考点81 空间几何体的截面问题

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常见几何体的截面

常见几何体的截面
常见几何体的截面通常指的是用一个平面截取几何体后与几何体相交得到的平面图形。

在立体几何中，截面问题是一个常见的题型，它要求我们理解和想象三维几何体被切割后的样子。

以下是一些常见几何体及其可能的截面形状：
1. 圆柱体：当用一个平面去截一个圆柱体时，如果截面平行于底面，那么截面形状是一个圆形；如果截面垂直于底面，那么截面形状是一个矩形。

2. 圆锥体：圆锥体的截面可能是圆形、椭圆形或者是抛物线形，这取决于截面的角度和位置。

如果截面平行于圆锥的底面，那么截面是一个小圆形；如果截面是斜截圆锥，那么截面可能是椭圆形或者抛物线形。

3. 球体：球体的截面总是圆形，不论截面的角度和位置如何，因为球体在任何方向上都是对称的。

4. 立方体：立方体的截面可能是正方形或长方形，这取决于截面的方向。

如果截面平行于立方体的一个面，那么截面是一个正方形；如果截面与立方体的一个面成一定角度，那么截面是一个长方形。

总的来说，了解这些常见几何体的截面形状对于解决立体几何问题非常有帮助，尤其是在处理高考或数学竞赛中的综合题目时。

立体几何中的截面问题

立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。

在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。

本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。

⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。

⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。

平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。

⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。

⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。

⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。

可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。

⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。

⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。

⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。

附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。

⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。

法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。

⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。

专题立体几何中的截面与交线问题(课件)-高考数学二轮专题复习

解：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，球O 与该正方体的各个面相切，则球 O 的半径为 1，如图，
设 E 、 F 、 G 分别为球 O 与平面 ABCD 、平面 BB1C1C 、 AA1B1B 的切点，则等边三角形 EFG 为平面 ACB1 截此球所得的截面圆的内接三角形，
所以，由点 P,Q, R 确定的平面即为截面 PQSRTM ，其为六边形．
故选：D．
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1， CC1 的中点，过 BE 的平面 α 与直线 A1F 平行，则平面 α 截该正方体所得截面的面积为( B )
A． 5 C．4
典型例题讲解：
例题 2．已知正方体 ABCD ABCD 棱长为 2，M，N，P 分别是棱 AA、AB 、BC 的中点，
则平面 MNP 截正方体所得的多边形的周长为（）
A． 2 2 6
B． 4 2
C．6 2
D．2 21
【详解】过直线 MN 与射线 BA, BB 分别交于 I , J ，作射线 JP 交CC, BC 于G, H ，连接 IH 交 AD,CD 于 E, F ，如下图示：
23
3
故一个面上的交线长 l 2 2 3 4 3 ，
33 9
则 6 个面的交线长为 4 3 6 8 3 ，
9
3
故答案为： 8 3 ．
3
9
则过点 G 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径 r2 R2 OG2 3 11 16 ，
99
所以截面面积的最小值为 r2
16 ，最大值为 R2
9
3
,
故选：D.
典型例题讲解：
例题 5.正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2，以其体对角线的交点O 为球心，

作空间几何体截面的方法

中学教学参考
分析：结ＡＰ，为平面Ａ／连因ＤＤＡ／平面
ＢＣＢ，以只要过Ｐ作ＡＤ１所Ｃ的平行线就可以了．取
面或底面上，三点中两两都不在一个侧面或底面中，若则在作截面时需要作一个辅助平面．
ｃ１Ｃ的中点Ｑ，连结Ｐ则ＡＤ ∥Ｐ．结Ｄ得到Ｑ，Ｑ连Ｑ，
截面ＡＱ见图２．ＰＤ（）小结：直线与直线外一点作截面，直线所在的过若平面与点所在的平面平行，以通过过点找直线的平行可
分析：结ＭＮ，长ＮＭ、Ａ交于一点Ｅ，．连延Ｄ。Ｅ∈ ‘
面Ｄ１ＮＦ面Ａ１ＭＩＡＤＤ１Ｄｌ， ∈面Ｄ１ＭＮｎ面ＡｌＡＤＤ，
线找到几何体与截面的交线．
【５在长方体ＡＣ例】ＢＤ—ＡＢＣＤ中，、ＰＥＦ、
分别是棱ＡＢＤＣ的中点，出过ＥＦ、Ａ、Ｃ、１画、Ｐ三点的
截面．
３作延长线找交点法．
Ａ得到辅助平面ＡＡＦ连结ＦＡ，Ｋ，Ｅ并延长交Ｋ的Ａ
图３
延长线于Ｈ，结ＨＰ交ＡＤ于Ｑ，延长交ＢＣ的连并延长线于Ｒ，结ＲＦ交Ｃ于Ｎ，延长Ｂ延长连Ｃ。并Ｂ的线于Ｇ，结Ｇ连Ｅ交ＡＢ于Ｍ，连结ＥＭＦ、Ｎ，得再Ｑ、Ｐ就到截面ＥＰＭ（图５．ＱＮＦ见）

高考数学复习考点题型专题讲解18 几何体的截面或交线

高考数学复习考点题型专题讲解专题18 几何体的截面或交线1.空间几何体截面的作图主要原理：两个基本事实及两个性质.两个基本事实为：(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；(2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 两个性质为：(1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；(2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.2.立体几何中的截面类型(1)平面截球：圆面(见专题17).(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线、抛物线.类型一截面的作法空间几何体的截面作图主要作法：(1)直接法；(2)平行线法；(3)延长法；(4)辅助平面法.例1 已知正方体A1B1C1D1－ABCD，E，F，H分别是A1B1，B1C1，AD的中点，试过三点E，F，H作截面.解如图，连接EF，并且延长，与D1A1，D1C1的延长线分别交于N，R两点，连接NH并延长分别交AA1和D1D的延长线于S，T，连接TR分别交CD，CC1于M，G，顺次连接点E，F，G，M，H，S，E，则六边形EFGMHS就是所作截面.训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面.解作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.④连接KE，FH，则五边形EFHGK即为所求的截面.类型二截面形状的判断首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面的位置关系的判定与性质加以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状.例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C 1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形答案 D解析取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF.故过线段AG 且与平面A 1EF 平行的截面图形为四边形AHGD 1，显然为等腰梯形. 训练2(多选)(2022·苏北四市调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点.下列结论中正确是( )A.过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形B.B 1D 1∥平面EFGC.BD 1⊥平面ACB 1D.异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为22答案 ACD解析对于A ，因为E ，F ，G 为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，设A 1D 1的中点为M ，BC 的中点为N ，CC 1的中点为P ，连接点M ，F ，E ，N ，P ，G 可得截面为正六边形，所以A 正确；对于B ，通过以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，求出B 1D 1→，平面EFG 法向量n 1，可推出B 1D 1→·n 1≠0，故B 1D 1与平面EFG 不平行，所以B 错误；对于C ，同上建系，求出BD 1→，平面ACB 1的法向量n 2，可推得BD 1→＝λn 2，所以BD 1⊥平面ACB 1，所以C 正确；对于D ，同上建系，求出EF →，BD 1→，设夹角为θ，则cos θ＝|EF →·BD 1→||EF →|·|BD 1→|，由sin 2θ＋cos 2θ＝1，tan θ＝sin θcos θ，得tan θ＝22，所以D 正确.类型三截面图形面积或周长的计算求截面图形的面积的前提是确定截面的形状，转化为平面图形求解.例3 (1)(2022·济南模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2，平面α与棱AB，CD均平行，则α截此正四面体所得截面面积的最大值为( )A.1B.2C.3D.2(2)在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为________.答案(1)A (2)8解析(1)如图，设E为棱BC上任一点，且BE→＝λBC→，λ∈(0，1)，过E作EF∥AB交AC于F，作EN∥CD交BD于N，过F作FM∥CD交AD于M，连接MN，则四边形EFMN即平面α截四面体ABCD所得的截面，所以EFAB＝ECBC＝1－λ，所以EF＝2(1－λ)，同理可得EN＝2λ. 又四面体ABCD为正四面体，所以AB⊥CD，所以EF⊥EN，截面EFMN为矩形，且EN＋EF＝2，则矩形EFMN 的面积S ＝EF ·EN ≤⎝⎛⎭⎪⎫EF ＋EN 22＝1，当且仅当EF ＝EN ＝1，即λ＝12时，“＝”成立，故选A.(2)过点G 作EF ∥AC 分别交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB ，分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，∴四边形EFMN 是平行四边形，∴EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2， FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2， ∴截面的周长为2×4＝8.训练3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A.2B.98C.3D.62答案 B解析如图1，分别取B 1C 1，C 1D 1的中点E ，F ，连接EF ，BE ，DF ，B 1D 1，ME ，易知EF ∥B 1D 1∥BD ∥MN ，AB ∥ME ，AB ＝EM ，所以四边形ABEM 为平行四边形，则AM ∥BE ，又BD 和BE 为平面BDFE 内的两条相交直线，所以平面AMN ∥平面BDFE ，即平面BDFE 为平面α，BD ＝2，EF ＝12B 1D 1＝22，得四边形BDFE 为等腰梯形，DF ＝BE ＝52，在等腰梯形BDFE (如图2)中，过E ，F 作BD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFGH 为矩形， ∴其高FG ＝DF 2－DG 2＝54－18＝324，故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98.一、基本技能练1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的( )A.①②③④B.①③④C.①②D.①②④答案 A解析根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示，故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.2.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )答案 D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B、C图中四点也共面；D中四点不共面.3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一小部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱答案 C解析∵EH∥A′D′，EH∥平面BCC′B′，∴EH∥GF，又平面ABB′A′∥平面DCC′D′，∴EF∥GH，四边形EFGH为平行四边形.故剩下的几何体为五棱柱.4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体的过M，N，C1的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案 C解析正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，延长C1M交CD的延长线于P，延长C1N交CB的延长线于Q，连接PQ交AD于E，AB于F，连接NF，ME，则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形.故选C.5.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则该正方体被过E，F，G三点的平面截得的截面面积为( )A.34a2B.32a2C.334a2D.332a2答案 C解析作出过E，F，G三点的截面，如图，由图可知，截面为正六边形，且边长为22a，所以截面面积S＝6×12×32×⎝⎛⎭⎪⎫22a2＝334a2，故选C.6.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A.0条B.1条C.2条D.1条或2条答案 C解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH.所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.7.(2022·重庆诊断)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D 作平面α使α⊥BM，则平面α截正方体所得截面的面积为( )A.42B.4 5C.85D.16 2答案 C解析分别取AA1，BB1的中点E，N，连接DE，CN，EN，则EN∥DC，EN＝DC，所以四边形ENCD是平行四边形，由于△B1BM≌△BCN，所以∠MBB1＋∠BNC＝90°，所以BM⊥CN，又因为DC⊥BM，DC∩CN＝C，所以BM⊥平面ENCD，所以平面ENCD即为平面α，又CN＝25，所以截面的面积为25×4＝8 5.8.(2022·南通调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A.32＋25B.4＋4 2C.22＋25D.6 2答案 A解析正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC，所以BD⊥AM(三垂线定理)，如图，取BB1中点N，A1B1中点E，连接MN，AN，BE，可知BE⊥AN，所以BE⊥AM(三垂线定理)，所以AM⊥平面DBE，取A1D1中点F，则α即为截面BEFD，易求周长为32＋2 5.9.(多选)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是( )A.四边形BFD1E有可能是梯形B.四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形C.四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD.四边形BFD1E面积的最小值为6 2答案BCD解析对于选项A，过BD1，作平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，如图所示，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF.故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，当F点到线段BD1的距离最小时，平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E，F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为12×2×3＝62，因此D 正确.故选BCD.10.(多选)(2022·石家庄模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是面对角线BD 上的动点，Q 是棱C 1D 1的中点，用过A 1，P ，Q 三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所得截面多边形可能是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案 ABC解析如图①，当点P 与点D 重合时，截面多边形是三角形，选项A 满足题意；图①图②如图②，取棱CD 的中点Q 1，连接QQ 1和AQ 1，因为Q 是棱C 1D 1的中点，所以QQ1∥DD1∥AA1，将点P移动到平面AA1QQ1与BD交点处，此时截面多边形是四边形，选项B满足题意；图③如图③，令点P距离点B较近，此时截面多边形是五边形，选项C满足题意；易知点P无论如何移动，截面与平面ABCD的交线都平行于A1Q，所以这条交线只能与正方形ABCD的边AB，AD之一有交点(顶点A除外)，则截面不可能与正方形ABB1A1和正方形ADD1A1都有交线(棱AA1除外)，所以截面不可能与正方体的六个面都有交线，则截面多边形不能是六边形，所以选项D不满足题意.故选ABC.11.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.12.(2022·衡水模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过B，E，D的截面与棱A1B1交于F，则截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影1的面积之和为________.答案 1解析因为平面BED1F∩平面ABCD＝BE，平面BED1F∩平面A1B1C1D1＝D1F，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF，所以截面BED1F是平行四边形，所以BE＝D1F，所以A1F＝CE，从而B1F＝DE，截面BED1F在平面A1B1C1D1上的正投影是以B1F为底，该底对应的高为1的平行四边形，在平面ABB1A1上的正投影是以A1F为底，该底上的高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和S＝(CE＋DE)×1＝1为定值.二、创新拓展练13.(2022·浙江五校联考)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的高为4，底面边长为43，D是B1C1的中点，P是线段A1D上的动点，过BC作截面α⊥AP于点E，则三棱锥P－BCE体积的最小值为( )A.3B.2 3C.43D.12答案 C解析如图，取BC的中点F，连接FD，FA，FE，FP，过点E作EH⊥AF于点H，则BC⊥平面AFDA1，所以BC⊥EH，AF∩BC＝F，所以EH⊥平面ABC.因为AF＝6，且V P－ABC＝13×123×4＝163＝V P－EBC＋V E－ABC，所以当三棱锥E－ABC体积最大时，三棱锥P－BCE体积最小.因为AE⊥EF，所以AE2＋EF2＝AF2＝36≥2AE·EF，所以AE·EF≤18.设三棱锥E－ABC的高为h，由AE·EF＝AF·h，得h＝AE·EFAF≤3，因为V E－ABC＝13×S△ABC×h＝43h，所以(V E－ABC)max＝123，所以(V P－EBC)min＝43，故选C.14.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确的是( )A.当0<CQ<12时，S为四边形B.当CQ＝12时，S为等腰梯形C.当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13D.当34<CQ<1时，S为六边形答案ABC解析如图1，当Q为CC1的中点，即CQ＝12时，PQ∥BC1且PQ＝12BC1，图1 又AD1綊BC1，故PQ ∥AD 1且PQ ＝12AD 1，PA ＝D 1Q ，故截面APQD 1为等腰梯形，故B 正确；当0<CQ <12时，只需在DD 1上取点M 使PQ ∥AM ，即可得截面APQM 为四边形，故A 正确；当CQ ＝34时，延长AP ，DC 交于M ，连接QM ，直线QM 与C 1D 1交于点R ，如图2，因CQ ＝34，则C 1Q ＝14，CS ＝1，又C 1R CM ＝C 1Q QC ，故C 1R ＝13，选项C 正确；图2当34<CQ <1时，S 为五边形，D 错误. 15.(多选)(2022·烟台调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为AA 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于点N ，则下列说法正确的是( )A.截面α可能为五边形B.存在点N ，使得BN ⊥截面αC.若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2D.当点N与点C重合时，截面面积为36 4答案ACD解析选项A，设P为CC1的中点，当N在PC1之间时，截面α为平行四边形NQMB1，当N在PC之间时，截面α为五边形N1Q1GMB1，其中NQ∥B1M，N1Q1∥B1M，故选项A，C正确；若BN⊥截面α，则BN⊥B1M，这显然是不成立的，因为如果成立，可以推出B1M⊥平面BB1C1C，显然错误，故选项B错误；当点N与点C重合时，截面为梯形CGMB1，易知G为AD的中点.易求CG＝GM＝52，MC＝3，MB1＝2，B1C＝5，所以CM⊥B1M，△CGM为等腰三角形，故S＝S△CGM＋S△CMB1＝12×3×22＋12×3×2＝364，故选项D正确.故选ACD.16.(多选)(2022·南京师大附中模拟)如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且EO⊥AB.已知平面α经过A，B，F三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C，则( )A.曲线C是椭圆的一部分B.曲线C是抛物线的一部分C.二面角F－AB－E的大小为π4D.马蹄体的体积为V满足13<V<π4答案ACD解析将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为Q，R，取曲线C上一点P，过P点的圆柱母线与两球交于M，N两点，由于PM，PR同是下面球的切线，PN，PQ同是上面球的切线，可得PM＝PR，PN＝RQ，则PR＋PQ＝PM＋PN＝MN>QR，由椭圆定义知：曲线C是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接OF，由EO⊥AB，EF⊥AB，知AB⊥平面EOF，故OF⊥AB，则∠FOE为二面角F－AB－E的平面角，又OE＝EF＝1，则∠FOE＝π4，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为V小于圆柱体的14，即为V<π4，又V F－AEB＝13×12×2×1×1＝13，所以V>13，所以13<V<π4，D正确.故选ACD.17.(2022·广州模拟)四棱锥P－ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，设E，F分别是PB，BC的中点，则球O被平面AEF所截得的截面面积为________.答案14π3解析由题可知PC的中点即为球心O，故球的半径R＝12＋12＋22＝6，设球心O到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r.由题意可知球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，在三棱锥B－AEF中，由等体积法可得d＝23 3，故r2＝R2－d2＝143，故截面面积S＝πr2＝14π3.18.(2022·武汉三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段CB1上，若平面α经过点A，C1，P，则它截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面的周长最小值为________.答案2 5解析当点P靠近点C或与点C重合时，A，C1，P三点确定的平面α如图①所示，图①因为平面ADD1A1∥BCC1B1，所以AE∥QC1，同理AQ∥EC1，所以四边形AEC1Q是平行四边形，即为所求的截面，设D1E＝x(0≤x≤1)，则A1E＝1－x，所以AQ＝EC1＝x2＋1，QC1＝AE＝（1－x）2＋1，AQ＋AE＝x2＋1＋（1－x）2＋1＝（x－0）2＋（0－1）2＋（x－1）2＋（0－1）2，可以看作R(x，0)到M(0，1)和N(1，1)距离之和的最小值，M(0，1)关于x轴的对称点为M′(0，－1)，连接M′N，其长度即AQ＋AE的最小值，由勾股定理得|M′N|＝5，所以周长的最小值为2 5.图②当点P靠近点B1或与点B1重合时，A，C，P三点确定的平面α如图②所示，因为平面ADD1A1∥BCC1B1，1所以AE∥QC1，同理AQ∥EC1，所以四边形AEC1Q是平行四边形，即为所求的截面，同理，所求周长的最小值为2 5.综上所述，周长的最小值为2 5.。

空间几何体的截面及交线问题课件-2025届高三数学一轮复习

B1C1，C1D1 的中点，故 BD＝2 2，MN＝ 2，且 BM＝
DN＝ 5，所以等腰梯形 MNDB 的高为 h＝
(
5)2－
222＝32 2，所
以Hale Waihona Puke 梯形 MNDB 的面积为12×( 2＋2 2)×322＝92.
对点练2.(1)过正方体ABCD -A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积为S，Smax
√D. 3π 2
由题意得△ACD，△ABC 为等腰直角三角形．设球 C 与 Rt△ACD 的边 CD，AD 分别交于点 M，N，如图①所示，设球 C 与 Rt△ABC 的边 AB，CB 分别交于点 H，G，如图②所示．易得 cos∠ACN＝ 23，则∠ACN＝π6，AN＝AC·tanπ6＝1，所以∠NCM＝∠ACD －∠ACN＝π4－π6＝1π2，所以M︵N的长＝2×1π2＝π6，同理，G︵H的长＝π6.
二、多面体中的截面问题
知识链接
1．正方体中的基本斜截面
2．多面体中找截面的几种方法 (1) 直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2) 延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线． (3) 平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线．
2＝2 6
3 3.故选
C.
2
(2)[多选题]正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α 截此正方体所得截面的判断正确的是
√A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
√C．截面形状可能为正六边形 √D．截面面积最大值为3 3

空间几何体画截面的基本原理

空间几何体画截面的基本原理
本文介绍了画几何体截面的基本原理和技巧。

首先，画截面的实质是确定截面与几何体表面的交线，因此需要确定与哪些面会产生交线。

以过M、N、P三点作长方体和三棱锥的截
面为例，介绍了具体的步骤和技巧。

对于长方体的截面，需要先确定与下底面和右侧面的交线，然后根据面面平行性质定理，确定与上下底面的交线平行，并通过连接交点来确定与前侧面的交线。

技巧总结包括：若两平面已经有两个公共点，则两公共点的直线必要其交线；若第三个平面截两个平行平面，两交线必平行。

对于三棱锥的截面，需要先确定与下底面的交线，然后根据线面平行性质定理，确定与后侧面的交线平行，并通过连接交点来确定与左侧面的交线。

技巧总结包括：线面平行性质定理是画交线的有效工具；截面、下底面、后侧面，三面两两相交，若有两条交线平行，那么三条交线必互相平行。

课后作业是过M、N、P三点作三棱锥的截面（M、N与虚棱不平行），需要根据上述技巧和原理进行求解。

高考数学立体几何截面问题

高考数学立体几何截面问题
在高考数学中，立体几何截面问题是一个常见的问题。

截面问题考察的是学生的空间想象能力和动手操作能力，需要判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题。

解决立体几何截面问题的一般方法是通过作几何体的截面，将空间问题转化为平面问题。

这个过程需要学生利用已知不共线三点作几何体的截面，通过转化为平面问题来深化理解空间点线面关系。

在具体解题过程中，学生还需要掌握一些基本的定理和公式，如平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理等，以及一些常见的立体几何截面形状，如三角形、四边形、五边形等。

此外，学生还需要通过大量的练习来提高解题的速度和准确性，掌握不同类型题目的解题技巧和方法。

总之，高考数学立体几何截面问题需要学生具备扎实的数学基础和较强的空间想象能力和动手操作能力，通过不断的学习和练习来提高解题的能力。

立体几何中的截面问题

立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题一、引言1·1 概述本文档将详细介绍立体几何中的截面问题。

截面问题是立体几何中常见的问题类型之一，涉及到在给定几何体上进行切割，求解切割平面与几何体的交线或截面的形状、性质等问题。

1·2 目的本文档的目的是为读者提供关于立体几何中截面问题的全面了解，包括截面的定义、不同几何体的截面特征、相关定理和推论的证明方法、截面问题的应用等。

1·3 适用范围本文档适用于对立体几何有一定了解的读者，特别是对截面问题感兴趣的学生、教师和研究人员。

二、截面的定义与分类2·1 截面的定义截面是指一个平面与立体几何体相交所得的曲线、线段或点集。

2·2 平行截面与垂直截面根据切割平面与几何体的相对位置，我们可以将截面分为平行截面和垂直截面两种类型。

三、不同几何体的截面特征3·1 球体的截面3·1·1 截面形状球体的截面是一个圆或一个点。

3·1·2 截面性质球体的截面是等面积的，并且与球心的连线垂直于截面。

3·2 圆柱体的截面3·2·1 截面形状圆柱体的截面可以是一个圆、一个椭圆、一条直线或两个平行线段。

3·2·2 截面性质圆柱体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是恒定的。

3·3 圆锥体的截面3·3·1 截面形状圆锥体的截面可以是一个圆、一个三角形、一个直线或两个平行线段。

3·3·2 截面性质圆锥体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是变化的。

3·4 正多面体的截面3·4·1 截面形状正多面体的截面可以是一个正多边形、一个多边形、一个直线或两个平行线段。

3·4·2 截面性质正多面体的截面与对称轴平行或垂直，并且截面上的点到对称轴的距离是恒定的。

空间几何体截面与距离问题

距离与截面问题棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【解析】如图所示，设正四棱锥V ABCD -底面中心为O ，令BC a =，则VB ka =，而OB =，在Rt VOB ∆中， VODCBA2cos VBO ka ∠==，∵π02VBO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，，∴01<，1<<+∞，∴k >∴k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．【答案】⎫+∞⎪⎪⎝⎭【例2】正四棱锥的斜高为2，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知2,SH SB ==，HOBAS故1122BH AB AB ===⇒=，112OH AB ==，高SO ，底面面积24S AB ==底面，2212141S S S ==⇒=中截面底面中截面∶∶∶．1【例3】正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【解析】如图，过B 点作BF O B ''⊥，垂足为F ，由题意知：2AB OB ==，8A B OB''''==，17OO '=，在直角三角形BBF'中，BB '即斜高长为；又OA =O A ''=，在直角三角形AAE'中，19AA '=，即此棱台的侧棱长为19．【例4】已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．【解析】在Rt SOM ∆中，SO h =，SM l =，所以OM=又O为正三角形的中心，故13MO AB =，故棱长AB=∴)222ABC S l h ∆=-，111A B C ∆与ABC ∆相似，且边长比为12∶，故截面111A B C ∆)22l h -．【例6】如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高VO⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．HO'ODCBAV【解析】⑴由题意知VOVC =故2COBC ==⇒=斜高VH 28S BC ==；⑵ 由棱柱的截面性质知：214S VO S VO '⎛⎫== ⎪⎝⎭中截面底面1824S ⇒=⋅=中截面．【例7】如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA【解析】设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11VO h =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，由已知得212464h h =，∴114h h =，∴114h h =∴111344O O VO VO h h h =-=-=，而12233O O O O O O ==，则12233131344O O O O O O h h ===⋅=．∴211442h VO h h =+=，311134444VO h h h h =++=．设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则22212S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴21164S S ==（2cm ）．22334S S h h ⎛⎫= ⎪⎝⎭∶∶，∴39643616S =⨯=（2cm ）．∴两截面的面积分别为216cm 和236cm ．【答案】216cm 和236cm ．圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【解析】设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为r R ，．由相似三角形的性质有：10l r l R -=，即1014043l l l -=⇒=故圆锥的母线长为403．【答案】403【例9】一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．【解析】圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为１，故高为12011cos22︒⨯=，底边长为2sin60⋅︒1122=【例10】圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为r ，2a则下底面半径为2r ，有2sin302a r r r a ︒=-⇒=圆台2cos30h a ︒=，上下两底面之和222ππ(2)5πS a a a =+=．，25πa【例11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【解析】9=，故轴截面面积()122259632S =⋅⋅+⋅⋅=；，25πa【例12】圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为．【解析】如图，圆台轴截面为梯形11ABB A ，130BB C ∠=︒，12BB a =，∴BC a =且112OB O B =，∴1111BC OB O B O B =-=，∴11O B a =，2OB a =AO【答案】a 、2a ．【例13】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r ，R ，则3R r =，根据母线与底面的夹角是45︒，有高为r ，∴圆台轴截面的面积为()133922S r r r =+⋅=，解得：14r =，∴母线长为【答案】【例14】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【解析】设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，4r ，4 rlrSAOSOA根据相似三角形的性质得334rl r=+，解得9l =．所以，圆台的母线长为9．【答案】9．【例15】圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30o ，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图为圆台轴截面的一部分，2rrO 'OAA 'S则30ASO ∠=o ，在''Rt SA O ∆中，sin30'rSA =o ，∴'2SA r = 在Rt SAO ∆中，2sin30rSA=o ，∴4SA r =． ∴''SA SA AA -=，∴422r r a -=，r a = ∴222212ππ(2)5π5πS S S r r r a =+=+==∴圆台的上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为25πa【答案】a 、2a 、25πa【例16】圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=，由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤，故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12．【答案】；⑵12．球的截面【例17】在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为R ，截面圆心分别记为12,O O ，如图，A∵22π49πO B ⋅=，∴27O B = 同理21π400πO A ⋅=，∴120O A = 设1OO x =，则29OO x =+．在1Rt OO A ∆中，22220R x =+；在2Rt OO B ∆中， 222(9)7R x =++， ∴222207(9)x x +=++，解得15x =， ∴22222025R x =+=，∴25R =．【答案】25．【例18】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设两个截面半径分别为12,r r ，则12π12πr =，22π16πr =，解得16r =，28r=．从而球心到两个截面的距离分别为：18d==，26d ．（2）（1）O OFFEE D DC C B B A A若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为122d d -=，如图⑴；若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为1214d d +=，如图⑵．【答案】2或14．【例19】（2008四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，四川高考【解析】D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识．【答案】D【例20】球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB =，24BC =、30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222r R d =-求出球半径R ．∵18AB =，24BC =，30AC =，∴222AB BC AC +=，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15r =，又球心到截面的距离为12d R =，∴2221152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得R =【答案】R =【例21】已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1BCD ．2【考点】截面与距离问题【难度】2星星【题型】选择【关键词】2008年，全国高考【解析】C ；如图，球心记为O ，两个圆面的圆心记为12O O ，，公共弦为AB ，M 为AB 的中点，记圆1O 所在的平面为α，圆2O 所在的平面为β，则平面α^平面β，1OO ^平面α，2OO ^平面β，又12AB O M AB O M ^^，，而AB 为两个平面的交线，故2O M ^平面α，1O M ^平面β，从而12OO O M ∥，且四边形12OO MO 为平行矩形．由AB ^平面12OO MO 知，AB OM ^，又2OB =，2AB =，故12OM O O =，即为所求．组合体的截面分析【例22】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为r ，圆锥的半径为R ，D 1C 1O 1O DC BAS则圆柱的高为12OO r =，圆锥的高为SO ， ∵11//C D AB ，∴111C O SO AO SO =，即r R =，解得：3rR =2(2=．圆柱的母线长为2r ，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为232rR=-．【答案】(22，3．【例23】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A．2B ．1 C．12+D【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2007年，湖南高考【解析】答案： D ．已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，设EF 所在的大圆圆面截正方体EFGH ，圆心为OFEDCAOA 1D 1B 1C 1由题意知面EFGH ∥面ABCD ∴四边形EFGH 为正方形，∴球半径为R =又直线EF 被球O 截得线段长即为大圆O 截直线EF 的长．如图：∴MN ==【答案】D【例24】连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，江西高考【解析】⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知OM ON MN OM ON -<<+ 当且仅当AB 与CD 在同一个大圆面内且相互平行时取等号 ∴①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB 与CD 两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又∵CD AB >，∴只有CD 为直径，AB 为弦，∴只能是经过AB 的中点．【答案】C多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．丙AA 1P DC 1D 1QC乙NPQD 1A 1B 1C 1DA甲QPAB C 1B 1A 1D 1ABCDB 1C 1D 1A 1由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ 的长即为两点间的最短距离，分别为：（前上）PQ（左上）PQ ==（左后）PQ =由于01λ≤≤，∴①式PQ =②式PQ ∴最短距离PQ =【例26】已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【备注】棱柱的表面距离问题【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10．ODAFEDCBA【答案】10．【例27】如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．将正三棱锥侧面棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与SB 交于M ，交SB 于N 点，显然AMN ∆的周长''l AM MN NA AA =++≥，也就是说当AM ，MN ，(')NA NA 在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AMN ∆的周长最小值．SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'45ASB BSC CSA ∠=∠=∠=o ∴'135ASA ∠=o∴'AA ==∴AMN ∆【例28】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c b aD 1C 1B 1A 1D CB A【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．（丙）（乙）（甲）abc a bc a b c c baAB B 1C 1ABCDA 1B 1C 1D 1AB CA 1B 1C 1D 1C 1B 1A 1D CB A三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++，bc c b a c b a 2)(22222+++=++ ac c b a b c a 2)(22222+++=++ ∵0>>>c b a ， ∴0>>>bc ac ab ．故最短线路的长为bc c b a 2222+++．【答案】bc c b a 2222+++【例29】如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A作与侧棱,VB VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．2aθCFEBA'AV将正三棱锥沿侧棱VA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与VB 交于E ，交VC 于F 点，显然AEF ∆的周长''l AE EF FA AA =++≥，也就是说当AE ，EF ，(')FA FA 在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AEF ∆的周长最小值．由于已知AVB θ∠=，因此在'VAA ∆中可利用余弦定理求出'AA 的长．如图所示为正三棱锥沿侧棱VA 剪开的侧面展开图， ∵AVB θ∠=，则在AVB ∆中，由余弦定理得222(2)(2)7cos 2228a a a a a θ+-==⋅⋅∴sin θ=，217cos22cos 132θθ=-=，sin 2θ．从而7cos3cos cos2sin 2sin 128θθθθθ=-=于是在'AVA ∆中，由余弦定理得2222121'(2)(2)222cos316AA a a a a a θ=+-⋅⋅=所以11'4AA a =为所求最小值．【答案】114a ．【例30】如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，M r'rF EPA'BO'OB'A绳子的最短距离即为AM 的长度．设PB x =，则18PA x =+，有2π2π418x x ⋅=+（圆心角相等），解得6x =，故侧面展开图中的2ππ'63APA ∠==， 24,6915AP PM ==+=，由余弦定理得：222π241522415cos4413AM =+-⋅⋅⋅=，故21AM =，即绳子的最短长度为21．⑵取绳上任意点'E ，连结'PE ，交圆台上底于点'F ，由于'6PF =，因此当'PE 取最小值时，''F E 取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P 作PE ⊥AM ，且与¼'BB交于点F ，其中6PF =，则FE 为上底圆周上的点到绳子的最短距离．在PAM ∆中，由面积公式有2415sin321PE π⋅⋅==故6FE =为所求的最短距离．【答案】6FE【例31】已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ 长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD 与过棱BC 时侧面展开图中PQ 距离相等，如图1与2，同理过棱BD 与AC 时PQ 长度相等，AA 'BDCQP 图1图2C APQDBC'MD 'ABDCQ P图3因此只需考虑以下两种情况①过棱AD 时，如图2所示，沿AC 展开，此时 1.PQ =②过棱AC 时，如图3所示，沿AD 展开，由于 60BAC ACD ∠=∠=o ，AMP CMQ ∠=∠，AP CQ =AMP∆≌CMQ ∆()AAS ，12AM CM ==，此时PQ =将①②两种情况进行比较有：当12λ<1当12λ≥1故1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩&≥【答案】1,211,2mm PQ λλ<=⎨⎪⎪⎩&≥【例32】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为．1A 【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2005年，江西高考【解析】∵AB BC ==90ABC ∠=︒，∴2AC =． ∴侧面展开后如图1所示．图1F E C BAA'A 1B 1C 1A 1'11112A E AA ==，1111A F A B B F =+=∴EF =．把111A B C ∆与侧面11A B BA 展平如图2所示．图2FE BAC 1B 1M A 1连结EF ，过E 作1EM B B ⊥，则EM AB =1FM =EF 若把111A B C ∆与侧面11A ACC 展平如图3．图3A 1AE M B 1C 1F D C连结EF ，作1EM CC ⊥于M ，作FD EM ⊥于D 点，则32ED =，32FD =，∴EF =．比较以上三条路径，以第三条最小，∴EF【例33】如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】过SA 作正三棱锥侧面展开图，如图所示，SMN ACBA '(A)SMN ACB∵'1SA SA ==，'40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=o ∴'120ASA ∠=o∴'AA ∴AMN ∆球面距离【例34】在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C 两点的，则球心到平面ABC 的距离为．【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，辽宁高考【解析】32；34π3R R =⇒=记球心为O ，知π3AOC ∠=，于是AC R ==ABC∆，于是球心到平面ABC32=．【答案】32【例35】已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2006年，四川高考【解析】球O 的半径是R=1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是4π，则∠AOB ，∠AOC 都等于π4，AB AC =，,B C 两点的球面距离是π3，π3BOC ∠=，1BC =，过B 做BD AO ⊥，垂足为D ，连接CD ，则CD AD ⊥，则BDC ∠二面角B OA C--的平面角，BD CD ==，∴π2BDC ∠=，二面角B OA C --的大小是π2，选C ．【答案】C【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB =，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径．由于过AB 的大圆到球心距离为0，因此要球最大距离则过A 、B 的平面必为小圆，AB 为小圆的弦，为使r 小，则AB 为小圆的直径时，r 最小．∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ．当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d ==，即球心与过A 、B ．【例37】已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】如右图，∵AB R =，所以OAB ∆是等边三角形，O 1OC BAπ3AOB ∠=，故,A B 两点的球面距离为π3R ， ABC ∆为等边三角形，它的外接圆半径23r ==，在1Rt OO B ∆中，1OO ==，所以球心到平面ABC的距离1OO ．或者也可由正四面体O ABC -的棱长为R．【答案】π3R【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为π2R ，转化为球心角π2AOB ∠=，从而AB ，由关系式222r R d =-，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径时，r 最小．解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为π2R ．∴π2AOB ∠=，∴AB ．当AB 成为圆的直径时，r取最小值，此时12r AB ==，d 取最大值，d =，即球心与过A 、B．【例39】如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，陕西高考【解析】2ππ33AOB R AOB ∠⋅=⇒∠=，于是2AB R ==．又11O A O B =∴22211AB O A O B =+，1π2AO B ∠=．【答案】π2．【例40】如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O 到平面ABC B 、C 两点的球面距离是（） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，四川高考【解析】∵AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O '是AC 的中点．O C '=，AC =∴3BC =，即BC OB OC ==， ∴π3BOC ∠=，B 、C 两点的球面距离是π3π3⨯=本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解．【答案】C.【例41】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则2π4πr =，∴2r =．如图所示，设三点为A 、B 、C ，O 为球心，O 'BOAC2ππ63AOB BOC COA ∠=∠=∠==．又∵OA OB =，∴AOB ∆是等边三角形，同样，BOC ∆、COA ∆都是等边三角形，得ABC ∆为等边三角形，边长等于球半径R ． r 为ABC ∆的外接圆半径，r AB =，R ==【答案】【例42】如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（） A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【难度】3星【题型】选择【关键词】2006年，浙江高考【解析】由于,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，有45EOG BOE ∠=∠=o∴ππ1sin,42EG FG EGF =⨯==∠=∴1EF OE OF === ∴π3EOF ∠=， ∴点,E F 的球面距离为ππ133⨯=【答案】π3。

空间几何体交线和截面问题

空间几何体交线和截面问题
在探讨空间几何体交线和截面问题时，我们需要掌握一些基本的知识。

首先，交线是指两个几何体相交所产生的一条或者多条线，它是二者所交之处的所有点的集合。

相对地，截面则是通过切割一个空间几何体而得到的二维平面。

当两个几何体相交时，交线通常表现为曲线或者直线。

为了求出交线，首先需要找出两个几何体的方程，然后联立解析来求解。

例如，在体积学中，一个平面和一个圆锥体相交，其交线是一个椭圆。

同样，如果两个圆柱体相交，那么它们的交线可能是一条或者两条直线，或者一个双曲线。

截面是容易理解的，就如同我们把一个水果切开一样，我们看到的剖面就是截面。

在数学中，一个空间几何体的截面就是通过该体的一个平面所得到的二维形状。

例如，一个圆柱体的截面可以是一个矩形（如果截面平行于底面）或一个椭圆（如果截面斜切）。

在实际的解决问题过程中，我们需要灵活应用这些知识，理解空间几何体交线和截面的形状和性质。

例如，如果我们知道一个截面，就可以判断其所属的空间几何体。

同样，如果我们了解了交线，我们也可以推断出两个相交的几何体。

总结来说，空间几何体交线和截面问题是空间几何学习的重要部分。

我们需要通过学习和实践，掌握判断和解决这类问题的基本方法和技巧。

指点迷津(八) 空间几何体的截面问题

3 3
因为 4
>
2 3
3
>
3 2
4
>
1
S=6·2
3
,选项
2
·
2
3 3
·sin 60° = 4 .
B,C,D 错误,故选 A.
(方法2)B1A1,B1B,B1C1与平面A1BC1所成的角都相等,如图所示,
在AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A上分别取点E,F,G,H,K,L.
设BE=BF=C1G=C1H=A1K=A1L=x,则CF=CG=D1H=D1K
α∥平面A1BC1或者α与平面A1BC1重合.根据图形的对称性选择恰当的截面
进行探索.分别设AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点为E,F,G,H,K,L,易证点
E,F,G,H,K,L共面.则正六边形EFGHKL平行于平面A1BC1.
由 KH
1
A1C1,得
2
KH=
2
,
2
正六边形 EFGHKL 的面积
面的条件;(2)三线共点的条件;(3)面面平行的性质定理.
对点训练(2021内蒙古呼和浩特一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E为B1C1的中点,则过B,D,E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的
截面面积为(
)
3 10
A.
2
9
B.
2
C.3 2
D.2 10
答案:B
解析:取D1C1的中点F,连接DF,EF,BE,即等腰梯形BEFD为截面,
2
则 S=
2+ 2
2
2
·h2.点 E 到 LG 的距离 h1= [ 2(1-)] -

空间几何体的平行截面与相交判断

空间几何体的平行截面与相交判断一、引言空间几何体是我们在数学课程中经常接触到的概念，而其中的平行截面与相交判断则是我们在研究空间几何体时需要了解的重要内容。

本文将详细探讨空间几何体的平行截面与相交判断的概念、原理以及应用。

二、平行截面的定义与性质1. 平行截面的定义在空间中，平行截面指的是由平行于同一直线的平面所截得的相同截面形状。

例如，当我们将一个长方体沿着一条平行于其中一条边的平面切割时，所得的截面形状与原截面相同。

2. 平行截面的性质平行截面有几个重要的性质：（1）平行截面所截得的截面形状相等。

（2）平行截面所截得的截面面积相等。

（3）截面内部的图形形状与原来的几何体相似。

三、相交判断的方法与应用1. 相交判断的方法在研究空间几何体时，我们经常需要判断两个几何体是否相交。

以下是一些常用的相交判断方法：（1）平面与几何体的相交判断当一个平面与一个几何体相交时，我们可以通过计算平面与几何体的交点个数来进行判断。

若交点个数为奇数，则表示平面与几何体相交；若交点个数为偶数，则表示平面与几何体不相交。

（2）直线与几何体的相交判断当一条直线与一个几何体相交时，我们可以通过计算直线与几何体的交点个数来进行判断。

若交点个数为奇数，则表示直线与几何体相交；若交点个数为偶数，则表示直线与几何体不相交。

2. 相交判断的应用相交判断在几何学中具有广泛的应用价值。

例如，在计算机图形学中，我们常常需要判断两个三维物体是否相交以进行碰撞检测；在建筑设计中，我们需要判断某个结构与其他结构是否相交，以确保结构的稳定性。

四、实例分析为了更好地理解平行截面与相交判断的概念与应用，我们来看一个实际的例子。

假设有一长方体ABCDE，其中AB=8cm，BC=6cm，AD=10cm。

我们在长方体上分别取平行于AB、BC和CD的三个平面MNOP、PQRS和EFGH。

则根据平行截面的性质，这三个平面所截得的截面形状应该是相等的，且面积相等。

空间几何体的投影与截面

空间几何体的投影与截面空间几何体的投影和截面是几何学中重要的概念和应用。

通过对几何体进行投影和截面操作，可以更好地理解几何体的形状、结构和性质。

本文将详细介绍空间几何体的投影和截面的定义、性质及应用。

一、投影1. 投影的定义投影是指将一个几何体沿着某个方向投射到另一个平面上的操作。

投影可以呈现几何体在不同视角下的形状和特征。

2. 投影的性质（1）投影不改变几何体的形状和大小，只改变几何体在投影平面上的位置。

（2）平行的直线在投影平面上仍然保持平行。

（3）与投影平面垂直的几何体不在投影中出现。

3. 投影的应用投影在日常生活和工程领域中有广泛应用。

例如，建筑师会使用投影来绘制建筑物的平面图和立面图。

在工程测量中，也常常使用投影来测量和重建物体的三维形状。

二、截面1. 截面的定义截面是指通过一个几何体的平面，将该几何体切割成两个部分的操作。

截面可以帮助我们更好地理解几何体的内部结构。

2. 截面的性质（1）截面是几何体与截面平面的交集。

（2）不同的截面平面可以得到不同的截面形状。

（3）截面形状可以是点、线、曲线或面。

3. 截面的应用截面在许多领域中都有应用。

例如，在解剖学中，截面图可以帮助医生更好地了解人体的内部结构。

在工程设计中，截面分析可以用于材料的断面设计和强度计算。

综上所述，空间几何体的投影和截面是几何学中重要的概念和工具。

通过投影和截面的操作，我们可以更好地理解和分析几何体的形状、结构和性质。

投影和截面在日常生活和工程领域中有广泛应用，对于建筑、测量、设计等领域都具有重要意义。

通过对投影和截面的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握空间几何体的特征和规律，进一步推动几何学及其应用的发展。

空间几何体的投影与截面

空间几何体的投影与截面投影和截面是研究空间几何体的重要方法。

它们能够帮助我们更好地理解和描述几何体的形状和性质。

本文将介绍空间几何体的投影与截面的基本概念、计算方法以及它们在实际应用中的意义。

一、投影在空间几何体中，投影是指一个几何体在某个方向上的阴影。

常见的投影有平行投影和中心投影两种形式。

1. 平行投影平行投影是指将一个几何体的每个点都沿着平行于某个方向的线投影到一个平面上，得到的平面上的图形即为该几何体的平行投影。

平行投影可以帮助我们研究几何体的形状、尺寸以及位置关系。

2. 中心投影中心投影是指将一个几何体的每个点都沿着从某一点向各点伸出的射线投影到一个平面上，得到的平面上的图形即为该几何体的中心投影。

中心投影的特点是投影图形中心和几何体中心之间存在一一对应的关系，可以帮助我们研究几何体的对称性和形状。

二、截面截面是指一个几何体在某个平面上的切割部分。

常见的截面有平面截面和直截面两种形式。

1. 平面截面平面截面是指将一个几何体与一个平面相交，得到平面上的图形即为该几何体的平面截面。

平面截面可以帮助我们研究几何体的形状、轮廓以及截面之间的相对位置关系。

2. 直截面直截面是指将一个几何体与一个直线相交，得到直线上的图形即为该几何体的直截面。

直截面可以帮助我们研究几何体的截面形状、曲率以及截面之间的变化规律。

三、计算方法计算空间几何体的投影和截面通常需要运用几何图形学和解析几何的知识。

具体的计算方法需要根据不同的几何体和投影、截面方向来确定，这里只简单介绍几何体的基本情况。

1. 直线的投影和截面对于直线，其平行投影与本身重合，中心投影则是直线的两个端点在中心投影平面上的投影。

平面截面可以通过将直线与截面平面求交得到，直截面则是截面平面与直线的交点。

2. 平面的投影和截面对于平面，其投影即为平面本身。

平面截面是平面与截面平面的交线，直截面则是由截面平面与平面的交点组成。

3. 球体的投影和截面对于球体，它的平行投影是一个圆形，中心投影是一个点。

空间几何体的截面图及应用

空间几何体的截面图及应用空间几何体的截面图是指将一个空间几何体与某一平面相交所得到的图形。

截面图能够帮助我们更直观地理解和分析空间几何体的形状、结构和特点，并且常常在工程设计、建筑规划、科学研究等领域中得到广泛的应用。

一个空间几何体可以有多个不同方向的截面，每个截面都能够提供关于几何体的一些信息。

比如，对于球体来说，无论截面所在的平面如何，都是一个圆形。

通过不同的截面，我们可以观察到球体的半径、圆心位置等特征。

对于长方体来说，不同截面的形状将会是矩形或正方形，而长方体的长度、宽度和高度可以通过截面图提供的信息得到。

类似地，对于圆柱体、圆锥体、立方体等不同的空间几何体，通过截面图可以获取到截面形状、边界位置、面积等相关信息。

在工程设计中，截面图常常用于建筑的平面图、剖面图、立面图等绘制中。

例如，在绘制建筑平面图时，截面图能够帮助设计师更清楚地了解建筑物内部的空间组织，进而进行合理的布局和设计。

在桥梁设计中，截面图能够帮助工程师更好地了解桥梁结构的横断面形状，从而选择合适的横断面类型。

在管道设计中，截面图则能够帮助工程师确定管道尺寸、截面形状以及管道的走向等信息。

在建筑规划中，截面图能够帮助规划师更直观地了解土地利用方案的可行性。

通过截面图，规划师可以观察到地下设施的布局、地形的起伏以及道路的基本形态等信息。

这些信息对于土地开发的可行性评估和制定发展方案非常重要。

在科学研究中，截面图广泛应用于物理学、化学学、地质学等领域。

例如，在物理学中，截面图常常用于代表粒子与物质相互作用或碰撞时的横截面形状。

这些截面图能够提供有关粒子散射、交互作用强度等信息，对于研究粒子物理学和核物理学等起着至关重要的作用。

在化学学中，截面图常常用于表示反应物与反应物之间或反应物与催化剂之间的相互作用。

通过截面图，化学家可以了解反应机理和动力学特征，从而指导反应条件的优化和反应路径的选择。

在地质学中，截面图能够帮助地质学家了解地下地质分层的结构，从而进行地质资源勘探和矿物资源开采。

返璞归真　直观想象——立体几何中的截面问题

故选择答案:
ABC．
点评:此类涉及空间几何体的截面形状以及相关
几何性质的判断问题,破解的关键是利用条件作出对
应的截面图形,综合线面位置关系的判定与性质加以
分析与推理,同时数形结合,直观想象,合理确定截面
几何图形所满足的特征性质,得以确定相应的截面图
x)为(
０,＋∞ )上的递增函数．
２
＋l
nx＋b－１
x
所以 g
′(
x)＝
≥０在 (
０,＋ ∞ )上
x２
恒成立,可得b≥－
２
－l
nx＋１在(
０,＋∞ )上恒成立．
x
令函数 m (
x)＝－
２
－l
nx＋１(
x＞０),求导可得
x
２１２－x
m′(
x)＝２－＝２ ,得 m (
x)max ＝m (
面的主要依据包括:平面的四个公理及推论,直线和
平面平行的判定和性质,两个平面平行的性质以及球
故选择答案:
C．
点评:此类涉及空间几何体的截面分隔开来的几
何体的体积问题,破解的关键是确定满足条件的截面
的截面的性质等．
为等腰梯形,如图４,故 B 正确;
当０＜CQ ＜
１
时,截面 APQD１
２
１
时,只需在 DD１上取点 M 使PQ ∥
２
AM ,即可得截面 APQM 为四边形,故 A 正确;

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