高考数学复习点拨：集合常见错误剖析
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
数学错题分析
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括为一真一假）。
(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。
错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。
例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A错解：B分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
集合常见错误分析
集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1. 注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例 1. 设{}A x y x y x y N =+=∈(,)|,*46，，{}B x y x y x y N =+=∈(,)|,,*327，则A B =___________．错解：由方程组46,327x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：1,2.x y =⎧⎨=⎩ 故{}A B =12，． 错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}A B =()12，．2. 注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．例2．已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ⊆，求a 的值． 错解：若a a 213-+=，即a a 220--=，则a =-1或a =2；若a a a 21-+=，即a a 2210-+=，则a =1．综上，所求a 的值为-1，1，2．错因分析：当a =1时，A 中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此a =1应舍去，所以满足题意的a 值为-1，2．3. 注意∅的特殊性 ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例 3. 已知集合{}{}A x axB x x x =+==--=||105602，，若A B ⊆，求由实数a 组成的集合C ．错解：因为{}A aB A B =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⊆178，，，， 所以-=--=1718a a 或，即a a ==-1718或，所以C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1718，． 错因分析：导致错误的原因是漏掉A =∅的情形，当a =0时，A =∅亦满足条件，可得C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭01718，，． 4. 注意取等的可能性例 4. 已知{}{}A x x B y y x a x A =-<<==+∈|,|12，，{}C z z x x A ==∈|,2，且B C C =，求实数a 的取值范围．分析：由已知得：{}|12B y a y a =-<<+，{}|04C z z =≤<，由B C C = 得B C ⊆，又12a a -<+，知B ≠∅，故有10,2 4.a a -≥⎧⎨+≤⎩ 解得12a ≤≤． 注：不要忽略a +=24的情况．5. 注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．例5. 已知集合{}{}A a aB a a a =-+=-+-31312122，，，，，，且A B ={}-3，求实数a 的值．错解：由{}A B =-3，知33213a a -=--=-或，即01a a ==-或．错因分析：当a =0时，{}{}A B =-=--301311，，，，，，此时{}A B =-31，，与A B {}=-3矛盾，应舍去．6. 注意分类讨论的重要性例 6. 已知集合{}{}A B x x ax b =-=-+=11202，，|，若B ≠∅，且A B A = ，求实数a 和b 的值．分析：因为A B A =，故B A ⊆，又B ≠∅，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：0,1,1,11 1.a a a b b b ===-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩或或 7. 注意条件隐含性例7. 全集{}22,3,23S a a =+-，{}|21|2A a =-，，{}5S A =ð，求实数a 的值． 错解：因为{}5S A =ð，所以55∈∉S A 且，从而a a 2235+-=． 解得：a a ==-24或．错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以A S ⊆． 当a a S =-=∈2213时，||，符合题意；当a =-4时，||219a S -=∉，不符合题意，故a =2．注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．高考集合问题常见类型解析湖南省 黄爱民 赵长春集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。
集合问题中常见易错点归类分析答案
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变•初学时，由于未能真正 理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全， 而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 •代表元素意义不清致误例 1 设集合 A = ｛( X , y ) I x + 2 y = 5｝, B =｛( X , y ) I x — 2 y =- 3求 AIB 仪=1得丿 从而A I B = {1 , 2}.訶=2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集,所以 A ", B = {(1 , 2)}例 2 设集合 A = {y I y = x 2 + 1, x R } , B = {x I y =x + 2}，求 错解： 显然A=｛ y I y>l ｝B=｛ x I y>2｝.所以 A P B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ,从而A = ｛ yI y> 1｝，但集合B 中的元素为x ,所以B = ｛ x I x > 0｝，故A P B=A .变式：已知集合 A = ｛ y I y = x 2 1｝，集合B = ｛y | x 二y 2｝，求A 〔 B 解：A 二{ y | y = x 21} ={ y | y _ 1} , B 二{y|x 二y 2}=RA B ={y |y _1}、 2 2例3设集合A={x …x-6 = 0},B={x|x …X -6=0}，判断A 与B 的关系。
错解：A 二 B 二｛-2,3｝分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故 A 与B 不具包含关系。
例4设B = ｛1,2｝，A = ｛x|x? B ｝，则A 与B 的关系是( )A . A?B B . B? AC . A € BD . B € A 错解：B 分析：选 D. •/ B 的子集为｛1｝，｛2｝，｛1,2｝，?，••• A = ｛x|x ? B ｝ = ｛｛1｝，｛2｝，｛1,2｝，?｝，从集合与集合的角度来看待 A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合 B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来 看待B 与A ，「. B € A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A=｛ 1，3，a ｝，B=｛ 1， a 2 — a + 1 ｝，且 A =B ，求 a 的值.错解：由「X +2y=5x —2y = —3 APB.错解：经过分析知，若a2—a ^3,则a2 -a-2=0,即a~ -1或a = 2 .若a2 -a • 1 二a,则a2 -2a 7=0,即a =1 .从而a =—1，1，2.132分析当a =1时，A中有两个相同的元素1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故—1,2 .2例6 设A={xl x + (b + 2)x + b+1 = 0,b = R},求A中所有元素之和.错解：由x2+(b + 2)x + b+1 = 0得(x+1) (x + b + 1)=0(1)当b = 0时，x i = x2 —1,此时A中的元素之和为一2.(2)当b 厂0时，x i + x2 =—b — 2.分析上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一1,集合A={—1} ,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
集合问题的常见错误简析
集合问题的常见错误简析集合是数学学习中极为重要的知识点。
通过对集合知识的学习，能够为其他数学知识的学习奠定基础，能够让我们对于相关知识的掌握程度更为牢靠。
[1]通过集合问题常见错误的分析，不仅能够让我们更好地避免此类错误的再次发生，也有助于我们对于集合相关知识的深入领会。
關键词：集合知识常见错误问题分析前言集合是我们数学学习过程中不可忽视的一个重要知识点，通过该知识点的学习，我们能够更加夯实自身数学基础，对于其他问题的进一步学习和掌握奠定基础。
而集合学习过程中容易出现一些错误，如能对这些常见错误进行分析，必可真正让我们对该内容予以系统掌握。
[2]一、集合学习重要性集合属于最基本的数学语言范畴，融合了集合概念、集合与集合之间的关系以及集合的运算等相关知识。
集合作为数学表达工具，具有至关重要的作用。
集合属于高中数学的基本概念，能够为后续函数的学习奠定良好的基础，在每年的高考中，集合这一知识内容都占有一席之地，属于每年的必考考点，在高中数学学习中具有举足轻重的作用。
通过这些内容的学习，有助于对有关函数知识内容的掌握，为函数的学习打下扎实的基础，有助于提升我们分析与解决问题的能力，能够实现数学知识与技能的提升，进而显著提高学习效率。
[3]二、集合问题常见错误分析1.忽视集合为空集情形例题1：已知，，如果计算出实数p的取值范围。
错解：假设的两个根是x1，x2，由于，故该方程具有两个正根，推算出因此，实数p的取值范围是（-∞，-1）。
剖析：我们在对这类题型进行解答的过程中，经常对空集是任何集合的子集这一内容忽略，在上面的解题方法中，就对的特殊情形忽略了，当，可以推算出，则该方程无解，该类错误是由于分类讨论不全面系统导致的，因此，实数p的取值范围是（-∞，1）。
2.忽视结合中的元素互异例题2：假设，，并且集合A与集合B相交，其取值范围为{2，5}，请计算出实数a的值。
错解：通过该题的题意可以得出，由可以得出a=3或者a= ±1。
集合数学易错知识点高一
集合数学易错知识点高一集合数学是高中数学中的重要部分，而在学习集合数学的过程中，很容易犯一些常见的错误。
本文将就高中一年级学生常见易错的集合数学知识点进行探讨，以帮助学生们更好地理解和掌握这一部分知识。
首先，我们来讨论集合的基本概念。
集合是由元素组成的，我们可以用大括号{}来表示一个集合，元素之间用逗号隔开。
但是在实际应用中，常常会遇到一些问题，例如"将某些元素所组成的集合用集合的形式表示"。
这时候，就需要通过观察集合中的元素的规律，推断集合的表示方式。
一个常犯的错误就是只寻找一个规律，而忽略了其他可能的规律。
因此，在解决这类问题时，我们应该多方面考虑，不要局限于一个方向。
其次，集合的运算是集合数学中的重要内容。
高中一年级的学生常常会在交集和并集的运算中出现错误。
例如，对于两个集合A和B，交集A∩B表示的是同时属于集合A和集合B的元素，而并集A∪B表示的是同时属于集合A或集合B的元素。
但是很多学生在计算交集时会将∩误写成∪，或者在计算并集时会将∪误写成∩。
这种错误是常见的，但也十分容易避免。
我们只需要对交集和并集的定义有清晰的认识，并在计算时仔细检查运算符号，就能够避免这类错误的发生。
另外，高一学生在求集合的补集时也经常会出错。
集合的补集是指与原集合中的元素互不相交的元素的集合。
常见的错误就是在求补集时，没有认真考虑到原集合的全集。
我们需要明确原集合所处的全集是什么，并将全集中的所有元素减去原集合中的元素，从而得到补集。
这样做可以避免遗漏或重复计算元素，从而减少错误的可能性。
此外，在解决集合运算问题时，理清思路也是很重要的。
有时候，我们需要根据题目条件综合运用交集、并集、补集等运算。
在这种情况下，学生常常会陷入思维的局限，只考虑到一个运算，而忽略了其他可能的运算。
因此，在解决这类问题时，我们应该多角度思考，充分利用各种运算的特性，从而达到提高解题能力的目的。
最后，我们还需要注意集合数学中的一些常见概念容易混淆的问题。
高中数学各章易错点精析1-集合
第1章 集合【易错点1：集合的表示】0是一个实数，φ表示空集，{}0表示的是含一个元素0的单元素集，0 是向量，四者的含义要辩清。
例1、能够表示方程组⎩⎨⎧=-=+17y x y x 的解集的是 。
错解：①{}4,3、②(){}4,3、③⎩⎨⎧==34y x 、④{}3,4==y x分析：①表示有2个元素的集合，②解错，③虽然是方程组的解，但不是集合的形式，④中的元素是两个方程。
【易错点2：集合代表元素的属性】例2. 已知集合{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈==,2|,,|2，求Q P .【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .】例3. 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x =∈R ，则AB =___________.【分析：集合A 表示函数112+=x y 的定义在R 上的值域，即]1,0(=A ，B 表示1-=x y 的定义域，即[)+∞=,1b ，所以A B ={}1】【易错点3：忽视集合元素的性质】忽视集合元素的性质：互异性、无序性、确定性。
例4. 已知+∈∈R y R x ,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（ ）A. 5B. 4C. 25D. 10【A 】例5. 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. 【由∁U A ＝{5}，得5∈U 且5∉A ，a 2＋2a －3＝5且|2a －1|≠5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝－4时，集合A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a ＝2.另解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2】【易错点4：忽视空集】例6. 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.【答案：4≤a 】【分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.】例7. a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解。
高考数学复习点拨 简易逻辑中的典型错误剖析
简易逻辑中的典型错误剖析学习简易逻辑可以使我们增强判断是非的能力和推理能力.但由于内容比较抽象,初学者易出现理解上的错误,下举例说明.例1 试判断下列语句是否构成命题:（1）难道0不是偶数吗?（2）1+a >0；（3）012>++a a .错解:由于语句(1)是问句,所以不是命题;而(2)、(3)两句表示均给出了判断所以都是命题。
剖析：命题的定义是：可以判断真假的语句叫命题。
因此语句是否构成命题，关键在于能否判断其真假。
语句（1）是反问句，其实质是表示“0是偶数”这一判断，因此是命题，并且是真命题；语句（2）中，在没有给出a 的X 围之前无法判断其真假，因此该句不构成命题（称为开语句）；而语句（3）中，虽然也没有给出a 的X 围，但043)21(122>++=++a a a 对一切实数a 恒成立，因此该语句构成命题，且是真命题。
例2 试判断下列命题是简单命题还是复合命题：（1）6≥5；（2）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
错解：由于命题（1）与（2）没有逻辑联结词，因此都是简单命题；而命题（3）含有逻辑联结词“且”，因此该命题是复合命题。
剖析：要判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能只形式上看字面中有没有逻辑联结词，而是在准确理解复合命题的概念的基础上看其实质。
复合命题“p 或q ”、“p 且q ”是指用“或”与“且”联结两个命题p 、q ，而构成新的命题。
命题（1）虽然字面上没有“或”、“且”逻辑联结词，但它实质上表示：6大于或等于5，即是由p ：6>5、q :6=5构成的一个“p 或q ”形式的复合命题；同样，命题（2）是由p ：有两个角是45°的三角形是等腰三角形、q : 有两个角是45°的三角形是直角三角形构成的一个“p 且q ”形式的复合命题；命题（3）中的“且”并非逻辑连接词，而是与自然语言中的连词“和”含义相同，正像“小李和小王是一对夫妻”中的“和”一样。
高考数学复习：集合中常见错误选讲
集合中常见错误选讲
在解有关集合的问题时，我们往往会由于概念不清晰，思路不严谨而造成解题错误．下面就同学们在解题中常出现的错误加以剖析，供同学们参考．高.考-资.源-网
一、对集合中元素概念理解不清而致误
例1 已知，，求．
错解：由题意，得
消去，得
．
， ∴方程无实根，即． 错因剖析：导致出现以上错误的原因在于没有正确认识集合中的元素，误以为题目是求抛物线与抛物线的交点坐标．其实，集合中的元素都是y ，是表示两个函数值域的集合．
正解：
，
， ，，
． 二、忽视空集而致误
例2 已知集合，，若，求实数的值． 错解：由已知，易得，， 当时，；当时，． 综上可知，13m =或12
m =-． 错因剖析：导致出现以上错误的原因在于只考虑到的情形，忽视了B ≠∅仍然符合B A ．（注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） 正解：由已知，易得 {}32A =-，，B
A ∵， 或或∅．
若，由，得13m =； 若
，由，得12m =-； 若，由无解，得． 或12
m =-或0m =． 三、忽视集合中元素的互异性而致误
例3若，
，且，试求实数．
错解：，∴由，
解得 或． 错因剖析：忽视了集合元素的互异性． 正解：∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=，
解得 2a =或1a =±．
当a=1时，
与元素的互异性矛盾，故舍去； 当时，，此时，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；
当2a =时，
，，此时{}25A B =，满足题意，故2a =为所
求．
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内容总结。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合中的易错问题
集合是高中数学的入门知识，是现代数学的基本语言，在以后的其他知识中经常出现，例如函数中的定义域、值域等，集合知识在每年的高考中必考，且以选择题较多，重点考察基础应用，属于高考试题中“送分”的题目.集合题目虽然简单，但集合涉及的概念多，并且有很强的逻辑性，有容易失分的情况.例如在初学时可能会对一些细节性的知识理解不到位，或者解题时对一些细节问题的忽视而造成错误.为了避免这些失误，我们对集合问题中常犯的错误进行剖析，帮助大家突破这些易错点，做到在集合的习题中不失分.一、元素与集合、集合与集合之间的关系：在学习了“集合与集合的关系”后，可能会与之前所学的“元素与集合的关系”混淆，错误常出现在符合的运用上.通常我们使用的符号有：集合与集合的关系，“包含类符号”：,,,,,元素与集合的关系，“属于类符号”：，例：以符号“∈”与“⊆”的应用举例：1.元素与集合的关系：，11,2,32.集合与集合的关系：0， 11,2,33.错解举例：判断{}πR ，两者的关系.二、描述法表示集合时，对元素的形式、属性的理解： 用描述法表示的集合x x p 中，x 表示元素的形式，x p 表示元素所具有的性质. 例1：集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = ．常见错解：解方程组0,,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得1,,1x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴.分析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合AB ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数. 因此AB ，是点集，而不是数集．{}(11)A B =-，∴.例2：已知集合{}{}22|2,R ,|616,R A y y x x x B y y x x x ==-∈==++∈，求A B .常见错解：令222616x x x x -=++，得2x =-，所以8y =，则{}8AB =.分析：本题中(){}|,R A y y f x x ==∈，表示函数()f x 的值域，因此求A B 实际上是求两个函数值域的交集. 正解： 由{}(){}{}22|2,R |11,R |1A y y x x x y y x x y y ==-∈==--∈=≥-， {}(){}{}22|616,R |37,R |7B y y x x x y y x x y y ==++∈==++∈=≥， {}7.A B y y ∴=≥例3： 设集合A ＝{y ∣y ＝x 2＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．常见错解：显然Ａ＝{y ∣y ≥1}，{x ∣y ≥2}．所以A ∩B =B ．分析：错因在于对集合中的代表元素不理解.集合A 中的代表元素是y ，是表示函数的值域；但集合B 中的元素为x ，是表示函数的定义域.正解：A ＝{y ∣y ≥1}，B ＝{ x ∣x ≥0}，所以故A ∩B =A .三、忽略集合中元素的互异性，未检验：例：已知集合{}{}222,3,42,0,7,422A a a B a a a =++=+-- ， ，且{}37A B =，，求a 的值．常见错解：∵{}37A B =，，∴2427a a ++=，2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴，5a =-∴或1a =.（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=，满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．∴a 的值为1．四、忽略空集的特殊情况：例. 设集合{}{}2230,10,A x x x B x ax =--==-=且,A B B =求实数a 的值.常见错解：由{}13,1,,A B a ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭又,A B B =故,B A ⊆所以131-=或a 分析：忽视了B =∅的情形．五、其他问题：以上给出的是重点的基础习题中常出现的几个易错点，包括常见的错误解答及错因.当然还会有其他易错之处，例如：1.子集的个数问题：例如：忽略子集和真子集的区别，忽略空集是任意非空集合的真子集、集合本身是子集.2.解不等式，不知道怎么解答.3.不会求函数的值域、定义域等等.下面给出几道练习题来巩固一下.练习题：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8 2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， ｂ∈R}求Ａ中所有元素之和．练习题解析：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8解析：2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.解：因为当B =∅时，A B ⊆亦成立.（1）当B =∅时，则121->+m m ，解得：2<m .（2）当B ≠∅时，要使A B ⊆，应有121,11,,214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：252≤≤m . 综上，所以m 的取值范围为：25≤m . 3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 解：∵{}5S C A =， 5S ∈∴且5A ∉，2235a a +-=∴，2280a a +-=∴，2a =∴或4a =-.当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去.2a =∴．4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， b ∈R}求A 中所有元素之和．解：集合A 中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(b b b =+-+=∆，当b =0时，方程有二重根－1，由集合中元素的互异性，集合A ={－1}，所以元素之和为－1；当b ≠0时，x 1 ＋x 2 ＝－b －2．。
例析解集合问题的易错点及应对策略
解题宝典集合是高中数学中的重要知识，也是基础内容.但集合问题涉及的知识面较广，很多同学在解题时经常会出现各种不同的错误.为了提升学习的效率，笔者对解答集合问题时的易错点进行了总结归纳，并提出了相应的应对策略，以供大家参考.一、因元素所代表的意义不清致错集合中的元素不同，则集合所表示的含义就不同.很多同学在解题时习惯于按照常规的思路去解题，没有仔细审题，挖掘集合中元素所代表的意义，将所有的元素混为一谈，导致解题出错.这就要求同学们在进行集合运算时，首先要明晰集合中元素所代表的意义，再进行求解.例1.已知A={}|x y=x,x∈R，B={}|y y=x2,x∈R，则A⋂B等于（）.A.{y∣y≥0}B.{x∣x∈R}C.{(0,0),(1,1)}D.∅错解：由于A⋂B=R，所以应选B.分析：集合A中的元素是x，集合A表示函数y=x的定义域，而集合B中的元素是y，集合B表示函数y=x2的值域.显然集合A、B中元素所代表的意义并不相同.正解：A={}|x y=x,x∈R=R，B={}|y y=x2,x∈R={}y|y≥0，所以A⋂B={y∣y≥0}.故A选项正确.在解有关集合的交、并、补运算题时，一定要把握三个关键点“一看元素，二看属性，三运算”.“看元素”就是搞清楚集合中的元素所代表的是什么，是点集还是数集，搞清楚集合中元素的含义；“看属性”就是搞清楚元素需满足的条件，将条件进行合理转化、运算，从而求得最终结果.二、因忽略隐含条件致错集合问题中常涉及一些代数运算，很多同学经常忽略了一些隐含的条件，如分式的分母不为0、根号下的式子必须大于或等于0、集合中元素的三要素等.因此在进行集合运算时，一定要注意挖掘题目的隐含条件，否则可能会出现增解而致错.1.因忽略元素的互异性致错集合中的元素应是互不相同的，互异性是集合中元素的三大要素之一.在解题时，一旦忽略元素的互异性就可能出现增解.例2.集合M={}a,ba,1，集合N={}a2,a+b,0，且M=N，则a2019+b2020=_______.错解：∵{a,b a,1}={a2,a+b,0}，∴ìíîïïba=0，a=a+b，a2=1，解得{b=0，a=1，或{b=0，a=-1，∴a2019+b2020=12019+02020=1,或a2019+b2020=(-1)2019+02020=-1.分析：本解法错误的原因是没有考虑集合中元素的互异性，缺少最后一个必要的步骤：验证结果.当a=1时，集合M中有两个相同的元素，不满足元素的互异性，故{b=0，a=1，应舍去.正解：∵{a,b a,1}={a2,a+b,0}，∴ìíîïïba=0,a=a+b,a2=1,解得{b=0,a=1,或{b=0,a=-1,当a=1时，不满足题意，∴a=-1，b=0，∴a2019+b2020=(-1)2019+02020=-1．确定性、无序性、互异性是集合中元素的三大要素，其中互异性对解题结果的影响最大，特别是在解答含参数的问题时，不能忽略了对参数的一些要求.在得出结果后需要将参数代入集合中进行检验，看是否有相同的元素，舍去不符合题意的参数.2.因忽略对参数的限制致错有些题目条件本身就具有限制性，尤其是题目中的参数，它一般都会受题目中的条件所影响，而很多同学在解题时经常忽略了题目中对参数的限制出现解题错误.例3.设集合U={2,3,a2+2a-3}，A={||2a-1,2},C U A={5}，求实数a的值.错解：∵C U A={5},∴5∈U且5∉A，从而a2+2a-3=5，解得a=2或a=-4.分析：此处错误的原因在于，没有验证实数a的值是否满足题设条件A⊆U.正解：∵C U A={5},∴5∈U且5∉A，从而a2+2a-3=5，解得a=2或a=-4.当a=2时，||2a-1=3∈U，符合题意；当a=-4时，||2a-1=9∉U，不符合题意；故a=2.本例中全集U就对所求参数具有限制性，要求A⊆U.对此，在解答集合问题时，同学们要注意仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，首先要考虑函数的定义域、集合与集合之间的关系等，然后再对题目进行分析、运算，最后还要注意检验结果.当然，解答集合问题时的易错点还有很多，如转化集合语言错误、因混淆符号致错、因忽视区间端点致错等.这就要求同学们要正视自己在学习中出现的错误，通过分析错题、查找错因、纠正错误、反思解题过程等，对解题中的易错点进行深入研究、总结.这样才能有效地规避错误，提升学习的效率.（作者单位：江苏省苏州市吴江中学）彭慧42Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高考数学复习点拨集合解题错误剖析
集合解题错误剖析安徽 李庆社集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．一、忽视空集的特殊性 例1 若{}0322=--=x x x A ，{}02=-=ax x B ，且B B A = ，求由实数a 组成的集合C .错解： 由{}0322=--=x x x A ，解得{}3,1-=A .∵B B A = ，∴A B ⊆，从而{}1-=B 或{}3=B .当{}1-=B 时，由02)1(=--⨯a ，解得2-=a ；当{}3=B 时，由023=-⨯a ，解得32=a . 故由实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,2C .剖析：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A∅=∅，所以错解又忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是： ①当B ≠∅时，同上解法，得2-=a 或32=a ； ②当B =∅时，由02=-ax 无实数根，解得0=a ． 综上可知，实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,0,2C .例 2 已知{}14A x x x =∈<->R 或，，{}23B x a x a =∈≤≤+R ，若A B A = ，求实数a 的取值范围.错解 ∵A B A = ，∴2423a a a >⎧⎨+⎩，≤，或3123a a a +<-⎧⎨+⎩，≤．解得234a a <<-或≤，，故实数a 的取值范围是423a a <-<或≤.剖析：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有AA ∅=，所以错解还是忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是：①当B ≠∅时，同上解法，解得423a a <-<或≤；②当B =∅时，由32+>a a ，解得3>a .综上可知，实数a 的取值范围是24>-<a a 或.二、忽视元素的互异性例3 已知集合{}22342M a a =++，，，{}207422N a a a =+--，，，，且{}37M N =，，求实数a 的值．错解：{}37M N =，，2427a a ∴++=． 解得 1a =，或5a =-．剖析：当5a =-时，N 中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去5a =-．当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =．三、忽视元素与集合的概念例4 设A B M N ，，，为非空集合，A B =∅，{}M A =的真子集，{}B N =的真子集，则M N = ．错解：M N =∅．剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M N ，是分别由A ，B 的真子集构成的集合，因而M ，N 的元素都是集合，显然∅既是M 又是N 的元素． 正解：{}M N =∅．四、忽视隐含条件例5 设全集{}22323U a a =+-，，，{}212A a =-，，{}5U A =ð， 求实数a 的值．错解：{}5U A =ð，5U ∴∈，且5A ∉，2235a a ∴+-=，解得 2a =或4a =-．剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件A U ⊆．正解：应继续对a 的值是否适合A U ⊆进行验证，当2a =时，214135a -=-=≠，此时{}23A U =⊆，．当4a =-时，218195a -=--=≠，此时{}92A =，不是U 的子集．所以a 的值只能为2．。
高考数学复习点拨 集合解题错误剖析
高考数学复习点拨 集合解题错误剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．一、忽视空集的特殊性例1 若{}0322=--=x x x A ，{}02=-=ax x B ，且B B A = ，求由实数a 组成的集合C .错解： 由{}0322=--=x x x A ，解得{}3,1-=A .∵B B A = ，∴A B ⊆，从而{}1-=B 或{}3=B .当{}1-=B 时，由02)1(=--⨯a ，解得2-=a ；当{}3=B 时，由023=-⨯a ，解得32=a . 故由实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,2C .剖析：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A∅=∅，所以错解又忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是： ①当B ≠∅时，同上解法，得2-=a 或32=a ； ②当B =∅时，由02=-ax 无实数根，解得0=a ． 综上可知，实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,0,2C .例 2 已知{}14A x x x =∈<->R 或，，{}23B x a x a =∈≤≤+R ，若A B A = ，求实数a 的取值范围.错解 ∵A B A = ，∴2423a a a >⎧⎨+⎩，≤，或3123a a a +<-⎧⎨+⎩，≤． 解得234a a <<-或≤，，故实数a 的取值范围是423a a <-<或≤.剖析：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有AA ∅=，所以错解还是忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是：①当B ≠∅时，同上解法，解得423a a <-<或≤；②当B =∅时，由32+>a a ，解得3>a .综上可知，实数a 的取值范围是24>-<a a 或.二、忽视元素的互异性例3 已知集合{}22342M a a =++，，，{}207422N a a a =+--，，，，且{}37M N =，，求实数a 的值．错解：{}37M N =，，2427a a ∴++=． 解得 1a =，或5a =-．剖析：当5a =-时，N 中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去5a =-．当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =．三、忽视元素与集合的概念例4 设A B M N ，，，为非空集合，A B =∅，{}M A =的真子集，{}B N =的真子集，则M N = ．错解：M N =∅．剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M N ，是分别由A ，B 的真子集构成的集合，因而M ，N 的元素都是集合，显然∅既是M 又是N 的元素． 正解：{}M N =∅．四、忽视隐含条件例5 设全集{}22323U a a =+-，，，{}212A a =-，，{}5U A =， 求实数a 的值．错解：{}5U A =，5U ∴∈，且5A ∉，2235a a ∴+-=，解得 2a =或4a =-．剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件A U ⊆．正解：应继续对a 的值是否适合A U ⊆进行验证，当2a =时，214135a -=-=≠，此时{}23A U =⊆，．当4a =-时，218195a -=--=≠，此时{}92A =，不是U 的子集． 所以a 的值只能为2．。
高考数学复习点拨 剖析错因 纠正观念 学好圆的方程.doc
剖析错因 纠正观念 学好圆的方程有关圆的方程问题错误根源一般产生于:①对圆的概念的理解; ②对圆的方程的认识;③对圆的几何意义的认识等几个方面.但只要我们掌握几类问题错误根源,落实错误所在,就可以避免这些“陷阱”.误解一 没有落实圆的方程的一般式与标准式的等价关系导致错解例题1.已知圆的方程为x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆的切线有两条，求a 的取值范围.错解：将圆的方程配方得： ( x + 2a )2 + ( y + 1 )2 = 4342a -。
∵其圆心坐标为C （－2a ，－1），半径r ＝4342a -。
当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。
即22)12()21(+++a ＞4342a -。
即a 2 + a + 9 ＞ 0，解得a ∈R 。
剖析：本题的“陷阱”是方程x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的等价条件，上述解法仅由条件得出AC ＞ r ，即a 2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a 2 ＞ 0。
事实上，由a 2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a 2 ＞ 0可得a 的取值范围是（332,332-）。
二 思维定势 凭想象处理问题导致错解例题2 圆x 2 + 2x + y 2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于2的点共有（ ）A 、1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个 错解：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导致错选（ D ）。
剖析：事实上，已知圆的方程为：（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以22x + y + 1 = 0的距离为d=2121+--=2（x +1）2 + (y+2) 2 = 8和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为2的平行直线即可。
高中数学：集合部分易错点集锦
高中数学：集合部分易错点集锦在高中数学中，集合这部分是非常容易的，在考试中是最不应该失分的部分，特别是在高考中。
但是有一些易错点，很多学生遇到之后还是会出错，今天在这里总结一下，希望能帮到一部分学生。
易错点1：对描述法表示集合的理解不透彻而出错用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x 的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。
易错点2：混淆数集和点集的表示使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，1{y|y=x2+1};2{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中德代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。
1代表的数集，2代表的是点集。
易错点3：忽视集合中元素的互异性在学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题都容易出错，尽管知道集合众元素是互异的，也不会写出{3，3}这样的形式，但当字母x出现时，就会忽略x=3的情况，导致集合中出现相同元素。
易错点4：忽略空集的存在空集是一个特殊而又重要的结，它不含任何元素，记为∅。
在解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。
特别是在求参数问题时，会进行分类讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。
易错点5：利用数轴求参数时忽略端点值在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。
要注意两点：1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。
易错点6：混淆子集和真子集而错集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。
易错点7：求参数问题时，忘记检验而出错根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。
集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-2024年高考数学考试易错题
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
高考数学复习点拨：集合常见错误剖析
集合常见错误剖析山东 王秀奎 雒义霞集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解,以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛,因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．一、忽视空集的特殊性例1 已知集合{}2|(2)10A x xp x x =+++=∈R ，,且A =∅+R ，求实数p的取值范围．错解：由A =∅+R 可知,方程2(2)10x p x +++=有非正实根,又常数项不为零，故原方程只有负根，因此2(2)40(2)0p p ⎧∆=+-⎨-+<⎩，．≥解得0p ≥．剖析：错解忽视了∅，由∅=∅+R 可知,漏掉了A =∅的情形． 正解：（1)当A ≠∅时，同上解法，得0p ≥；（2）当A =∅时，方程2(2)10xp x +++=无实根， 所以2(2)40p ∆=+-<,解得40p -<<．综上可知，p 的取值范围是4p >-．二、忽视元素的互异性例 2 已知集合{}22342M a a =++，，，{}207422N a a a =+--，，，，且{}37M N =，，求实数a 的值．错解：{}37M N =，，2427a a ∴++=．解得1a =，或5a =-． 剖析：当5a =-时,N 中的元素为0，7,3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去5a =-．当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =．三、忽视元素与集合的概念例3 设A B M N ，，，为非空集合，AB =∅,{}M A =的真子集, {}B N =的真子集，则M N = ．错解：M N =∅．剖析:此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M N ，是分别由A ,B 的真子集构成的集合，因而M ，N 的元素都是集合，显然∅既是M 又是N 的元素．正解：{}M N =∅．四、忽视隐含条件例4 设全集{}22323U a a =+-，，，{}212A a =-，，{}5U A =，求实数a 的值．错解：{}5U A =,5U ∴∈,且5A ∉,2235a a ∴+-=,解得2a =或4a =-． 剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件A U ⊆．正解：应继续对a 的值是否适合A U ⊆进行验证，当2a =时，214135a -=-=≠，此时{}23A U =⊆，．当4a =-时,218195a -=--=≠，此时{}92A =，不是U 的子集． 所以a 的值只能为2．。
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集合常见错误剖析
集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．
一、忽视空集的特殊性
例1 已知集合{}2|(2)10A x x p x x =+++=∈R ，，且A =∅+R ，求实数
p 的取值范围．
错解：由A =∅+R 可知，方程2(2)10x p x +++=有非正实根，又常数项不为零，故原方程只有负根，因此2(2)40(2)0p p ⎧∆=+-⎨-+<⎩，．
≥解得0p ≥．
剖析：错解忽视了∅，由∅=∅+R 可知，漏掉了A =∅的情形．
正解：（1）当A ≠∅时，同上解法，得0p ≥；
（2）当A =∅时，方程2(2)10x p x +++=无实根，
所以2(2)40p ∆=+-<，
解得40p -<<．综上可知，p 的取值范围是4p >-．
二、忽视元素的互异性
例 2 已知集合{}22342M a a =++，，，{}
207422N a a a =+--，，，，且{}37M N =，，求实数a 的值．
错解：{}37M N =，，2427a a ∴++=．
解得 1a =，或5a =-．
剖析：当5a =-时，N 中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，
应舍去5a =-．当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =．
三、忽视元素与集合的概念
例3 设A B M N ，，，为非空集合，A B =∅，{}M A =的真子集，
{}B N =的真子集，则M N = ．
错解：M N =∅．
剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M N ，是分别由A ，B 的真子集构成的集合，因而M ，N 的元素都是集合，显然∅既是M 又
是N 的元素．
正解：{}M N =∅．
四、忽视隐含条件
例4 设全集{}22323U a a =+-，，，{}
212A a =-，，{}5U A =ð，
求实数a 的值．
错解：{}5U A =ð，5U ∴∈，且5A ∉，2235a a ∴+-=， 解得 2a =或4a =-．
剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件A U ⊆．
正解：应继续对a 的值是否适合A U ⊆进行验证，
当2a =时，214135a -=-=≠，此时{}23A U =⊆，．
当4a =-时，218195a -=--=≠，此时{}92A =，不是U 的子集． 所以a 的值只能为2．。