冀教版九年级上册数学第24章 一元一次方程 公式法——一元二次方程根的判别式

a
a
整理，得______________.
于是，得到
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
(1)当b2－4ac＞0时，
识点
得
x
b ＝
b2
b2 4ac
4a2
4ac .
＞0,
2a
2a
方程有两个不相等的实数根：
x1＝b
b2 4ac ,
2a
x2＝b
b2 4ac .
2a
(2)当b2－4ac＝0时，
知3－讲
例3 关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实
数根，则m的取值范围是( D )
A．m≤3
B．m＜3
C．m＜3且m≠2
D．m≤3且m≠2
导引：根据一元二次方程有实数根，可知方程根的判别式 大于或等于零，从而建立关于m的不等式，再求解 即可．因为一元二次方程有实数根，所以Δ≥0，即 4－4(m－2)≥0，解得m≤3，又因为方程为一元二次 方程，所以m－2≠0，即m≠2，故选D.
B . －2 6
C . 2 6
D . 3 6
知识点 2 一元二次方程根的类别
知2－讲
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数根．
例2 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2＋3x＋2＝0； (2) x2－4x＋4＝0； (3) 2x2－4x＋5＝0.
第24章 一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 公式法——一元二次 方程根的判别式
1 课堂讲解 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的情况 一元二次方程根的判别式的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
李强和萧晨看到一个关于x 的一元二次方程x2＋(2m －1)x+(m－1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.
此方程有两 个不相等的
实数根
不一定，根 的情况跟m 的值有关
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
按下面的步骤将一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 进行配方： 移项，得____________.
二次项系数化为1，得_______________.
配方，得 x2＋ b x＋_____＝－ c ＋_____.
知2－练
1 下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的 判断，正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
知2－练
2 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
总结
知3－讲
(1) 一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的 实数根和有两个相等的实数根，即Δ≥0，易漏 掉相等这种情况；
(2) 求待定系数的取值范围时易忽视一元二次方程 的前提条件：二次项系数不为零．
知3－练
1 若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实
数根，则a的取值范围是( )
A．a≥1
解：(1)这里a＝1，b＝3，c＝2. ∵b2－4ac＝32－4×1×2＝1＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根.
知2－讲
知2－讲
(2)这里a＝1，b＝－4，c＝4. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0， ∴原方程有两个相等的实数根.
(3)这里a＝2，b＝－4，c＝5. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴原方程没有实数根.
将方程化成一般形式，然后算出判别式的值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0.
4
4
(2)原方程化为: x2 2x 1 0,
3
2
12
2 41 = .
33
总结
知1－讲
求一元二次方程的根的判别式时应注意两点： 一是将方程化成一般形式后才能确定a，b，c的值； 二是确定a，b，c的值时不要漏掉符号．
知2－练
3 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) －x2＋3x－2＝0； (2) x2－4x＋5＝0； (3) 2x2－4x＋2＝0. (4) x2－4x＝0
知3－讲
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
若条件中说方程有两个实数根，则隐含该方程 为一元二次方程．利用根的判别式求待定字母系数 的取值范围时，易忽视二次项系数不为零的隐含条 件．
1.根的判别式的应用： (1)直用：不解方程，判断方程根的情况． (2)逆用：由方程根的情况，求字母系数的取值范围． 注意：一元二次方程有实数根，包含有两个相等的
实数根和有两个不相等的实数根两种情况．
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
判别式 根 的 情 况 的情况 △＞0 两个不相等的实根
△＝0 两个相等的实根
△＜0
无实根
定理与逆定理
△＞0 两个不相等 的实根
△＝0 两个相等的 实根
△＜0 无实根
完成教材P42习题B组T1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1
知3－练
2 a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
知3－练
3 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个 不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图 象可能是( )
知1－练
1 方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后， a，b，c的值分别为( ) A．a＝4，b＝1，c＝5 B．a＝1，b＝4，c＝5 C．a＝4，b＝1，c＝－5 D．a＝4，b＝－5，c＝1
知1－练
2 已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则
m的值为( )
A. 2 6
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.
我们把b2－4ac叫做一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
的根的判别式.
知1－讲
例1 求下列一元二次方程的根的判别式的值.
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应先
得
x
b 2a
2
＝0.
b2 4ac 4a 2
方程有两个相等的实数根：
0,
x1＝x2＝
b 2a
.
知1－讲
(3)当b2－4ac＜0时，
识点而
x
b 2a2 ≥来自0.b2 4ac 4a2
＜0,
所以方程没有实数根.
知1－讲
于是我们得到：
对于一元二次方程a x2＋b x＋c＝0 ：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；