2021-2022年高二上学期期中考试 数学理试题 含答案

2021-2022年高二上学期期中考试 数学理试题 含答案
说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．-8
2．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面
积为( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
3.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若＝3FB
→，则|AF →|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．3
4. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4
＝1( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点 D ．有三个交点 5. 过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，的中点在第
一象限，则以下结论正确的是 （ ）
A B
C D 的大小不确定
（第1页共6页）
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
7.直线y = x + b 与曲线x=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）
（A ）|b|= （B ）或（C ） （D ）以上都错
8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45
，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0
9. 圆()()x y -+-=2331622
与轴交于A 、B 两点，与轴的一个交点为P ， 则等于（ ）
A. B. C. D.
10.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次
为
A 、
B 、
C 、
D ，则|AB||CD|
的值为( ) A ．16 B ．4 C.14 D.116
11. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(第2页，共6页)
12. 已知是圆C ：上的任意一点，则的最大值与最小值各位多少（ ）
A.100,65
B. 65,20
C.100,20
D.100,45
卷Ⅱ（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，
则|PF 2|的值为________．
14. 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .
15.设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标
为，则的最大值为 ．
16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何
形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的
编号) .（其中）
①每个侧面都是直角三角形的四棱锥；
②正四棱锥；
③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均
为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体
④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥
(第3页，共6页)
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知三角形的三个顶点是
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程。

18. （本小题满分12分）
已知点及圆：.
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2)设过点P的直线与圆交于、两点，当恰为的中点时，
求以线段为直径的圆的方程．
(第4页，共6页)
19. （本小题满分12分）
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运
行(按顺时针方向)的轨迹方程为
x2
100
＋
y2
25
＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变
为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M(0，647
)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航
天器发出变轨指令？
20. （本小题满分12分）
已知圆C :及直线()()47112:+=+++m y m x m l .
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C 恒相交；
（2）求直线与圆
C 所截得的弦长的最短长度及此时
直线的方程．
(第5页，共6页)
21. （本小题满分12分）
已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角
坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
22.（本小题12分）
设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP
0，垂足为P
o
，且．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于
不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．
(第6页，共6页)
唐山一中xx 第一学期期中考试
高二年级数学（理）答案
一、选择题
二、填空题
13. 33 14. 0 15. 15. 16. ①③④
三、解答题
17. 解：（1）如图，作直线，垂足为点。

__________考号__________________
……装………………………订…………………
………………… 1分
………………3分
由直线的点斜式方程可知直线的方程为：化简得：……………5分
（2）如图，取的中点，连接。

由中点坐标公式得
06
3 2 8715 22
x y +
⎧
==
⎪⎪
⎨
+
⎪==
⎪⎩
，
即点……………………7分
由直线的两点式方程可知直线的方程为：………………………9分化简得：……………………………………10分
18. 解:（1）设直线的斜率为（存在），
则方程为. 即
又圆C的圆心为，半径，
=，解得. …3分所以直线方程为，
即 . ……4分
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件. ……6分
所以直线的方程为或………………………7分
（2）由于，……8分
所以弦心距，则……10分
故以为直径的圆的方程为. ……12分
19. 解：(1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝64a ＋647
，……2分 ∴a ＝－17
. ∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647
. …………4分 (2)设变轨点为C (x ，y )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2100＋y 225＝1，
y ＝－17x 2＋647，
得4y 2－7y －36＝0.
∴y ＝4或y ＝－94
(不合题意，舍去)． ………………6分 由y ＝4得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．
∴C 点的坐标为(6,4)，…………10分
此时|AC |＝25，|BC |＝4.
故当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指
令
……………………………12分20. 解:(1)直线方程()()4
y
m
+m
m
l,
x
+
+
7
1
1
=
:+
2
可以改写为,…………2分
所以直线必经过直线的交点.
由方程组解得即两直线的交点为A………3分
又因为点与圆心的距离, ……………4分
所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交…………5分
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.
为直线被圆所截得的最短弦长. …………7分
此时,5
=
=BD
AC所以.
-
BC
=
5
,5=
25
4
2
,5
即最短弦长为. ………………9分
又直线的斜率,
所以直线的斜率为2. …………11分
此时直线方程为:…………………12分
21. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.
()()()()()2
240122012222222>=-+-+-+--=+=BC
AC a 则………………3分
224222=-=-=∴c a b ………………5分 椭圆的标准方程是……………………6分
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N 两点的坐标分别为
联立方程:消去整理得, …………7分
有221221214,218k x x k k x x +=+-=+
若以MN 为直径的圆恰好过原点,则,
所以, ………………………………9分
所以,()()0222121=+++kx kx x x ,
即()()042121212=++++x x k x x k
所以,()
0421********
22=++-++k k k k …………………10分 即得 …………………11分
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点…12分
22.解：（Ⅰ）设点，，则由题意知.
由，，且， 得),0(2
3),(00y y x x -=
--. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-,23,000y y x x 于是⎪⎩⎪⎨⎧==.32,00y y x x ……1分 又，所以.
所以，点M 的轨迹C 的方程为.…3分
（Ⅱ）设， . 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=,134
,22y x m kx y 得0)3(48)43(222=-+++m mkx x k . 所以，0)3)(43(16)8(222>-+-=∆m k mk ，
即. ① ………………5分 且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+.43)3(4,43822212
21k m x x k mk x x （i ）依题意，，即.
()222121212x x k k x x km x x m ∴=+++.
，即.
，，…………………6分
解得.将代入①，得.
所以，的取值范围是 ……………………8分
（ii ）曲线与轴正半轴的交点为.
依题意，， 即.
于是0),2(),2(2211=--⋅--y x y x .
04)(2212121=+++-y y x x x x ，
即0))((4)(2212121=+++++-m kx m kx x x x x ，
04)438()2(43)3(4)1(22222=+++-⋅-++-⋅+∴m k
mk km k m k .化简， 得. ……………….13分
解得，或，且均满足……9分
当时，直线的方程为，直线过定点(舍去)； …10分 当时，直线的方程为，直线过定点. ………11分 所以，直线过定点. ………12分
+R 39132 98DC 飜#23420 5B7C 孼35476 8A94 誔29671 73E7
珧GmU*,40749 9F2D 鼭。