物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法
运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现;因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视;另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”;学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法;求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明;
1、利用顶点坐标法求极值
对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,
若a>0,则当x=-a b
2时,y 有极小值,为y min =a b ac 442-；
若a<0,则当x=-a
b
2时,y 有极大值,为y max =a b ac 442-；
2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c,用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0;式中含y 若y ≥A,则y min ＝A; 若y ≤A,则y max ＝A;
3、利用配方法求极值
对于二次函数y=ax 2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=x-A 2+常数：1当x ＝A 时,常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = － x －A 2+常数;2当x ＝A 时,常数为极大值;
4、利用均值定理法求极值
均值定理可表述为
≥+2
b
a a
b ,式中a 、b 可以是单个变量,也可以是多项式; 当a ＝b 时, a+b min ＝2ab ;
当a ＝b 时, a+b max ＝2
)(2
b a +;
5、利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解;若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式,则y=2
1Asin2α,在α=45o 时,y 有极值
2
A ; 对于复杂的三角函数,例如y=asin θ+bcos θ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ,变成同名的三角函数,比如sin θ+ф ;这个工作叫做“化一”;首先应作辅助角如所示;
考虑asin θ+bcos θ＝
θθcos sin 2
2
2
2
b
a b b
a a ++
+
＝2
2
b a + cos фsin θ+sin фcos θ
＝22b a +sin θ+ф 其最大值为22b a +; 6、用图象法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,作出其图象,由图象可求得极值;
7、用分析法求极值
分析物理过程,根据物理规律确定临界条件求解极值;下面针对上述7种方法
φ a
b
图1
做举例说明;
例1：如图2所示的电路中;电源的电动势ε＝12伏,内阻r ＝欧,外电阻R 1＝2欧,R 2＝3欧,滑动变阻器R 3＝5欧;求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置,电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少
分析：设aP 间电阻为x,外电路总电阻为R.
则：
先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max ;本题的关键是求R max ,下面用四种方
R max ;
方法一 用顶点坐标法求解
抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c;
考虑R ＝10
)8)(2(x x -+=101662++-x x ,
设y ＝
-x 2+6x+16,
当x ＝a
b
2-＝ —)1(26-＝3时,R max 3＝101636)3(2+⨯+- ＝Ω;
方法二 用配方法求解
考虑R ＝10
)
8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x ;
即x ＝3Ω时,R max ＝
5.210
25
=Ω; 方法三 用判别式法求解
考虑R ＝10
16
62++-x x ,则有-x 2+6x+16-10R ＝0,
Δ＝b2-4ac＝36-4-116-10R＞0,即：100-40R≥0,
R≤Ω,即R
max
＝Ω;
方法四用均值定理法求解
考虑R＝
10)
8
)(
2(x
x-
+
,设a＝2+x；b＝8-x; 当a＝b时,即2+x＝8-x,
即x＝3Ω时,R
max 3＝
10
)3
8
)(
3
2(-
+
＝Ω;
也可以用上面公式a+b
max ＝
2
)]
8
)(
2
[(2
x
x-
+
＝25,
R
max ＝
10
)
(
max
b
a+
＝
10
25
＝Ω;
以上用四种方法求出R
max
＝Ω,下边求伏特计的最大读数;
I min ＝
r
R+
m ax
ε
＝
5.0
5.2
12
+
＝4A;U
max
＝ε- I
min
r＝⨯＝10V;即变阻器的滑动头P
滑到R
3
的中点Ω处,伏特计有最大值,最大值为10伏;
例2：如图3所示;光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停
着一个质量为M＝的木块,一颗质量为m＝的子弹,以V
=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析：当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大且最大值为多少
解析子弹与木块发生碰撞
的过程,动量守恒,设共同速度为V
1
,
则：
mV
0＝m+MV
1
,
所以：V
1=
V
M
m
m
+
＝s
m
s
m/
4
/
400
99
.0
01
.0
01
.0
=
⨯
+
图3
设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2,由于轨道光滑,故机械能守恒：
所以：V 2=)/(])(4)[(21M m gR m M V M m ++-+
=R R Rg V 401610444221-=⨯-=-
则平抛后的位移可以表示为：
s =V 2t =V 210
4)4016(4R
R g R ⨯
-=⨯
＝4R R 4.02+-;
因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值;当R=)
1(24.02-⨯-=-
a b =时, S max ＝
例3：在一平直较窄的公路上,一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶,正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶,汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2,试分析两车不相撞的条件;
解析要使二者不相撞,则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-S Vt at +<22
1
式中S 为汽车刹车时与自行车间距 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0, 显然,当满足∆＝b 2-4ac ≥0,
即∆＝182-4⨯3S ≥0得：S ≤27m,S min =27m;当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件;
例4：如图4所示;一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上,质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,且小车始终保持静止状态,试分析：当小球运动到什么位置时,地面对小车的摩擦力最大最大值是多少
解析：设圆弧半径为R,当小球运动到重力mg 与半径
夹角为θ时,速度为V,根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：
解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ,其水平分量为：
N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 2
3mg
根据平衡条件,地面对小车的静摩擦力水平向右,大小为：f= N x =θ2sin 2
3
mg
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o 时,地面对小车的静摩擦力最大,其值为：f max =mg 2
3;
例5：如图5所示;质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动;物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ;F 的方向是随θ变化的;
解析：因物体匀
速直线运动,所以有： Fcos θ-f ＝
①
f ＝μN ＝μ
mg-Fsin θ ②
②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0 即：F ＝
θ
μθμsin cos +mg
;分母为两项不同名的三角函数,需要转化成同名的三角函数,
也就是需要“化一”;由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝22b a +sin θ+ф
考虑本题分母：μsin θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法,得：a ＝μ；b ＝1; 于是tg ф＝
μ1=a b ,则ф＝arc tg μ
1
;所以,μsin θ+cos θ＝12+μsin θ+arc 图4
tg
μ
1; 要使F 最小,则分母μsin θ+cos θ需最大,因此,θ+arc tg
μ1＝2
π; 所以有：θ＝
2π-arc tg μ1＝2
π
-arc ctg μ=arc tg μ;
即：θ=arc tg μ时,F 最小;
作为教师,运用“求导数”对本题验算非常简便;F ＝
θμθμsin cos +mg ;考虑0=θ
d dF
,
则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ,即当F 最小时,牵引角θ＝arc tg μ;
例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发,甲做匀加速直线运动,加速度为4米／秒2,4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动,加速度为2米／秒2,10秒后改为匀速直线运动,求乙追上甲之前它们之间的最大距离;
分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法;由题意可知,4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4⨯4＝16m ／s; 乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2⨯10＝20m ／s;
可画出v —t 如上图6所示;
点相交,这表明在t ＝8秒时,两物体的速度相
等,因此．在t ＝8秒时,两者间的距离最大;此
时两图线所围观积之差,就是两者间的最大距
离;
即S max ＝2
1
⨯4⨯
16 + 4⨯16 — 2
1⨯8⨯16＝32m;
用分析法求极值在物理计算中较常见;经过对物理状态或过程分析后求极值,
不一定要用繁难的数学,关键是确定临界状态和过程的最值;
例7：如图7所示;AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨,两条导轨间的距离为L,导轨平面与平面的夹角是θ,在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B;在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻,一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑;已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ,导轨和金属棒的电阻不计;求ab棒的最大速度;
即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解;所示;
在下滑过程中,ab受重力mg,支持力N＝mgcosθ,摩擦力f＝μmgcosθ,安培
力F＝
R
V
L
B2
2
;沿导轨平面有：
mgsinθ-μmgcosθ-
R
V
L
B2
2
=ma ①
ab由静止加速下滑会导致：
当a＝0时,ab速度到达最大,即：V＝V
max
所以①式变为
mgsinθ—μmgcosθ—
R
V
L
B
max
2
2
=0 ②
②解式得：V
max
＝
2
2
)
cos
(sin
L
B
mgθ
μ
θ-
;
综上所述,求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法;针对有些习题所给的条件的“有界性”,运用求极值的方法时要特别注意,求出的极值不能“出界”,
a
图7
B
要注意定义域和值域的对应关系;
例8：如图8所示;已知电流表内阻忽略不计;ε＝10V,r ＝1Ω,Ro ＝R ＝4Ω,其中R 为滑动变阻器的最大值;当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中,电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化
解：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左,通过电
流表的电流为I A ,通过R o 的电流为I o ,由并联电路可知
A I I 0=0
R R 左
① 由欧姆定律得：I ＝r
R +总ε
即：I=1
44410
+-++=+-+左左
左
左并）（R R R r
R R R ε
②
I=I 0+I A = I A
）（左
10
+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝20
540
2++-左左
R R ④
用配方法对④式求极值;
I A ＝
20
540
2
++-左左R R =
25
.262540
2
+--）（左R 当R ＝Ω时,I A 有极小值I Amin ＝=5
.2640
A; 当求电流表的最大值时,就需考虑R 的取值范围是“有界”的;这时的极值要与“界”的定义域对应,不能“出界”;当R 左＝0时,即由④式得I A p 在a ＝
20
40
＝2A; 当R 左＝R ＝4Ω时,由④式得I A P 在b ＝
67.120
45440
2
=+⨯+-A; 由此可得,电流表先从2A 减小到,然后再增加到;所以电流表的最大值是2A,
图8
其变化是先减小后增大;
综上所述,求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法;在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围;。