基于Ornstein—Uhlenbeck过程的欧式期权的定价
ornstein- ulhenbeck过程
ornstein- ulhenbeck过程
Ornstein-Uhlenbeck过程是由S. R. 琼斯在1924年提出的一种
随机过程。
它是一个连续的随机过程，描述了一个物理系统在受到随
机外力作用下回归到平衡状态的过程。
在数学上，Ornstein-Uhlenbeck过程是一个具有回归到均值的随机微分方程。
这个过程被广泛应用于经济学、金融学和物理学等领域，特别是在描述股票价格、利率和粒子在流体中的扩散等方面。
Ornstein-Uhlenbeck过程的数学表达式为：
dX(t) = θ(μ - X(t)) dt + σ dW(t)
其中，X(t)是随机过程在时间t的值，θ是回归速度参数，μ
是平均值，σ是扩散参数，dW(t)是布朗运动（随机微分项）。
根据方程，随机过程X(t)在没有外部干扰时会以回归速度θ向
平均值μ回归。
而随机微分项dW(t)则表示了随机外力对过程的影响，它满足布朗运动的性质。
Ornstein-Uhlenbeck过程具有平稳性和马尔可夫性质，使得它具有很好的数学性质和应用价值。
它可以用来描述自然界和人类社会中
的许多现象和过程，尤其在金融市场中的股票价格和利率模型中得到
广泛应用。
布莱克_默顿_斯科尔斯期权定价理论评述
34
布 莱 克 、默 顿 、
斯科尔斯期权
定价理论评述
杨峰
的概 率分布和贴现率是无法确定的 。 1969 年 Samuelso n 和 M er ton(默顿) 在其合作完成的文章中认识到了这一点 , 他们将 期权价格看作是股票价格 的函数 , 并且认为贴现率依赖于投资者所持股票和期权的数量 , 但是他们唯 一没有认识到的是影响贴现率的期权或股票风险 都是无法分散的或者说是 系统风险 。这使得他们最终导出的期权定价公式 仍需依赖于特定投资者的 效用函数 。70 年代以前诞生的期权定价公式所具有的共同不足之处 , 就是 不同程度地依赖于股票未来价格的概率分布和投 资者的风险偏好 , 而风险 偏好和概率分布是无法观测或正确估计的 , 从而 限制了这些公式在实际中 的应用 。期权定价理论的革命性突破是布莱克和斯科尔斯于 1973 年发表于 美国《政治经济学杂志》 上的一篇名为《期权和企业债务的定价》的文章 。这 篇文章给出了欧式股票看涨期权的定价公式 , 即 今天所称的布莱克 —斯科 尔斯公式 , 它与以往期权定价公式的重要差别在 于只依赖于可观察到的或 可估计出的变量 ,这使检验成功就可成为指导期权投资的重要方法 。
欧式期权定价
到期日期权的出售人(空头)的总收益
PT p (ST K ) ---------------看涨期权
PT p (K ST ) ---------------看跌期权
PT
K
p
ST
购买(持有)欧式看涨期权 的收益
(欧式看涨期权的多头)
PT
K
ST
p
购买(持有)欧式看跌期权的收益
(欧式看跌期权的多头) PT
t
2
2 T t
0,
x0 x0
4、风险中性定价方法
V S,t erTtEQ ST K
EQ ST K
x K
K
x
1
e dx
ln
x S
r
2 2
2 2 T
T t
t
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K
1
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ln
x S
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2 2 T
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e e u x, x
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2
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2
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2
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u
0
随机利率下分数跳扩散Ornstein-Uhlenbeck期权定价模型
（ ．西 安 财经 学 院 统 计 学 院 ， 西 西 安 ７ ０ ０ ； ． 北 电力 大 学 经 济 管理 系 ， １ 陕 １ １０ ２ 华 河北 保 定 ０１０） ７０ ０
摘
要
假 设 股 票价 格 遵 循 分 数 布 朗运 动 和 复 合 泊松 过 程 驱 动 的 随机 微 分 方 程 ， 期 利 率 服 从 Ｈｕｌ 短 ｌ —
第 ２ ８卷
第 ２期
经
济
数
学
Ｖｏ１２８， ． Ｎｏ． ２
２ １ 年 ６ 月 ０ １
ｊ ｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＯＮＯＭ Ｉ ＶＥ ＥＣ ＣＳ 率 下 分 数 跳 一 散 扩 Ｏｒ ｓ ｉ－ ｈｅ ｂ ｃ ｎ ｔ ｎ Ｕ ｌｎ ｅｋ期 权 定 价 模 型 ｅ
Ａ ｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ Ｕｎ ｅ ｈ ｓ ｕ ｔ ｎ ｈ ｔｓｏ ｋ ｒｃ ｒ ｃ ｓ ｓｄ ｉ ｅ ｙ ｆａ ｔ ｎ ｌ ｉ ｕ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓｗｉｈ ｎ ｎ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｄ ｒ ｔ ｅ ａ ｓ ｍｐ ｉ ｓｔ ａ ｔ ｃ ｓ ｐ ｉｅ ｐ ｏ ｅ ｓｉ ｒ ｎ ｂ ｒ ｃ ｉ ａ ｆ ｓ ｒ ｃ ｓ ｔ ｏ — ｏ ｇ ｎ — ｏ ｖ ｏ ｄ ｆ ｏ － －
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具 有较好 地“ 尾” 长程 依赖 特 性 ， 且 仍 然 是一 厚 和 而
ｕ ｄ ｒｓ ｏ ｈ ｓｉ ｎ ｅ ｅ ｔｒ ｔ ｓ ｗａ ｕｌ．Ｕｓｎ ｈ ｓｃ ｌｐ ｏ ａ ｉ ｓ ｉ ｍｅ ｓ ｒ ｆ ｐ ｉ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｉｃ ｐ ｅ ｏ ａ ｒｐ ｅ — ｎ ｅ ｔ ｃ ａ ｔ ｉ ｔ ｒ ｓ ａ ｅ ｓ ｂ ｉ ｃ ｔ ｉｇ ｐ ｙ ｉａ ｒ ｂ ｂ ｌ ｔ ａ ｕ ｅ ｏ ｒｃ ｒ ｃ ｓ ｎ ｈ ｒｎ ｉ ｌ ｆ ｆｉ ｒ ｍｉ ｉ ｃ ｕ ，ｔ ｅ ｐ ｉｉ ｇ ｆ ｒ ｌ ｏ ｒ ｐ ａ ｐ ｉ ｎ ｗａ ｂ ａ ｎ ｄ ｗｈ ｃ ｅ ｅ ａｉｅ ｈ ｌ ｃ — ｃ ｏ ｅ ｄ １ ｍ ｈ ｒｃｎ ｏ ｍｕ ａ ｆＥｕ ｏ ｅ ｎ ｏ ｔ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ， ｉｈ ｇ ｎ ｒ ｌ ｓｔ ｅ Ｂ ａ ｋ Ｓ ｈ ｌ ｓｍｏ ｅ ． ｏ ｚ
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型下蝶式期权的定价
{
ｄＳ ｔ ＝ ｒＳ ｔ ｄｔ ＋Ｙ ｔ Ｓ ｔ ｄＷ ∗
ｔ ꎬ
(２)
ｄＹ ｔ ＝ к( θ －Ｙ ｔ ) ｄｔ ＋σｄＺ ｔ ꎬ
式中ꎬθ 表示波动率 Ｙｔ 的长期均值ꎬк 代表均值回复速度ꎬｒꎬкꎬθꎬσ 均为常数ꎬ(Ｗ∗
际ꎬ人们改进为:将波动率设为一个与标的资产价格相关的随机过程ꎬ也就是我们说的随机波动率模型.
１９８７ 年ꎬＨｕｌｌ 等研究了 Ｈｕｌｌ￣Ｗｈｉｔｅ 随机波动率模型的期权定价问题 [２] .随之ꎬＳｃｏｔｔ [３] 、Ｈｅｓｔｏｎ [４] 利用此
模型ꎬ得到了关于欧式期权定价的一系列理论. １９９８ 年ꎬＲａｉｎｅｒ Ｓｃｈｏｂｅｌ 等考虑标的资产价格服从均值回
(１.Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ＳｃｉｅｎｃｅｓꎬＮａｎｊｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ ２１００２３ꎬＣｈｉｎａ)
(２.Ｎａｎｊｉｎｇ Ｎｏ.１２ Ｍｉｄｄｌｅ ＳｃＩｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅꎬｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ａｓｓｅｔ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｅａｎ￣ｒｅｖｅｒｔｉｎｇ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ￣Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
复 Ｏｒｎｓｔｅｉｎ￣Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ 随机波动率过程ꎬ并得到了欧式期权价格的解析解 [５] .
近年来ꎬ我国学者对于随机波动率下的美式期权也进行了大量研究. 邓国和等研究了随机波动率与
双指数跳扩组合模型的美式期权定价问题 [６] . 梅正阳等研究了一类随机波动率的美式期权定价 [７] . 此外ꎬ
一些奇异期权如:亚式期权、障碍期权、两值期权等的定价问题也得到了广泛关注.
在本文中ꎬ我们将主要探究收益函数由式(１) 给出的蝶式期权ꎬ并在均值回复 Ｏｒｎｓｔｅｉｎ￣Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ 随机
基于B-S公式的金融衍生品定价模型的改进及实证分析
基于B-S公式的金融衍生品定价模型的改进及实证分析摘要：本文主要从对金融衍生品定价影响深远的black-scholes 公式展开，详细介绍black-scholes公式的理论基础，推导过程，以及在不同时期标的资产的价格变化失去“独立性”时对于该公式的改进。
在模型的基础上，文中还包括了实证研究的部分，在实证研究中，文中对2010年贵州茅台的股价行为进行分析，并以此得到基于贵州茅台的欧式期权定价。
文章一共分为四个主要部分：随机微分方程基础、black-scholes公式的介绍、模型的参数估计和模型的改进、以及基于文中模型的实证检验。
关键词：金融衍生品定价 black-scholes公式ornstein-uhlenbeck过程一、引言期权，权证以及其他金融衍生品定价理论的出现是现代金融发展一个重要的里程碑。
基于广为人知的无套利理论，black,scholes 和merton在1973年创立了著名的期权定价公式。
此公式的创立立即在学术界和专业投资领域得到了广泛的认可，并由此推动了现代金融衍生品市场的发展。
black-scholes公式对金融衍生品定价的深远影响和内在的重要性体现在于，它表明在一定的条件下，衍生品的价格可以通过特定的动态投资策略被精确地制定出来，而这个投资策略只和标的资产的价格和市场无风险利率有关。
这在本质上改变了期权定价的方式，使得期权定价更加精确和严格，因而极大程度地推动了现代金融市场的发展。
利用black-scholes模型中所采用的方法，各种各样的金融衍生品，包括各种金融衍生品的组合，可以被精确地定价。
虽然衍生品的最后定价数值往往是高度计算机相关的，但是本质上由于模型建立在无套利条件的基本假设下，整套定价理论的实际应用中并没有留给传统统计学多少可以深入研究的空间。
这主要是由于中间没有“误差项”可以去最小化，也没有相应的统计波动值得研究。
诸如回归分析等传统统计方法即使在标的资产的价格变化模型的数据处理中都很少有用武之地。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融学中一种重要的定价工具，用于估计期权的合理价值。
期权是金融衍生品的一种，它为买方提供了在未来某个时间以特定价格购买或出售标的资产的权利，而无需承担义务。
期权定价模型的主要目的是通过考虑不同的因素，如标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等，来计算期权的合理价格。
传统上，期权定价模型主要分为两类：基于风险中性定价（Risk-neutral pricing）的模型和基于实物资产价格和风险度量的模型。
其中，最著名的模型包括布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型和它的变体。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是由费希尔·布莱克、默顿·米勒和罗伯特·斯科尔斯于20世纪70年代提出的。
该模型基于以下几个假设：1）市场是完全的，不存在交易费用和税收；2）资产的价格满足几何布朗运动；3）没有风险套利机会；4）无风险利率和波动率是已知且恒定的。
根据布莱克-斯科尔斯模型，期权的定价公式如下：C = S(t)e^(-qt)N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S(t)e^(-qt)N(-d1)其中，C表示买方购买的看涨期权的价格，P表示买方购买的看跌期权的价格，S(t)为资产在当前时间的价格，X为行权价格，r为无风险利率，t为到期时间，q为股息率，N(d1)和N(d2)为标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S(t)/X) + (r - q + σ^2/2)t) / (σsqrt(t))d2 = d1 - σsqrt(t)其中，σ为资产的波动率。
布莱克-斯科尔斯模型的优点是计算简单，结果直观易懂。
然而，该模型的假设有时不符合实际情况，特别是在市场不完全时。
因此，研究人员开发了各种变体模型，以修正或扩展布莱克-斯科尔斯模型的假设。
此外，还有其他的期权定价模型，如二叉树模型、蒙特卡洛模拟、期权隐含波动率等。
基于贝叶斯MCMC_方法的年金长寿风险度量研究
2023年第4期(总第525期)金融理论与实践摘要：长寿风险的准确度量是年金长寿风险管理的基础和前提，具有一定的学术和实际意义。
通过利用贝叶斯MCMC （马尔科夫链蒙特卡洛模拟）算法统筹死亡率预测的Lee -Carter 模型和利率预测的CIR 模型，将长寿风险的度量转化成长寿期权的定价问题，考查了年金中长寿风险的变动规律和影响因素。
MCMC 抽样和数值模拟的结果表明，年金中的长寿风险与预测年份和年金持有人年龄成正向关系，其在年金中所占的比重随着年金持有人年龄的增加而增加，60岁的终身生存年金中长寿风险的占比高达10.11%；同时长寿风险与利率成反向关系，当前的低利率环境将会给年金发行人造成更高的长寿风险压力。
关键词：长寿风险度量；Lee -Carter 模型；CIR 模型；贝叶斯MCMC 算法文章编号：1003-4625（2023）04-0109-10中图分类号：F840.69文献标识码：A胡仕强（浙江财经大学金融学院，浙江杭州310018）基于贝叶斯MCMC 方法的年金长寿风险度量研究收稿日期：2022-10-23基金项目：本文为教育部规划基金“生存年金中长寿风险分摊的运行机理，传导路径与影响效应研究”（20YJA790025）的阶段性成果。
作者简介：胡仕强（1974—），男，安徽含山人，博士，教授，研究方向为保险精算。
一、引言生存年金通过终身支付的现金流，为其持有者提供了对长寿风险的有效规避，因此从持有人角度来说，这是一种较好的养老金融产品。
然而对年金发行人来说，当未来的实际生存概率超过合同期初的预测生存概率时，其未来的总负债也将偏离并超过期初的计算值，这是年金发行人无法通过大数定律分散，而必须独自承担的系统性长寿风险。
这种系统性风险会给年金发行人带来巨大的偿付压力和财务风险，大幅推高其偿付能力资本额度，进而降低其年金供给意愿。
鉴于长寿风险对养老基金和经济社会的广泛影响，近年来探讨长寿风险的应对策略已成为理论与实务界的热点话题。
欧式期权定价模型
结合上式，构造投资组合
是无风险投资组合，
整理得
根据无风险投资，
于是
即
这便是著名的Black-Scholes偏微分方程。
2.3欧式期权定价公式
Black和Scholes的伟大贡献正在于解出此复杂的随机微分方程，从而得出举世瞩目的欧式期权定价公式。
设x为期权的交割价格，期权价格f须满足边界条件 （看涨期权）或 （看跌期权）
本文以下分析都分别就看涨期权和看跌期权两种类型作了讨论。
2.2 Black-Scholes方程推导
无风险投资问题：
设股票价格为 ，满足 ，0＜ｂ＜ａ，ｂ为常数。
在ｔ时刻投资 且此人在任何时刻可以用 的钱去进行风险投资，余下的部分进行无风险投资。问题就是寻找一个最佳投资组合 ，使终止时刻收益最大。表示为 。[4]
假设：
股票价格是一个伊藤过程；
股票预期收益和波动率都固定不变；
市场是理想市场，无税收，无交易成本；
不存在无是股票价格，并且是伊藤过程； 是期望收益率，为常数； 是风险波动率，也是常数；B是一个布朗运动。
【推导】设f为期权价格，r为无风险利率。则有
期权可分为看涨期权和看跌期权。
看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定买进特定商品，但没有义务必须买进。不过期权卖方是有卖出义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务卖出约定商品。
看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定卖出特定商品，但没有义务必须卖出。不过期权卖方是有买进义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务买入约定商品。
从而联立方程组 和
由此解得，欧式看涨期权价格 `
基于q-高斯过程下的带红利欧式期权定价
基于q-高斯过程下的带红利欧式期权定价基于q-高斯过程下的带红利欧式期权定价摘要：本文研究了基于q-高斯过程的带红利欧式期权定价模型。
在金融衍生品领域，期权定价一直是一个重要的问题。
传统的欧式期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型在某些情况下存在一定的局限性，因此需要引入更加灵活的模型来更好地定价期权。
本文基于q-高斯过程，构建了带红利欧式期权的定价模型，并通过数值实验验证了模型的有效性。
关键词：带红利; 欧式期权; q-高斯过程; 定价模型一、引言欧式期权是金融衍生品合约的一种，它给予购买期权的持有人在特定的时间和价格购买或出售某个标的资产的权利。
期权的定价一直是金融领域的研究热点之一。
目前，布莱克-斯科尔斯模型是最常用的期权定价模型之一，该模型假设市场满足几何布朗运动，并且不考虑股息派发。
然而，在某些情况下，这些模型无法精确地描述市场的实际情况。
因此，引入更加灵活的模型来定价期权具有重要的意义。
q-高斯过程是一种重要的随机过程，它可以更好地模拟金融市场的非正态性和协整性现象。
在本文中，我们将q-高斯过程应用于带红利欧式期权的定价模型中。
该模型考虑了股息的派发，并且通过引入q-高斯过程来描述标的资产的价格变动。
本文的主要目的是构建一个灵活的定价模型，用于带红利欧式期权的定价。
二、基于q-高斯过程的带红利欧式期权定价模型1. 假设和符号定义我们假设市场中存在一个无风险利率为r的无风险资产，以及一个支付连续红利的股票，股票的股息率为q。
我们用S(t)表示t时刻股票的价格，用B(t)表示t时刻无风险资产的价格。
我们将股票价格的对数变换为lnt=S(t)，并定义a(t)=(r-q)−1/2lnt。
2. q-高斯过程q-高斯过程服从如下的随机微分方程：dxt=a(t)dt+dW(t)，其中W(t)是标准布朗运动。
3. 带红利欧式期权的定价公式对于带红利的欧式期权，其定价公式为：C=C0+D-B*P0，其中C0是不考虑股息的欧式期权的定价，D是股息的现值，B是股票在到期日的价格，P0是无风险债券的价格。
Black-SchoIeS公式及其在欧式期权定价中的应用
Black-SchoIeS公式及其在欧式期权定价中的应用
佚名
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)007
【摘要】70年代初，Fisher Black和Myron Scholes取得了一个重大突破，推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格f必须满足的方程：af/at＋af/aS ＋1/2σ2aS2a2f/aS2=ef.他们运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值．本文我们利用风险中性估值工具来证明Black-Seholes公式及其在欧式期权定价中的应用．
【总页数】1页(P115-115)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.基于不确定理论的风险中性测度及其在欧式期权定价中的应用 [J], 王国帅;赵佃立
2.Mellin变换在推广的欧式期权定价中的应用 [J], 程凤林;李乐
3.分数布朗运动环境中应用鞅方法定价欧式期权 [J], 于艳娜;孔繁亮
4.鞅分析在具有红利支付的n次幂型欧式期权定价中的应用 [J], 孔繁亮;孔祥冰
5.随机波动率模型中应用鞅方法定价具有不同借贷利率的欧式期权 [J], 霍慧东;孔繁亮
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基于改进Heston模型的欧式期权定价
dΠ= dV + ∆dS + ϕdG
Keywords
Random Volatility, the PDE Equation, European Option, Pricing
基于改进Heston模型的欧式期权定价
江倩
广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁
收稿日期：2019年12月26日；录用日期：2020年1月10日；发布日期：2020年1月17日
DOI: 10.12677/aam.2020.91015
121
应用数学进展
江倩
定价模型中空间变量离散点的非均匀生成，在这类模型下对美式和欧式期权的定价都是高效的，但需要 讨论该数值方法的条件稳定性和离散方程全局收敛的充分条件。
Heston 模型给出欧式期权定价封闭形式的解，有效提高参数估计方面的效力。但由于模型采用固定 的均值回复平方根描述波动率过程，导致有时模型计算结果与实际有较大的误差。为了克服 Heston 模型 的不足，本文设置动态的均值回复幂函数描述波动率过程，并根据具体的实际情况确定幂函数的具体形 式，提高模型的适应性和计算精度。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(1), 120-132 Published Online January 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.91015
dSt =(r − q) dt +
St
vt dWt1
dvt =k (ξ − vt ) dt + σ vt dWt2
其中 St 、 vt 、 Wt1 、 Wt2 、r、q、 σ 、k、 ξ 的意义同上。
基于Ornstein-Uhlenbeck过程的欧式期权的定价
基于Ornstein-Uhlenbeck过程的欧式期权的定价
余星;杨娟
【期刊名称】《遵义师范学院学报》
【年(卷),期】2008(010)004
【摘要】讨论了股票价格遵循Omstein-Uhlenbeck过程的欧式期权的定价问题,将Omstein-Uhlenbeek过程作了适当修改,避免利用鞅和随机分析等复杂工具,比较容易地得出了定价公式.
【总页数】2页(P10-11)
【作者】余星;杨娟
【作者单位】湖南人文科技学院数学系,湖南,娄底,437000;遵义师范学院数学系,贵州,遵义,563002
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.基于指数O-U过程的幂型欧式期权定价 [J], 赵攀
2.Lévy过程在欧式期权定价中的“悖论”——基于Lévy无穷可分性与中心极限定理 [J], 李琼琳
3.Lévy过程在欧式期权定价中的“悖论”——基于Lévy无穷可分性与中心极限定理 [J], 李琼琳;
4.分数维Hull-White利率模型下基于分数跳-扩散过程的欧式期权定价问题 [J],
刘翩; 张金良; 朱怡梦
5.基于Esscher变换的指数Ornstein-Uhlenbeck过程的定价 [J], 严钧
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基于一般Ornstein-Uhlenbeck过程的最优log-Sobolev不等式
基于一般Ornstein-Uhlenbeck过程的最优log-Sobolev不等式李标;商豪【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2009(029)002【摘要】本文研究了取值于Hilbert空间H且具有唯一不变测度μ的Ornstein-Uhlenbeck过程,利用平稳Gauss过程的log-Sobolev不等式的相关结论,得到了该过程满足log-Sobolev不等式的充分必要条件和最优常数,推广了Gross在对称情形下的结果.%In this paper ,we mainly discuss the general Ornstein-Uhlenbeck processes valued in a Hilbert space with the unique invariant measure.With the results in log-Sobolev inequality for general Gaussian processes, we obtain the necessary and sufficient condition for the log-Sobolev inequality and provide the best constant, which extend Gross' result in symmetry situation.【总页数】4页(P139-142)【作者】李标;商豪【作者单位】中国人民大学统计学院,北京,100872;湖北工业大学理学院,湖北武汉,430068【正文语种】中文【中图分类】O211.6【相关文献】1.基于Ornstein-Uhlenbeck过程的欧式期权的定价 [J], 余星;杨娟2.配对交易中Ornstein-Uhlenbeck过程的最优界位--以美国和中国的航空业为例[J], 周治朴3.马氏决策过程平均准则最优不等式综述 [J], 胡奇英;刘建庸4.一类包含可违约资产和由Ornstein-Uhlenbeck过程刻画的股票的最优再保险和投资问题 [J], 马建静;王过京5.基于Esscher变换的指数Ornstein-Uhlenbeck过程的定价 [J], 严钧因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于不确定指数O-U过程带有浮动利率模型的亚式期权定价
基于不确定指数O-U过程带有浮动利率模型的亚式期权定价刘兆鹏
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2022(31)2
【摘要】不确定金融是不确定理论在现代金融领域的一种应用,在解决金融问题中发挥着越来越重要的作用。
而利率是一个重要的经济指标,经常受到一些不确定因素的影响,在研究期权定价时,有必要考虑浮动利率。
本文提出了一种新的不确定指数Ornstein-Uhlenbeck过程模型,假设利率服从不确定均值回复过程,研究了期权定价问题,运用α-轨道方法,分别推导了亚式看涨期权和看跌期权定价公式。
最后,设计了计算期权价格的数值算法,并给出数值算例。
【总页数】4页(P205-208)
【作者】刘兆鹏
【作者单位】宿州学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6;F830.91
【相关文献】
1.O-U过程下不确定执行价格的亚式期权定价
2.基于分数O-U过程的几何亚式-再装股票期权定价模型
3.随机利率下基于Tsallis熵及O-U过程的幂式期权定价
4.不确定金融市场下具有浮动利率的几何平均亚式期权的定价
5.不确定指数O-U过程下几何平均亚式期权定价
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欧式期权估值的傅立叶变换方法:总结与实践
欧式期权估值的傅立叶变换方法：总结与实践赵欣;高雁南【摘要】文章对傅里叶变换方法对欧武期权估值的主要思路和方法进行了梳理和总结,从定义特征函数到给出Gil-Palaez转换,再到引入Heston模型,最终给出了欧武期权估值的傅里叶变换方法估值的一般方法.在介绍估值方法的同时,文章也探讨了这种方法的校准和估计方法,提出了实践者使用这类方法可能遇到的问题.在给出必要的公式之外,对这种方法的使用引用了大量相关的文献,并给出了许多经济学中较为直觉的描述,为实践者更好地使用这类模型提供了参考.【期刊名称】《潍坊学院学报》【年(卷),期】2018(018)003【总页数】4页(P43-46)【关键词】期权估值;傅里叶变换;Heston模型;Gil-Palaez转换【作者】赵欣;高雁南【作者单位】山东女子学院,济南250300;山东女子学院,济南250300【正文语种】中文【中图分类】O29一、引言使用SDE（随机微分方程）刻画股票收益的走势，进而通过构造无风险资产的方式分离出包含期权价格的PDE（偏微分方程），再通过各种方法（无论是解析方法还是数值方法）求解PDE，从而得到期权价格的方法由来已久，最早可以追溯到BS模型，在BS模型里，假设股票的收益服从一个几何布朗运动，而比较令人欣慰的是，由此分离出来的PDE是一个可以获得解析解的方程，因此BS模型大获成功。
接下来，又有经济学家不满足于只是使用一个简单的扩散过程来描述股票收益的变动路径，为了描述股票价格上的跳跃现象，有的经济学家试图用一个跳跃-扩散过程来描述股票收益的变动，比较著名的有Kou模型（Kou’s model），在Kou的模型中，假设一个复合泊松过程的跳跃大小（jump size）服从一个双指数分布。
事实上，跳跃大小还可以被假设成其他分布，例如标准正态分布。
这一类模型被称为跳跃-扩散模型。
1993年，Heston提出了基于BS模型的新模型，它假设股票的波动也是随机的，这也就是著名的Heston模型，又被成为随机波动模型（Stochastic Volatility Model），这个模型的重要之处是Heston发现了模型的解析解，Heston创造性地用特征方程将模型的解析解表示出来了，而某些分布的特征方程恰恰与傅立叶变换密切相关，而对于傅立叶变换的相关计算，有大量的数学家做出了相当多的富有创造性的研究，例如FFT（快速傅立叶变换），这些算法的发现极大地提高了期权价格的计算效率。
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修 改 ， 免 利 用鞅 和 随 机 分 析 等 复 杂 工具 ， 避 比较 容 易地 得 出 了定价 公 式 。 关 键 词 ： ｍｓ ｉ— ｈｅｂｃ 过 程 ； 朗 运动 ； 式期 权 ； ｌ ｋ Ｓ ｈｌ 模 型 Ｏ ｔ ｎ Ｕ ｌｎｅ ｋ ｅ 布 欧 Ｂａ — ｃ ｏ ｓ ｃ ｅ
中图分类号 ： ２ １ ０ １． ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ９ ５ ３ ２０ ）－ — ０ ０ ０ １０ ３ ８ （０ ８ ． ４ ０ １ － ２ － ０
Ｐｒｃｎ ｒ ｐ ａ ｔｏ ｎ Ｓ ｏ ｋ ｓ ｄ ｏ ｎ ｔ ｉ － ｌｎ ｅ ｋ ｉｉ ｇ Ｅｕ ｏ ｅ ｎ Ｏｐ ｉ ｎ ｏ ｔ ｃ ｓＢａ ｅ ｎ Ｏｒ ｓ ｅｎ Ｕｈ ｅ ｂ ｃ
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期权定价是以标的资产价格为基础的，因此对 标的资产价格服从 的运动作 出的假设也十分重要。 经 典 的 Ｂａｋ Ｓｈｌｓ 价模 型得 出 了 比较 满 意 的 ｌｃ— ｃｏｅ 定 结果 ，但 Ｂａｋ Ｓｈｌｓ 型 的假 设 条 件相 当严 格 。 ｌ — ｃｏ 模 ｃ ｅ Ｍｅ ｏ（ ７）Ａ ｉ Ｊｒ ｗ１９） 宽条 件 ， 出随 ｒ ｎ１ ３、 ｍｎ和 ａｒ （９２放 ｔ ９ ｏ 提 机利率模 型 ；ａ ｓ（ ９）Ｍ ｄｎ和 Ｃ ａｇ１９） Ｂ ｔ １ １ ａａ ｅ ９ 、 ｈｎ （ ６提 ９ 出 纯粹 跳 跃 模 型 ； ｕｉｓ ｉ（９４提 出 马尔 可夫 模 Ｒ ｂｎｔｎ１９ ） ｅ 型。 ＢａｋＳｈｌ 模型以及修正的模型都是假设 但 ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ 股票价格服从几何布朗运动。现在有些论文１嘏 设 ３ ・ ４ 标 的资产价 格服从 Ｏｎｔ ｎ Ｕ ｌ ｂｃ ｒ ｅ — ｈ ｎｅｋ过程 的定 ｓｉ ｅ 价， 运用 鞅和 随机分析 等复 杂工具 推 出定价 公式 。 本 文将 Ｏｎｔｎ Ｕ ｌ ｂｃ ｒｓ ｉ— ｈ ｎｅｋ过程作 了适 当修改 ，比较 ｅ ｅ 容易地得 出了定 价公式 。 １ 改进的布 朗运 动模型 布朗运动可 由如下方程描述：
ｆ Ｘ，ｃＸ ｄ ， ￣ ｄ ＝ ｒ ｔＢ ＋ Ｘ，ｔ ｄ ‘ ｏ－ Ｘ －ｏ ｘ
其中ｔ 为时 间 ， 为漂移率 ， 叮为波动率 ，ｔ Ｂ 为 布朗运动． 假设 ｔ ， ＞ｔ ０ 时刻微粒处于位置 ｘ 的转移概 率为 ：
．
（ ｔ） ｘ ．２ －ｕ
ｆ ；＝ （ｔ ｘ）
。 余 星 ， 杨 娟ｚ源自 （． １ 湖南人文科技学院 数学系 ， 湖南 娄底 ４ ７ ０ ；． ３ ００ ２遵义师范学 院 数学系 ， 贵州 遵义 ５ ３０ ） ６ ０ ２
摘 要： 讨论 了股 票价格遵循 Ｏ ｔｉ— ｈｅｂ ｃ ｍｓ ｎ Ｕ ｌ ｅｋ过程的欧式期权的定价 问题 ， Ｏ ｔｎ ＵＩ ｎ ｅｋ ｅ ｎ 将 ｍｓ ｉ— Ｉｅｂｃ 过程作 了适 当 ｅ ｌ
（） １
则股票价格基于布郎运动的期权在 ｔ 时刻的价 格为：
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由于市场 无套 利， 有： 于是
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（ ２ ）
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ｆ ， —＝Ｉ （ｔ ｘ） ＝ ＿ ＝一ｅｘ （ 啪 ＿｛ ｛卜伽’ ＿
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第 １ 卷第 ４期 Ｏ ２ ｏ 年 ８月 ０８
遵 义 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｕ ｙ ｒ ｌ ｏｌｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｎ ｉＮｏｍａ Ｃ ｌ ｅ Ｚ ｅ
Ｖｏ ．０， ． １１ Ｎｏ４
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基 于 Ｏｒｓｅｎ Ｕｈｅ ｂ ｃ ｎ ｔｉ— ｌｎ ｅ ｋ过 程 的 欧式 期 权 的定 价