山东省济宁市微山高二上学期期末考试理科数学试卷 有答案

山东省济宁市微山2013年高二上学期期末考试数学（理）试卷
注意事项：
1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，第I 卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分
l50分．考试时间为120分钟．
2．答第I 卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填写清楚，并用2B 铅笔涂写在答题卡上，将
第I 卷选择题的答案涂在答题卡上．
3．答第Ⅱ卷时须将答题纸密封线内的项目填写清楚，第Ⅱ卷的答案用中性笔直接答在答题纸指定的位
置上．考试结束后，只收答题卡和第Ⅱ卷答题纸．
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.命题“x ∃∈R ，3210x x -+>”的否定是
A ．x ∀∈R ，3210x x -+≤
B ．x ∀∈R ，3210x x -+>
C ．x ∃∈R ，3210x x -+≤
D ．x ∃∈R ，3210x x -+< 2.抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则a 的值为
A ．18
B ．1
8
- C ． 8 D ．8-
3.不等式0652≤+--x x 的解集为
A ．}16|{-≤≥x x x 或
B ．}32|{≥≤x x x 或
C ．}16|{≤≤-x x
D ．}16|{≥-≤x x x 或 4.ABC ∆中，三边,,a b c 满足bc a c b 2222-=-+，则角A 等于 A ．6π B ．43π C ．2π D ．4
π
5.已知等比数列{}n a 中，131,a a 是方程0182=+-x x 的两个根，则7a 等于 A.1 或 1- B.1- C. 1 D. 2
6.“1x >”是“2x x >”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.在等差数列}{n a 中，已知1475=+a a ，则该数列前11项和=11S
A ．196
B ．132
C ．88
D ．77
8. 过点(2,2)P -且与2
212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是
A ．14222=-x y
B ．1242
2=-y x C ．12
42
2=-x y D ．14
22
2=-y x 9.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，12sin 13β=-，β是第三象限角，则cos()βα-值为
A ． 3365-
B ． 6365
C ． 5665
D ．1665
-
10.矩形两边长分别为a 、b ，且26a b +=，则矩形面积的最大值是 A. 4 B.
2
9
D. 2
11.已知变量,x y 满足20
2300x y x y x -⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≥，则2x y +的最大值为
A.12
B.8
C.16
D.64
12.已知双曲线22
2=14x y b
-的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的
距离等于
A
B
．．3 D ． 5
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共l6分．
13.在数列{}n a 中，12,a = 1221n n a a +=+，则101a 的值为____▲____．
14.若3
1
sin =α，则=-)2πcos(α ▲ ．
15. 若对于一切正实数x 不等式2
42x a x
+>恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 16.AB 是过抛物线x y 42=焦点的一条弦，已知20=AB ，则直线AB 的
方程为___________▲_________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)
ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且3=a ，60C =, ABC △的面积等于2
3
3,求边长b 和c .
18.（本小题满分12分）
已知命题p ：关于x 的不等式01)1(2≤+-+x a x 的解集为空集φ；命题q ：函数1)(2++=ax ax x f 没有零点.若命题q p ∧为假命题，q p ∨为真命题， 求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知向量(sin cos )m A A →
=，，1)n →
=-，m n m ⊥-)(, 且A 为锐角． (Ⅰ) 求角A 的大小；
(Ⅱ) 求函数()cos24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域．
20.（本题小满分12分）
现有一批货物用轮船从上海运往青岛，已知该轮船航行的最大速度为45海里/时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元.
（1） 请把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/时）的函数. （2） 为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21.(本小题满分13分)
已知各项均为正数的数列{}n a ，满足221120n n n n a a a a ++--= （*
∈N n ）
，且21=a . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n a a b 2
1log ∙=,若n b 的前n 项和为n S ，求n S ;
（3）在（2）的条件下，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.
22．(本小题满分13分)
已知：定点(1,0),A -点B 是⊙22:(1)12F x y -+=(F 为圆心)上的动点，线段AB 的垂直平分线交
BF 于点G ,记点G 的轨迹为曲线.E
（1）求曲线E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与曲线E 交于P 、Q 两点. 在x 轴上是否存在一点M ，使得MP MQ ⋅恒为
常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
数学（理）参考答案
二．填空题
（13）52 （14）
7
9
-（15）
(,
-∞（16）210
x y
+-=或210
x y
--=三．解答题
17．(本小题满分12分)
解：60
C=，sin
2
C=………………………………………2分
1
sin
2
S ab C
==代入3,sin
a C
==2
b=………………………6分222
1
2cos942327
2
c a b ab C
=+-=+-⨯⨯⨯=…………………………10分∴2,
b c
==……………………………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：对于命题p：∵0
1
)1
(
2≤
+
-
+x
a
x的解集为空集
∴22
=4(1)40
b a
c a
∆-=--<，解得13
a
-<<…………………………4分
对于命题q：1
)
(2+
+
=ax
ax
x
f没有零点等价于方程210
ax ax
++=没有实数根
①当0
a=时，方程无实根符合题意…………………………………5分
②当0
a≠时，2
=40
a a
∆-<解得04
a
<<
∴04
a
≤<……………………………….8分
由命题q
p∧为假，q
p∨为真可知，命题p与命题q有且只有一个为真.
当p真q假时
由
13
00
a
a a
-<<
⎧
⎨
<≥
⎩或
得-10
a
<<……………………………………10分
当p假q真时
由1304a a a ≤-≥⎧⎨≤<⎩或 得34a ≤<
所以a 的取值范围为()[)1,03,4- ……………………………………12分
19．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)由题意得
,01)(2
=⋅-=⋅-=⋅- 1
3sin cos 1,2sin()1sin()662
m n A A A A ππ=-=∴-=∴-=，
由A 为锐角得66
A π
π
-
=，3
A π
=
……………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1cos 2
A =,所以2()cos 22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+
21
32(sin )22
x =--+……………………………9分
因为x R ∈,所以[]sin 11x ∈-，
, 因此，当1
sin 2x =时,()f x 有最大值32
,当sin 1x =-时,()f x 有最小值 3-.
所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，…………………………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（1）根据题意得每小时的运输成本为2(0.6960)x +元，所用时间为
x
500
小时，所以得 )1600(300)1600(300500).9606.0(22
x
x x x x x y +=+=+=
所以函数为
)1600
(300
x
x y += )450(≤<x ……………………………6分 （2）由（1）及基本不等式得
1600300()30024000y x x =+
≥⨯= 当且仅当时即401600
==
x x
x ，等号成立. 所以当轮船以40海里/时速度行驶时，全程运输成本最小. …………12分 21. （本小题满分13分）
解：（1）∵22
1120n n n n a a a a ++--=，
∴11()(2)0n n n n a a a a +++-=,
∵数列{n a }的各项均为正数，∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +-=，
即12n n a a +=（*∈N n ），所以数列{n a }是以2为公比的等比数列. ……3分
∵12a =，
∴数列{n a }的通项公式2n n a = ………………………………… 6分 （2）由（1）及n b =12
log n n a a 得，2n n b n =-⋅， …………………………8分
∵12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，
∴23422232422n n S n =--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅ ○
1 ∴2345122223242(1)22n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ② ②-○
1得，234512222222n n n S n +=+++++⋅⋅⋅+-⋅ =
112(12)
2(1)2212
n n n n n ++--⋅=-⋅-- ……………………11分 （3）要使S 12+⋅+n n n >50成立，只需2n+1-2>50成立，
即2n+1>52，n ≥5
∴使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n 的最小值为5. ………………13分
22. （本小题满分13分）
解：（1）由题意知232,32=>==+AF BF GF GA 且，所以G 在以点A 、F 为焦点的椭圆
上， ………………………………………2分
且22,322==c a ,所以1,3==c a ，222=-=c a b ，所以椭圆方程为
12
32
2=+y x ………………………………………5分 （II ）由（I ）知1(1,0)F -.
假设在x 轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数.
①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，11(,)P x y 、22(,)Q x y .
由22(1)
13
2y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ……………………6分
所以2122623k x x k +=-+，212236
23k x x k -=+. ……………………………7分
MP MQ ⋅212121212()()()()(1)(1)x t x t y y x t x t k x x =--+=--+++
22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-+++
2222222
2222
(1)(36)()6(61)6232323k k k t k t k k t t k k k
+--⋅--=-++=++++. 因为MP MQ ⋅是与k 无关的常数，从而有
616
32
t --=. 即4
3
t =-. …………10分
此时11
9
MP MQ ⋅=-
. …………………………………………………11分
②当直线l 与x 轴垂直时，此时点P 、Q 的坐标分别为1 1 33⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，、，， 当43t =-时，亦有11
9MP MQ ⋅=-. ………………………………12分
综上，在x 轴上存在定点4
(,0)3
M -，使得MP MQ ⋅恒为常数，
且这个常数为11
9
-
.…………………………………………………13分。