(好题)高中数学选修二第一单元《数列》检测卷(含答案解析)(2)

一、选择题
1．设数列{}n a 满足11a =，()
*
112
n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()
*
2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N B ．()
*
2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N C ．(
)
*1
112n n a n -=-
∈N
D ．()
*
122
n n a n =-
∈N 2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1
111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111
n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．在数列{}n a 中，11a =，且11n
n n
a a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．
2
1
1n n -+ B ．2
1
2
n n -+
C ．2
2
1
n n -+
D ．2
2
2
n n -+
4．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取
值范围是（ ）
A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
5．已知数列{}n a 满足112a =，121
n n a a n n +=++，则n a =（ ）
A ．
312n
- B ．3
21
n -
+ C ．111
n -
+ D ．
312n
+ 6．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0
D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0
8．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥
B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129
S
S =（ ） A ．
4
3
B ．
53
C ．2
D ．3
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则6
6
(S a = ) A ．
6332
B ．
3116
C ．
123
64
D ．
127
128
11．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232n
n S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12
n n n a S n N n
++=∈，则n a =（ ） A ．()1
12
n n -+
B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅
二、填空题
13．若数列{}n a 满足，111n
n n
a a a ++=
-，12a =，则数列{}n a 前2022项的积等于________. 14．已知正项数列{}n a 中，2
1129
n n a a +=
+，若对于一切的*n N ∈都有1n n a a +>成立，则1a 的取值范围是________.
15．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形
IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是
___________2cm .
16．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*11
22
n n n S a a n =
+∈N .则数列{}n a 的通
项公式为________.
17．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式
n a =__________．
18．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且675S S S >>，给出以下结论：①0d <；②110S >；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确的有______.（写出所有正确结论的序号）
19．数列{}n a 满足()211122,3,
1
n n n
n n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则
7a =________.
20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足4
43210q a a a ++++=，则首项1a 的
取值范围是________.
参考答案
三、解答题
21．设数列{}n a 满足12a =，12n
n n a a +-=；数列{}n b 前n 项和为n S ，且
()21
32
n S n n =
-． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
22n n n S a +=-，*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n b a a n +=
-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .求证：43n T <，*n N ∈.
23．若数列{}n a ，12,a =且132n n a a +=+. （1）证明{}1n a +是等比数列； （2）设()
1
31n n n a b n n +=
⋅+，n T 是其前n 项和，求n T .
24．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2
n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：121
1
3
b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.
25．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()
1
1n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
1n n S a An Bn +=++．且11a =，232
a =
． （1）求证：数列{}1n a n -+是等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n b a n =
-+，求数列()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪
⎨⎬++⎪⎪⎩
⎭的前n 项和n T ，若对任意n 都有
n T m >，求实数m 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用累加法可求得结果. 【详解】
112n n n
a a +-=
， 所以当2n ≥时，111
2n n n a a ---=
，1221
2n n n a a ----=
，
，211
1
2a a -=
， 将上式累加得：1121111
222
n n a a --=++⋅⋅⋅+，
1
1112211
12
n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦-=
-1
112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，
1122n n a -∴=-
1212n
⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
2．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得
2143n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以
21
14(1)43n
n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4n
b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
3．D
【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212
2
n n n a -+=，进而求出n a .
【详解】 解：
11n
n n
a a na +=
+， ()11n n n a na a ++=∴，
化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：
111
n n
n a a +-=， 即
21
11
1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --
=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：
213243111111+a a a a a a --+-+ (111)
123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)
2
n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又
1
1
1a =也满足上式， 212()2
n n n n z a -+∴=∈， 2
2
()2
n a n z n n ∴=
∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.
4．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用
数列单调性即可求出.
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 5．A
解析：A 【分析】
利用已知条件得到12
111
1
n n a a n n n n +-==-++，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】 由121n n a a n n +=++得：12111
1
n n
a a n n n n +-==-++， 即111
1n n a a n n
--=
--， 所以()(
)
()
121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-
111111*********n n n
=
+-+-++
-=--. 故选：A . 【点睛】
方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
型如：()1n n a a f n +-=的数列的递推公式，采用累加法求通项；
形如：()1
n n
a f n a +=的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 形如：1
n n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，通过构造转化为
()1n n a t p a t +-=-，构造数列{}n a t -是以1a t -为首项，p 为公比的等比数列，
形如：1n
n n a pa q +=+ ()()
10pq p -≠的递推公式，两边同时除以1n q +，转化为
1n n b mb t +=+的形式求通项公式；
形如：
1
1
n n n n a a d a a ++=-，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 6．B
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 7．A
解析：A 【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，
202112021(1)01a q S q
-=>-，
因为2021
1q
-与1q -同号，
所以10a >，
所以2
131(1)0a a a q +=+>，
当1q =时，
2021120210S a =>，
所以10a >，
所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】
易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.
8．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+
n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n
n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
9．B
解析：B 【分析】
由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出12
9
S S 的值 【详解】
∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，
6
3
S S =3， ∴
1165
623232a d a d
⨯+
=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴
11219111211
1212665298936392
a d
S a d S a d a d ⨯+
+===⨯++． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．
10．A
解析：A 【分析】
利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，
1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，
化为：12n n a a -=．
∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．
5
6232a ∴==，6621
6321
S -==-．
则
666332
S a =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
11．C
【分析】
分别求出等比数列的前三项，利用等比数列的性质能求出入的值. 【详解】
∵等比数列{}n a 的前n 项和()232n
n S λλ=+-⋅（λ为常数），
∴()1123246a S λλλ==+-⨯=-，
()()222123223226a S S λλλλλ=-=+-⋅-+-⋅=-⎡⎤⎣⎦
()()32
332232232412a S S λλλλλ⎡⎤=-=+-⋅-+-⋅=-⎣⎦，
123,,a a a 成等比数列，
∴()()()2
2646412λλλ-=--，
解得1λ=或3λ= ∵
3λ=时，2n S λ=是常数，不成立，故舍去3λ=.
1λ∴=
故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质等基础知识，求和公式与通项的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】 解：∵()*12
n n n a S n N n
++=∈，∴
12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，11
1
n n n a S n --=+，② ①－②有
11
21n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221
n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时211132
61a S a =+==，故21232
a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫
⎨⎬
+⎩⎭
是以112a =为首项，以2为公比的等比数列， ∴
121
n n
a n -=+，故()112n n a n -=+⋅.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】推导出数列是以为周期的周期数列且有再由递推公式求得由此可求得数列前项的积【详解】则所以则所以数列是以为周期的周期数列且所以的前项的积为故答案为：【点睛】关键点点睛：解本题的关键在利用数列的递 解析：6-
【分析】
推导出数列{}n a 是以4为周期的周期数列，且有1231n n n n a a a a +++=，再由递推公式求得
23a =-，由此可求得数列{}n a 前2022项的积.
【详解】
111n n n a a a ++=
-，则1
2
1
111111111n
n n n n n n n a a a a a a a a +++++
+-===-+--
-，所以，
42
11
1n n n n
a a a a ++=-
=-
=-， 12a =，则121112
3112
a a a ++=
==---， 所以，数列{}n a 是以4为周期的周期数列， 且12311111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++⎛
⎫⎛⎫=⋅⋅-
⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以，{}n a 的前2022项的积为()50512342022121236a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=⨯-=-.
故答案为：6-. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在利用数列的递推公式推导出数列的周期性，一般涉及到数列项数较大的问题时，常利用数列的周期性来求解.
14．【分析】根据列出关于的不等式求解出的取值范围从而的取值范围可确定出【详解】因为所以解得满足所以即故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围由此可确定出的取值范围 解析：()3,6
【分析】
根据1n n a a +>列出关于n a 的不等式，求解出n a 的取值范围，从而1a 的取值范围可确定出. 【详解】 因为2
1129
n n n a a a +=
+<，所以29180n n a a -+<，解得36n a <<，满足0n a >， 所以136a <<，即()13,6a ∈， 故答案为：()3,6. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过1,n n a a +之间的不等关系求解出n a 的取值范围，由此可确定出1a 的取值范围.
15．【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方也为等比数列利用等比数列求和公式即可得解【详解】记第个正方形的边长为面积由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到可知第个正方形的边 解析：
25575
512
【分析】
根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】
记第n 个正方形的边长为2a ，面积()2
224n S a a ==，由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第1n +
，面积)
2
212n S a +=
=，计
算可得2
12422n n S a S a
+==， 所以正方形面积构成的数列{}n S 是首项为125S =，公比为1
2
的等比数列， 故从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和
10112010125112557525011251212
S S S ⎛
⎫- ⎪
⎛
⎫⎝⎭++⋯+==⨯-=
⎪⎝⎭-， 故答案为：25575
512
【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列求和，解题的关键是要理解题意，从已知条件明确下一个正方形与上个正方形的面积关系，转化为等比数列求和，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.
16．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列
的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为： 解析：n a n =
【分析】 令1n =，由()2*1122n n n S a a n =
+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122
n n n S a a n =+∈N ，()2*11111
22n n n S a a n ---=
+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由题意可得：当1n =时，2111111
22a S a a ==
+，所以11a =， 当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*
1122
n n n S a a n =+∈N ，所以
()2*
1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221
111112222
n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.
17．【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5可得求解【详解】第一图点数是1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：【点睛】本题考查由数列的前几项求通项公式数列的前几项求通项公式的思路方法： 解析：54n -
【分析】
观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。

【详解】
第一图点数是1；第二图点数6=1+5 ;第三图是11=1+25 ；第四图是16=1+35 则第n 个图点数=1+(n-1)554n a n
故答案为：54n - 【点睛】
本题考查由数列的前几项求通项公式.
数列的前几项求通项公式的思路方法：给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，注意代值检验．
18．①②③⑤【分析】由可得即可判断①⑤；可判断②；可判断③；由可判断④【详解】由可得故公差且①⑤正确；故②正确；故③正确；因所以数列中的最大项为故④错误故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查等差数列的性质涉
解析：①②③⑤ 【分析】
由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>即可判断①⑤；11611S a =可判断②；61276()a S a =+可判断③；由12670a a a a >>>>>>
可判断④.
【详解】
由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>，故公差0d <，且67a a >，①⑤正确；
11116111()1102a a S a =
+=>，故②正确；112261712
()6()02
a S a a a =+=+>，故③正确；
因12670a a a a >>>>>>
，所以数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一道中档题.
19．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析：63
【分析】
由等式2
11121
n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()2
11111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法
可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】
()()()2
2
2
11111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()2
11111
n
n n a a a +-++=+， ()()()2
11111n n n a a a +-∴++=+，
由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为
321
21
a a +=+，
()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.
故答案为：63. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉
解析：[)2,2,3⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
【分析】
利用等比数列通项公式可整理已知等式得到2
1121
1
q q a q q
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到
11
11
a t t =-++
+，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】
由4
43210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，
2
2
42132
11211111q q q q q a q q q q q q q
⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1
,22,t q q
=+
∈-∞-+∞，则
()()2
2112112
11111
t t t a t t t t +-+--=-=-
=-+++++， 1
11t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；
111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，112
2133
a ∴≤-++=-；
综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦.
故答案为：[)2,2,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为
关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.
三、解答题
21．（1）()
*2n n a n N =∈，()*32n b n n N =-∈；（2）()110352n n T n +=+-⋅．
【分析】
（1）由12n
n n a a +-=，得到()1
12
2n n n a a n ---=≥，再利用累加法求解；根据
()2
132n S n n =-，利用通项和前n 项的的关系11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.
（2）由（1）得()322n
n n n c a b n ==⋅-，然后利用错位相减法求和.
【详解】 （1）
12n n n a a +-=，
()1122n n n a a n --∴-=≥， ()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
122222n n --=++
++
()()121222212
n n n --=
+=≥-，
又12a =满足上式，()
*
2n n a n N ∴=∈．
数列{}n b 中()21
32
n S n n =
-， ∴当2n ≥时，()()()2
211133113222n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=
-----=-⎣
⎦， 又当1n =时，111b S ==，满足上式．
()*32n b n n ∴=-∈N ．
（2）由（1）得()322n
n n n c a b n ==⋅-，
()()211242352322n n n T n n -∴=⨯+⨯+
+-⋅+-⋅①，
()()23121242352322n n n T n n +∴=⨯+⨯+
+-⋅+-⋅②，
①-②得
()()23123222322n n n T n +-=+++
+--⋅
()()2112122332212
n n n -+-=+⨯
--⋅-
()110532n n +=-+-⋅，
()110352n n T n +∴=+-⋅．
【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
22．（1）(1)2n
n a n =+，*N n ∈；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由1
22n n n S a +=-，推得
11122n n n n a a ---=，得出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
表示首项为2，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式； （2）由题意，求得122n
n n
b =-
，根据111122222n
n n n --⎛⎫->- ⎪⎝⎭
，得到1111
(2)2n n n b b -<⋅≥，进而证得1243n T b <=，再由1n =时，得到143
T <，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，当1n =时，可得1124S a =-，解得14a =， 又由1
22
n n n S a +=-，
当2n ≥时，1122n
n n S a --=-，
两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122n
n n a a --=，可得1
1122
n n n
n a a ---=， 又由
1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
表示首项为2，公差为1的等差数列，
所以
2(1)12
n
n a n n =+-=+，所以*(1)2,n n a n n N =+∈. （2）由11n n n n b a a n +=
-+122
n n =-，12111n n T b b b =++⋅⋅⋅+. 因为11
1111122222222n
n n n n n --+-⎛⎫⎛⎫-
=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即12n n b b ->， 所以
1
111(2)2n n n b b -<⋅≥. 当2n ≥时，12112-11111111111122
n n n n T T b b b b b b b b ⎛⎫=++⋯+<+++⋅⋅⋅+<+ ⎪⎝⎭， 可得1243
n T b <
=. 当1n =时，1112433
T b ==<. 综上可得，43
n T <. 【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一定要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 23．（1）证明见解析；（2）1
n n T n =+． 【分析】
（1）已知等式变形为113(1)n n a a ++=+，再计算出1130a +=≠，可证结论； （2）由（1）求出1n a +后可得n b ，然后用裂项相消法求和． 【详解】
（1）∵132n n a a +=+，∴113(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠， ∴{1}n a +是等比数列，公比为3，首项为3．
（2）由（1）13n
n a +=，∴311
3(1)1
n n n b n n n n ==-⋅++，
∴11111111223111
n n T n n n n =-+-++-=-=+++． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 24．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，113
n n b -=． 【分析】
（1）利用等比数列的定义证明；
（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ． 【详解】
（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=-，又212
03
b b -=-≠， 所以
2111
3
n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列；
（2）2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
又111a S ==适合上式， 所以21,*n a n n N =-∈，
由（1）1
12133n n n b b -+⎛⎫
-=-⨯ ⎪
⎝⎭
，
所以，2n ≥时，
2
121321221
21()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+
+-=+-+-⨯+
+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
121133111313
n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-
．又11b =，所以113n n b -=． 【点睛】
易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由
n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在
用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+
+-，括号中的各项成
等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项．
25．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=
-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】
（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.
（2）首先求出()
13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可. 【详解】
（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，
两式相减得()132n n a a n +=≥，
当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =，
∴1n ≥时都有13n n a a +=，
∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．
（2）解：()
()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()
122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()
()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，
∴()()()131********n n n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭
∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
方法点睛：
本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：
公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；
分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；
裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；
错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.
26．（1）证明见解析；1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
；（2）16
m <． 【分析】 (1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；
(2)利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的
范围．
【详解】
解：分别令12n =、，代入条件，得121212421a A B a a A B =++⎧⎨
+=++⎩ 又11a =，232
a =，解得12A =，12B =． ∴211122
n n a S n n +=++， 2n ≥时，21111(1)(1)122
n n a S n n --+=-+-+， ∴1112(21)22
n n a a n n --=-+=， ∴12n n a a n -=-，∵11110a -+=≠， ∴1111(1)12222
n n n n a n a n a n a n --+-+==--+-+（常数）． ∴{}1n a n -+为等比数列且首项为1，公比为12
， ∴1112n n a n -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，∴1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （2）1211
n n n b a n --+== ∴()()()()11112111121212121n n n n n n n n b b b ---+==-++++++ ∴0112231111111112121212121212121n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11221
n =-+ 又∵n T 在*n N ∈递增， ∴1n =时，()111236n min T =
-=． ∴16
m <
． 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．。