(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取
值范围是（ ） A ．(4,2)--
B ．(2,0)-
C ．(2,4)-
D ．(0,2)
2．已知非零向量a →
，b →
夹角为45︒
，且2a =，2a b -=,则b →
等于（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．2
3．已知平面向量a 与b 的夹角为23
π
，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3
B ．4
C ．3
D ．2
4．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，
2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有
（ ）个．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．0
5．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )
A ．[0,222]+
B ．[0,2]
C ．[222,222]-+
D ．[222,2]-
6．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．
12
B ．1
C ．
32
D ．2
7．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*
()∈n E n N 为AC 边的一列
点，满足11
(32)4
n n n n n E A a E B a E D +=
-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）
A ．1321n -⋅-
B ．21n -
C ．32n -
D ．1231n -⋅-
8．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )
A ．62km/h
B ．8 km/h
C ．234km/h
D ．10 km/h
9．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则
::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）
A ．1:2:3
B ．2:3:1
C ．3:1:2
D ．3:2:1
10．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12
C ．
13 D ．
23
11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若
AD AB AC λμ=+，则
λ
μ
=（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．2
D ．
23
12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )
A ．12
B ．28log 5+
C ．5
D ．18
二、填空题
13．已知向量a ，b 及实数t 满足|(1)(1)|1t a t b ++-=，若22||||1a b -=，则t 的最大值是________．
14．已知平面向量a ，b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b +的夹角是θ，则θ最大时，a b -=_______.
15．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．
16．已知圆22:1O x y +=，A 点为圆上第一象限内的一个动点，将OA 逆时针旋转90°得
OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．
17．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a |x a b -⋅=0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是_____． 18．已知点()0,1A ，()3,2B
，向量()4,3AC =，则向量BC =______.
19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②231
43
OM OA OB =+；③33145=
+OM OA OB ；④448
99
=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）
20．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______.
三、解答题
21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23
BAC π
∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.
（1）求中线AD 的长；
（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.
22．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；
（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．
23．已知123PP P 三个顶点的坐标分别为
123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P P P ααββγγ，且1
230OP OP OP ++=（O 为坐标原点）．
（1）求12POP ∠的大小； （2）试判断123PP P 的形状．
24．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5
||b =
，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 25．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；
（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值. 26．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出
()
1B -
，)
1C
-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以x 10y -<<，计算3AP AB y ⋅=--得最值，即可求解.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系：
则()0,0A ，
因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303= ，2sin30
1，所以()
3,1B -- ，(
)
3,1C
-,
设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<
-<<，
()()
,3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--，
当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=， 当3,1x y =
=-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-，
所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点
(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 2．A
解析：A 【分析】
根据数量积的运算，2a b →→
-=两边平方即可求解. 【详解】
2a b →
→-=,=2a →
,a →，b
→夹角为45︒, 2
2
2
2
()24a b a b a a b b →
→→→
→→→
→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos
||44
b b π
→
→
∴-⨯+=,
解得：||22b →
= 故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.
3．A
解析：A 【解析】
分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23
π， 由2213a b -=，则2
2
2222444442cos
523
a b
a b a b b b π
-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2
120b b +-=，解得3b =，故选A.
点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．B
解析：B 【分析】
建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】
以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，
（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，
(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，
2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；
（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，
(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，
06,016y PE PF <≤∴⋅<，
∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),
06P x x <≤，
(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，
264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，
∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；
（4）若P 在BC 上，设(6,),
06P y y <<，
(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-，
22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，
06y <<，016PE PF ∴⋅<，
∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，
综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．
5．D
解析：D 【解析】
如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()
0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，
a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．
CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=.
故选D
6．A
解析：A 【解析】
由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为
1
2
．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．
7．D
解析：D 【分析】
以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193
331442
+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】
113
(32),44
+=
-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113
(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+-
113
(32)(32)44
n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE
113
(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE
113
(33)(32)44
+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA
因为n E ，A ，C 三点共线
113
(33)1(32)44
+-++=++∴n n n a a a ，
即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，
所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．
1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.
8．A
解析：A 【解析】
设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2
/v km h =水，
则船实际航行的速度
v v v =+静水，6
0.160t h =，由题意得100.1
AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为
x y v v v 静=+， ∴0.6
60.1
y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1
x x BC
v v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴22
62x y
v v v 静=
+=
设v v 静水＜，
＞＝θ，则tan 1y
x
v v θ==，∴2cos θ=．
此时2
2
2
272242410102
v v v v v v v +=+⋅+=+⨯
+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.
9．B
解析：B 【分析】
根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12
033
OA OB OC ++
=，设
12
,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AOD
AOE
DOE
S S
S
==，则
93,,23
2
AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆==
=求解. 【详解】
由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，
得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，
12
033
OA OB OC ∴++=，
设12,33
OB OD OC OE ==，
则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，
AOD
AOE
DOE
S
S
S
S ∴===，
则93,,23
2
AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆==
=， 93
::3::2:3:122
AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
根据题设条件求得1
3
BD BC =
，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126
AO AB BC =
+，得到11
,26λμ==，即可求解.
【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1
sin 212
BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以1
3
BD BC =
, 由向量的运算法则，可得1
3
AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111
226
AO AD AB BC =
=+，
因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23
λμ+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得11
26
AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．B
解析：B 【分析】
由向量的运算法则，化简得13
44
AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】
由向量的运算法则，
可得34=+=+AD AB BD AB BC 313
()444
AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13
,44
λμ==，从而求得13λμ=，
故选:B ． 【点睛】
该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a =，再根据等比中项的知识，可计算出
54a =，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b 则28820a a ⨯-⨯=，即2816a a =，
根据等比中项的知识，可得2
285
16a a a ==， 50a >，54a ∴=，
212229log log log a a a ∴++⋯+
2129log ()a a a =⋯
2192837465log [()()()()]a a a a a a a a a =
9
25log a =
29log 4=
18=．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据整理为再两边平方结合得到然后利用基本不等式求解【详解】因为所以两边平方得因为即所以而所以解得当且仅当时等号成立所以的最大值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由这一信息将转化为再遇
解析：14
【分析】
根据|(1)(1)|1t a t b ++-=，整理为()()
||1t a b a b ++-=，再两边平方结合
22||||1a b -=，得到()()
2
2
2
12t
a b a b t ++-=-，然后利用基本不等式求解.
【详解】
因为|(1)(1)|1t a t b ++-=，
所以(
)()
||1t a b a b ++-=，
两边平方得()()()()2
2
2
21t a b t a b a b a b +++-+-=， 因为2
2
||||1a b -=，即()()1a b a b +-=， 所以()()22
2
12t a b a b t ++-=-，
而()()()()22
2
22t a b a b t a b a b t ++-≥+⋅-=，
所以122t t -≥， 解得1
4
t ≤
，当且仅当()()
t a b a b +=-时等号成立， 所以t 的最大值是14
故答案为：14
【点睛】
关键点点睛：本题关键是由2
2
||||1a b -=这一信息，将|(1)(1)|1t a t b ++-=，转化为
()()
||1t a b a b ++-=，再遇模平方，利用基本不等式从而得解.
14．【分析】把表示为的函数利用函数的性质求出当最大时的值进而可求出的值【详解】设则所以易得当时取得最小值取得最大值此时故答案为：【点睛】本题考查平面向量的有关计算利用函数的思想求最值是一种常见思路属于中
【分析】
把cos θ表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|的值，进而可求出a b -的值. 【详解】 设()0b x x =>，
则()
2
2
·222b a b a b b x +=⋅+=+，
22
|2+|=448a b a a b b +⋅+=+，
所以(
)2·2cos 28b a b
b a b
x θ+=
=
++
易得cos 0θ>，
()()(
)
2
2
2
2
2
2
2
222211
cos 12
481
141122
2
263
x x x x x x θ+===
+⎛⎫-
++--+
⎪+++⎝⎭， 当24x =
时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时2
2
||=212a b a a b b --⋅+=-= 【点睛】
本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.属于中档题.
15．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10
【分析】
结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】
如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点.
依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=
所以45OA OB ⋅
=，即()()()()
2
2
2
2
24544
OA OB OA OB OD BA +---=
=
22
2
4416
4
4
OD BA
OD --=
=
，解得7OD =.
所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，
所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤
根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()
()
min
max
1
1
OA OC OA -≤≤+，
所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.
16．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2
【分析】
由题意可设(cos ,sin )A αα，02
π
α<<
，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量
积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围； 【详解】
由题意，设(cos ,sin )A αα，02
π
α<<
，则(sin ,cos )B αα-，即有
(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，
∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 12)1
4
PA PB π
ααααααα⋅=---+=-+=-+，而(,)444π
ππ
α-
∈-，即2
sin()(0,42
πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈， 故答案为：()0,2 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；
17．【分析】由关于的方程有两相等实根可得解得即可求出与的夹角【详解】∵已知|且关于的方程有两相等实根∴设向量与的夹角为则可解得则向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角考查方程的解的应用 解析：
23
π 【分析】
由关于x 的方程2
0x a b a x +-⋅=有两相等实根,可得240a a b ∆=+⋅=,解得
1
cos 2
θ=-,即可求出a 与b 的夹角
【详解】
∵已知|2a b =,0b ≠,且关于x 的方程2
0x a b a x +-⋅=有两相等实根,
∴240a a b ∆=+⋅=, 设向量a 与b 的夹角为θ, 则()
2
242cos 0b
b b θ∆=+⨯=,可解得1
cos 2
θ=-
0θπ≤≤,
则向量a 与b 的夹角θ为23
π 故答案为：23
π 【点睛】
本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用
18．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目
【分析】
根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】 因为()0,1A ，()3,2B
，所以()3,1AB =，
()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，
21BC ==
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.
19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解
解析：①②④ 【分析】
射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到
(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而
(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论
【详解】
解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，
且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且
(1)1rt r t r +-=≥．
又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得3
1
3,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139
,1213
r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,15
2019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,41
33
r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．
20．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题
解析：1
2
-
【分析】
由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】
解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，
所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，
()()()22,321,24,1a b -=--=-，
由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=． 解得12
m =-
． 故答案为：12
-． 【点睛】
本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
三、解答题
21．（1）2
；（2）19. 【分析】
（1）由于()
1
2
AD AB AC =
+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-
+，()
1
2
AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278
BM AD ⋅=，故
57cos 19BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】
解:（1）由已知，236cos 93
AB AC π
⋅=⨯=-， 又()
1
2
AD AB AC =
+， 所以()
2
22124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644
=-+=， 所以332
AD =
. （2）由（1）知，()
131
444
BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+， 所以()2
93117199361681616BM =
⨯-⨯-+⨯=，从而319
4
BM =. ()
311
442
BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，
所以27cos
819
BM AD BM AD
θ⋅=
=
=. 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，
则()0,0A ，()3,0B ，(C -，
因为D 为边BC 的中点，所以0,2D ⎛ ⎝⎭，
AD ⎛= ⎝
⎭，所以33AD =
（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，M ⎛ ⎝⎭
，
所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以9164
BM ==
，278BM AD ⋅=，
所以27cos
819
BM AD BM AD
θ⋅==
=. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()
1
2
AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算. 22．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫
⎪⎝
⎭． 【分析】
（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.
（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】
（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC ∴()2430x +-= ∴5
2
x =
． （2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ== ∴()26,53MA OA OM λλ=-=--
()36,13MB OB OM λλ=-=--
∵MA MB ⊥
∴()()()()263653130λλλλ--+--= 即：24548110λλ-+= 解得：1
3λ=
或1115
λ=
. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫
⎪⎝
⎭． 【点睛】
本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题. 23．（1）1223
POP π
∠=；（2）123PP P 是等边三角形． 【分析】
（1）根据1231OP OP OP ===和1
230OP OP OP ++=可得121
2
OP OP ⋅=-，从而可求12POP ∠的大小.
（2）结合（1）可求得231321||||||3PP P P PP ===， 从而可得123PP P 是等边三角形. 【详解】
解：（1）题意知1231OP OP OP === ∵123OP OP OP +=-， ∴()
2
2
12
3OP OP OP +=
∴2
2
2
121232OP OP OP OP OP +⋅+= ∴1221OP OP ⋅=-，即121
2
OP OP ⋅=-， ∴12
1212
1cos 2OP OP POP OP OP ⋅∠=
=-⋅，
∴[]120,POP π∠∈，∴1223
POP π
∠=． （2）∵1221PP OP OP =-， ∴2
2
122122121||()23PP OP OP OP OP OP OP =
-=-⋅+=
同理：1323||||3PP P P == ∴
123PP P 是等边三角形．
【点睛】
本题考查向量的夹角的计算以及三角形形状的判断，注意根据各向量的模长相等且为1对向量等式平方，从而得到夹角的大小，本题属于中档题. 24．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】
（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得5
2
a b ⋅=-
，再利用夹角公式计算即可.
【详解】
（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，
222020
x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；
（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，
即2252320,253204
a a
b b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52
a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.
【点睛】
本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 25．（1）53
-
；（2）12-. 【分析】
（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；
（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.
【详解】
（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+， ()27,4a b -=-，
所以()20n a b ⊥-=，
即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=，
解得53
k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，
因为()//n kb c +，
所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+，
解得12
k =-
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
26．（1）22142x y +=，2
e =；（2）存在，7x ＝0或7x ﹣
【分析】
（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；
（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．
【详解】
（1）由22142x y +=，得2,a b ==c ==2
c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，
可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47
， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m
-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②
将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22
942m m -+，
消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7
m =±，
故存在这样的直线l ，且方程为7x y 0或7x y ﹣0．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。