的纵坐标最大，点P′的纵坐标最小，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=4，
∴EP=EP′=2，
∵EF⊥OA，
∴EF=OA=2，
∴FP=2+2，FP′=2﹣2，
∴P点的纵坐标为2+2，点P′的纵坐标为2﹣2，
即点P的纵坐标的最大值为2+2，最小值为2﹣2．
25．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2=AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待
定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=﹣2，
∴C（0，﹣2），则OC=2．
当y=0时，，
∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则
，
解得，
∴．
当y=0时，，则，
∴．。