考点81 空间几何体的截面问题

考点81 空间几何体的截面问题

1．（2018•新课标Ⅰ，理12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

A B C D 【答案】A

【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长

，α截此正方体所得截面最大值为：26=，故选A ．

2．（2015•新课标Ⅱ，理19）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

【解析】（1）交线围成的正方形EFGH 如图：

（2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则：10EH EF BC ===，18EM AA ==，

∴6MH ，10AH ∴=。

以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)，∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-。

设(,,)n x y z =为平面EFGH 的法向量，则：100680n EF x n EH y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩

，取3z =，则(0,4,3)n =， 若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==，∴直线AF 与平面α

．