江西省景德镇市2021届高二上学期数学期末检测试题

江西省景德镇市2021届高二上学期数学期末检测试题
一、选择题
1．湖北新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则该同学选到物理这门功课的概率为（ ） A.
12
B.
110
C.
320
D.
310
2．()4
0x x x
+>的最小值是（ ） A ．2
B
．C ．4
D ．8
3．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
得最大利润，该产品的单价应定为（ ）
（附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率的最小二乘估计
值为12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑.
参考数值：
6
1
5116i i
i x y
==∑，6
221
60.7i i x x =-=∑）
A.9.4元
B.9.5元
C.9.6元
D.9.7元
4．设,x R ∈则“12?x <<是()2
“21?x -<的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．充分而不必要条件
5．点 M 的直角坐标是(-，则点 M 的极坐标为（ ） A ．π 2,
3⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B ．π2,3⎛⎫-
⎪⎝
⎭
C ．2π2,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．π2,2π3k ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
()k ∈Z 6．已知函数ln ,0(){
2ln ,x x e
f x x x e
<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取
值范围为（ ） A ．2
(,)e e
B ．2
(1,)e
C ．1(,)e e
D ．2
1(,)e e
7．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．22122y x -=
B ．22
1412
y x -=
C ．22144y x -=
D ．22
142
y x -=
8．已知函数1(),()2ln 2f x kx g x x e x e ⎛⎫
==+≥
⎪⎝
⎭
，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M 、N ，使得M 、N 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．2,2e e ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．224,e e ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．24,2e e ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．2,e ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
9．已知数据1x ，2x ，，5x ，2的平均值为2，方差为1，则数据1x ，2x ，
，5x 相对于原数据
（ ） A.一样稳定
B.变得比较稳定
C.变得比较不稳定
D.稳定性不可以判断
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）
A.1712π+
B.2012π+
C.1212π+
D.1612π+
11．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
12．如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为（ ）
A.16
二、填空题
13．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.
14．三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，BC ⊥平面PAB ，PA AB ⊥，2PA =，1AB =，
BC =O 的表面积为___．
15．已知OBC ∆为等边三角形，O 为坐标原点，,B C 在抛物线()2
20y px p =>上，则OBC ∆的周长
为_____．
16．已知向量(1,2),(,4)a b m ==-，若a b ⊥，则m =_____.
三、解答题 17．已知函数，集合
.
（1）当时，解不等式
；
（2）若，且，求实数的取值范围； （3）当
时，若函数的定义域为，求函数
的值域.
18．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为
.类似地，在空间中，对应
的结论是什么？ （2）已知数列满足
，求
，并由此归纳得出的通项公式（无需
证明）.
19．在某单位的职工食堂中，食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包，然后以元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了
个面包，以（单位：个，
）表示面包的需求量，
（单位：元）表示利润．
（1）求关于的函数解析式；
（2）根据直方图估计利润不少于
元的概率.
20．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式解集非空，求实数的取值范围.
21．在平面直角坐标系中,已知圆C 经过点
,且圆心在直线
.
(1)求圆C 的方程; (2)设P 是圆上任意一点,过点P 作圆C 的两条切线
,为切
点,试求四边形
面积
的最小值.
22．记()()()
''f x f x "=，其中()'f x 为函数()f x 的导数.若对于x D ∀∈，()0f x ">，则称函数()y f x =为D 上的凸函数．
()1求证：函数()
31216x
g x e x x =-+-是定义域上的凸函数； ()2已知函数()3
21ln 3
h x ax x x x =-+，a R ∈为()0,+∞上的凸函数．
①求实数a 的取值范围；
②求函数()()2ln h x H x x x
=
-，1x ≥的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
13．15+7 2
14．8π
15．
16．8
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）当时，的值域为；
当时，的值域为；当时，的值域为．
【解析】
分析：（1）先根据一元二次方程解得e x＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.
详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e-x－1＞1，
所以e2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0，
所以e x＞3，故x＞ln3，
所以不等式的解集为(ln3，+∞).
（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.
因为A∩B≠∅，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，
即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，
即e x＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，
所以a≥3e x－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e2x]min.
由0≤x≤1得1≤e x≤e，
所以3e x－e2x＝－(e x－)2＋∈[3e－e2，]，
所以a≥3e－e2.
（3）设t＝e x，由（2）知1≤t≤e，
记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，
)
①当≥e时，即a≥e2时，
g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．
所以f(x)的值域为.
②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，
g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．
1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；
所以f(x)的值域为；
2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，
所以f(x)的值域为．
综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；
当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；
当a≥e2时，f(x)的值域为．
点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，
恒成立⇔.
18．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
分析：（1）利用类比推理得到若两正方体的棱长的比为，则它们的体积之比为.
（2）先根据递推式得到的值，再归纳出.
详解：（1）对应的结论为：若两正方体的棱长的比为，则它们的体积之比为.
（2）由，
得，
由此可归纳得到.
点睛：（1）本题主要考查类比推理和不完全归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）在平面中类比时，长度的比与面积的比一般类比为空间长度的比与体积的比.
19．（1）；（2）0.875
【解析】
【分析】
（1）当时，利润，当时，利润
，从而可得结果；（2）由（1）知，利润不少于100元时，即
，即，根据直方图的性质，利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】
（1）由题意，当时，利润，
当时，利润，
即关于的函数解析式.
（2）由题意，设利润不少于100元为事件，
由（1）知，利润不少于100元时，即，
，即，
由直方图可知，当时，
所求概率为.
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式以及频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的
中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
20．（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≤6的解集；
（2）由题意可得|a﹣1|应大于函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，故有a2﹣3a＞4，由此求得实数a的取值范围
【详解】
（1），
（2）因为，当且仅当时取等
故不等式解集非空，
等价于或.
【点睛】
含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．21．(1)；(2)10.
【解析】
【分析】
(1) 设圆的方程为，将条件代入方程得到方程组解得答案.
(2)将面积转化为，求最小值，再转化为圆心距减半径得到答案.
【详解】 (1)设圆的方程为
,其圆心为
,
∵圆
经过点
,且圆心在直线
上,
,解得 .
∴所求圆的方程为 ;
(2)由(1)知,圆的方程为 . 依题意, ,
∴当 最小时, 最小.
∵圆,∴
,半径为 .
∵,∴两个圆的圆心距 .
∵点在圆
上,且圆
的半径为 ,∴ ,
∴ .
【点睛】
本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用表示再转化为圆心距减半径是解题的关
键.
22．（1）见解析；（2）1,2①⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；②见解析 【解析】 【分析】
()1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出导函数的单调区间，从而判断函数的凹凸性即可；
()2①求出函数的导数，问题转化为22211
2(1)1a x x x
>
-=--+在()0,∞+上恒成立，求出a 的范围即可；②令()()
21
2ln ln 3
h x F x x ax x x x =
-=--，1x ≥，则()()H x F x =，通过讨论a 的范围，求出()H x 的最小值即可．
【详解】
()1由()3
1216
x g x e x x =-
+-，x ∈R ， 得()2
1'22
x
g x e x =-
+，()x g x e x "=-，
令()x x e x ϕ=-，x ∈R ，则()'1x
x e ϕ=-，
当0x <时，()'0x ϕ<，当0x >时，()'0x ϕ>， 故()x ϕ在(),0-∞递减，在()0,∞+递增， 故()()010x ϕϕ≥=>， 故对于x R ∀∈，()'0g x >， 函数()g x 是定义域上的凸函数；
()2①由()3
21ln 3
h x ax x x x =
-+，a R ∈， 得()2
'2ln 1h x ax x x =-++，()1'22h x ax x
=-+， 函数()h x 是()0,∞+上的凸函数， 故()h'x 0>在()0,∞+上恒成立， 故22211
2(1)1a x x x
>
-=--+在()0,∞+上恒成立， 故21a >，故1
2
a >
， 故实数a 的范围是1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
， ②令()()
21
2ln ln 3
h x F x x ax x x x =
-=--，1x ≥， 则()()H x F x =，
()221233
'133ax x F x ax x x
--=--=
，1x ≥，a R ∈， ()i 当0a ≤时，()'0F x <在[)1,+∞上恒成立，
故F ()()3
103
a x F -≤=
<， 故H ()()33a
x F x -=≥
，当且仅当1x =时取等号， ()3()13
min a
H x H -∴==
； ()ii 当3a ≥时，()()(
)233
'03x ax ax F x x
-+-=
≥在[)1,+∞恒成立，
故F ()x 在[
)1,+∞递增， 故F ()()3
103a x F -≥=
≥， 故H ()3
()13
min a x H -==
； ()iii 当0<<3a 时，令()2233t x ax x =--， ()t x 存在零点1x ，2x ，
其中1304x a =
<，234x a
+=
， ()()1230t a =-<，()3330a t a a -⎛⎫=
> ⎪⎝⎭
， 故23
1x a
<<
， 结合()t x 的性质有：()21,x x ∈时，()0t x <，故F ()'0x <，
()2,x x ∈+∞时，()0t x >，故F ()'0x >，
故F ()x 在()21,x 上递减，在()2,x +∞递增， 故F ()()23
103
a x F -<=
<， 由()1知，()0x
x e x ϕ=->，
故()ln ln 0x x x ϕ=->，从而ln (0)x x x >>， 故F ()66ln 0x a a ⎛⎫
=
-> ⎪⎝⎭
， 又()F x 的图象是一条不间断的曲线， 故F ()x 在26,
x a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上有零点263
()x a a
>>， 故H ()()x F x =的最小值是0， 综上，当0a ≤时，()H x 的最小值是
33
a
-， 当0<<3a 时，()H x 的最小值是0， 当3a ≥时，()H x 的最小值是3
3
a -． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，综合性较强．。