成都市第七中学数学高二下期中经典练习题(含答案)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与
b 的夹角的余弦值为（ ）
A ．
22
B ．
23
C ．
28
D ．
24
2．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间
[],m n 上（ ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．可以取到最大值A
D ．可以取到最小值A -
3．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则
ABC ∆的形状一定是（ ）
A ．等边三角形
B ．不含60°的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
4．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向右平移
6π
个单位长度 D ．向左平移
6
π
个单位长度 5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34
π
α+=sin 2α=（ ）
A ．
12
B 3
C ．12
-
D ．3 6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3sin 5α=，则tan
( ) A ．
3
4
B ．34-
C ．
43 D ．43
-
7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2
cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->
⎪⎝
⎭在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1
B ．
65
C ．
43 D ．3
2
8．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫
⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭
，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
9．(0分)[ID ：13573]已知1
sin cos 2
αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．
72
B ．72
-
C ．72
±
D ．12
±
10．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A ．8
9
-
B ．
89
C ．
79
D ．79
-
11．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，π
φ2
<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将()f x 的图象上所有点( )
A ．向右平移π
12
个单位长度 B ．向左平移π
12
个单位长度 C ．向右平移
π
6
个单位长度 D ．向左平移
π
6
个单位长度 12．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角
23
π
，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）
A ．3
B ．3-
C ．-2
D ．2
13．(0分)[ID ：13538]3
cos()45x π
-=，那么sin 2x =（ ） A ．
1825
B ．2425
±
C ．725
-
D ．
725
14．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且
2EC AE =，则向量EM =（）
A ．1123AC A
B + B ．11
62
AC AB + C ．
1126
AC AB + D ．
1263
AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=
D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =
二、填空题
16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．
17．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若
tan 210tan A c
B b
+
+=，则A =____________. 18．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则
APC ∆与ABC ∆的面积比为___________
19．(0分)[ID ：13693]已知
()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的
夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23
π
θ-=
，求sin
2
αβ
-=_______.
20．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形．
21．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 22．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3
ABC π
∠=
，BO BA BC λμ=+，则
λμ+的最大值为________
23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________
24．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平
行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),
(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则
x =______．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13790]已知点()0,2A 、()4,4B 、12OM t OA t OB =+. （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；
（2）若14cos t θ=，2sin t θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；
（3）若2
2t a =，求当OM AB ⊥，且ABM ∆的面积为12时，a 和2t 的值.
27．(0分)[ID ：13789]已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =， （1）若25c =，且//a c ，求c 的坐标； （2）若5
2
b =
，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的余弦值. 28．(0分)[ID ：13774]已知向量a →
(1=，2)，b →
(3=-，4)． （1）求a b +与a b -的夹角；
（2）若a →
(⊥a b λ→→
+)，求实数λ的值．
29．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=，边,AB AD 的长分别为
2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，
（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足
BM CN BC
CD
=
，求AM AN ⋅的取值范围.
30．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24
f x x x π=
-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02
B
f =，B 为锐角，1b =，
2c =，求ABC ∆的面积．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．B
5．A
6．A
7．C
8．A
9．A
10．C
11．A
12．C
13．C
14．B
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合
18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以
19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题
20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式
21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公
22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所
23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
25．0或-
3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
1cos ,22
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意计算出当[]
,x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】
函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[]
,m n 上是增函数，且()f m A =-，
()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤
+∈-++∈⎢⎥⎣⎦
，
而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
上先增后减，
所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[]
,m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推
理能力，属于中等题.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】
由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，
即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】
本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】
根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象，可得A ＝1， 1274123
w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π
）．
故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12
π
个单位长度，可得y ＝sin （2x +
6π+3
π
）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和
最小值m ，则A ＝
2M m -，b ＝2
M m
+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
ω
；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)
或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝
2
π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π
. 5．A
解析：A 【解析】 【分析】
将问题中的角2α看作未知角，条件中的角
4
απ
+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242
ππ
αα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】
因为sin 42πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
， 又因为2(
)24
2
π
π
αα+-=
，所以22(
)4
2
π
π
αα=+-
，则有
2sin 2sin 2()4
2 sin 2()24 cos 2()4
12sin ()41
2
π
πααππαπ
απα⎡⎤=+-⎢⎥
⎣⎦⎡⎤
=--+⎢⎥
⎣⎦
=-+⎡⎤
=--+⎢⎥
⎣⎦
=
故选A. 【点睛】
本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.
6．A
解析：A
【解析】 【分析】
由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】
4cos 5α==-
sin 353
tan()tan cos 544
απααα⎛⎫-=-=-
=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，所以求3
x π
ω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.
【详解】
()
cos 1cos 2f x x x πωω⎫
⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭
cos x x ωω=
2cos 3x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
22T π∴
≥ ,即2
ππω≥ 02ω∴<≤ ，
当[0,
]2
x π
∈时，
[,]3323
x π
πω
π
ωπ+
∈+， ∴ [,][0,]323
πω
π
ππ+⊆
∴ 23ω
π
ππ+≤，
403
ω∴<≤ ， 综上可知403
ω<≤
. 故选C
【点睛】 本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，
()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||
AB AC AB AC +的方向
与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】
||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||
AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()
||||
AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致
∴一定通过ABC ∆的内心
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
9．A
【解析】
【分析】
根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．
【详解】 ∵12
sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=
, ∴3sin cos 08αα=
>， ∴02
πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，
∴sin cos 0αα+>，
∴sin cos 2
αα+=
=== 故选A ．
【点睛】
解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 10．C
解析：C
【解析】
【分析】 根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】
1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝
⎭ 本题正确选项：C
【点睛】
本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.
解析：A
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<
）的图象， 可得A 1=，12π7ππ4ω123
⋅=-，ω2∴=． 再利用五点法作图可得π2φπ3⋅
+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象， 只需将()f x 的图象上所有点向右平移
π12
个单位长度，即可， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 12．C
解析：C
【解析】
【分析】 求得22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】
因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a a b π=+=， 所以22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，
即为2224444412a a b b b b
+⋅+=-+=,
解得2(1b =-舍去），
则2a b ⋅=-，故选C.
本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）2
2a a =. 13．C
解析：C
【解析】
【分析】
由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224
x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 14．B 解析：B 【解析】 由题意结合向量的加法法则可得：
213221()32
211322
11.62EM EC CM
AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=
+=++=-+=+ 本题选择B 选项.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
15．D
解析：D
【解析】
根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．
【详解】
对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题；
对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；
对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；
对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；
故选：D ．
【点睛】
本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．
二、填空题
16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量
解析：16-
【解析】
【分析】
取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.
【详解】
如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：
因为O 为ABC ∆的外心
所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅
cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅
221122
AC AB =- 218=-
16=-，
即16AO BC ⋅=-，
故答案为：16-.
【点睛】 本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.
17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合 解析：23
π. 【解析】
【分析】
利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后
可得
120cos A +=，解出A 即可. 【详解】 由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B +
+=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B C A B B ++=， 通分得到()
sin 2sin 0cos sin sin A B C A B B
++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以
sin 0sin C B ≠，故120cos A +=即1cos 2A =-. 因为()0,A π∈，故23
A π=
，填23π. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以
解析：13
【解析】
∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=
2()PA PB PC PB PA ++=-，
即30PA BC +=，
即3PA CB =，
∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，
如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，
12APC S
AP AC sin θ=⋅， 12
ABC S BC AC sin θ=⋅， 所以1.3APC ABC S S =
19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题
解析：12
- 【解析】
【分析】
由(0,)απ∈，可得
2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12
αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2
αβ-的值． 【详解】 (0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．
1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，
11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=
====⋅+， 12α
θ∴=．
(,2)βππ∈，∴
(22βπ∈，)π， ∴(0,)22βπ
π
-∈．
1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=
21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，
222β
π
θ∴=-，
123πθθ-=
，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-， 1sin sin()262
αβ
π-=-=-． 故答案为：12-
． 【点睛】
本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式 解析：等腰
【解析】
【分析】
利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.
【详解】
因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，
即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=，
即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，
因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰.
【点睛】
本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.
21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公 解析：13
【解析】
【分析】
本题首先可根据cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及
sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果． 【详解】
因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44
sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝
⎭． 【点睛】
本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα
=
以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题． 22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23
【解析】
【分析】
以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.
【详解】
设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π
∠=，所以23
AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，，(),B x y ， 则()1,BA x y =--
，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭
，()y BO x =--，
， 因为BO BA BC λμ=+，所以(
)1122x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
，
解得121321x y λμλμμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩
， 因为B 在圆22
1x y +=上，
所以221322111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()2
2213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2
2132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 所以()()21210433
λμλμ+-++≥， 解得23
λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤
， 故23
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
解析：25
- 【解析】
【分析】
直接利用投影公式得到答案. 【详解】
(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：
8122
105
a b b
⋅-=
=- 故答案为：2
5
- 【点睛】
本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.
24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】
求得,AB
AC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】
依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x =
=cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=
⋅=
，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,1
5AB AC AB AC x =-=
-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题
解析：0或-3
【解析】 【分析】
根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】
由题意，向量(,1),
(2,1),a x b x x x R ==-+∈，
因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题 26．
（1）()(),11,0-∞--；（2
）,55⎡-⎢⎣⎦
；（3
）5a =±，22
5t =.
【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；
（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质可求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；
（3）根据OM AB ⊥，转化为0OM AB ⋅=，结合ABM ∆的面积列出方程组，可求出a 与2t 的值. 【详解】
（1）点()0,2A 、()4,4B ，()122124,24OM t OA t OB t t t =+=+，
若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240
440t t <⎧⎨+≠⎩
，解得20t <且21t ≠-.
因此，实数2t 的取值范围是()
(),11,0-∞--；
（2）()4,2AB =，()2124,24OM t t t =+，
OM ∴在AB
方向上的投影为
4cos ,
OM AB OM OM AB AB
⋅⋅=
=
=
θϕ+=
=
，锐角ϕ满足cos 13ϕ=，sin 13ϕ=.
因此，OM 在AB
方向上投影的取值范围是⎡⎢⎣
⎦； （3）()2124,24OM t t t =+，124240OM AB t t ⋅=+=，且22t a =，2
16t a ∴=-，
()224,8OM a a =-，
点M 到直线:240AB x y -+=
的距离为2d =，且25AB =
ABM ∆
的面积为22112041222ABM
S AB d a ∆=⋅=⨯
=+=， 解得a =2
225t a ==.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、向量投影的计算以及三角形的面积问题，同时也涉及了三角恒等变换思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
27．
（1）(2,4)c =或(2,4)c =--；（2）1- 【解析】 【分析】
（1）根据共线关系将c 用a 的形式表示，再根据模长完成坐标计算；（2）根据向量垂直关系得到数量积表达式，然后得到a b ⋅的结果，即可求解相应夹角. 【详解】 （1）
//a c ，∴设c a λ=，R λ∈，则||||||||c
a a λλ==，
即|145|λλ=+=，得||2λ=，得2λ=±. 当2λ=时，(2,4)c =；当2λ=-时，(2,4)c =--. （2）
(2)(2)a b a b +⊥-，∴ (2)(2)0a b a b +⋅-=，即2
2
2320a a b b +⋅-=，即
5253204a b ⨯+⋅-⨯
=，得5
2
a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则52
cos 1||||
5
a b a b θ-
⋅=
==-⨯.
【点睛】
向量垂直的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120x x y y +=； 向量平行的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ，则12210x y x y -=.
28．
（1）
34π
； （2）1λ=-. 【解析】 【分析】
(1)先求a b +与a b -的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得()
0a a b λ⋅+=，解方程即得解. 【详解】
（1）∵(1a =，2)，(3b =-，4)， ∴(2a b +=-，6)，(4a b -=，2)-， ∴()()2642202
cos 24020
4020
a b a b -⋅--+-=
==-⨯⨯，
，，； 又∵()0,a b a b ，π+-∈，∴34
a b a b π+⋅-=； （2）当()
a a
b λ⊥+时，()
0a a b λ⋅+=，
∴()()1
213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
29．
（1）
15
4
;（2）[2,5] 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标， （1）根据坐标直接求出数量积； （2）通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，
则(2,0),(0,0)B A ，13(,
)22D ，53
(,22
C ， （1）因为,M N 分别是,BC C
D 上的中点，
93(,(,4422M N ∴，
933(,),(,4
42AM AN ∴=
=，
9327315
((42884
AM AN ∴⋅=⋅=+=；
（2）设
||||||||
BM CN BC CD
==,
[0,1]λλ∈， 52,,2,2222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪
⎪ ⎝
⎭⎝⎭
， 所以25222522AM AN λλλλ⎛⎛⋅=+⋅-=--+ ⎝
⎭⎝⎭， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，
2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，
所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]． 【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．
30．
(1) [,](
)4
4
k k k Z π
π
ππ-+
∈;(2)
2
. 【解析】
试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出
边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，
()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛
⎫++ ⎪
⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝
⎭； 因为222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，所以,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
即()f x 的单调递增区间为(),4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
（II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，所以1sin 2B =，
又B 为锐角，所以,cos 6
B B π
=
=
.
1b =，2c =，22221cos
22a B a +-==
⨯⨯a =
因此111sin 2222ABC S ac B ∆=
=⨯=
，所以ABC ∆。