1-1牛顿与微积分

微积分史
The History of Calculus 第一讲牛顿
内容提要
十七世纪初期的微积分 牛顿生平
在微积分中的工作
十七世纪初期的微积分
在十七世纪, 人们主要面对如下的四个数学问题：
1. 给出距离（关于时间的函数）, 求出瞬时速度. 反过来,
给出瞬时速度,求出一段时间后运动的距离.
2. 求曲线的切线.
3. 求一个函数的最大值和最小值.
4. 求几何体的面积、体积、重心、曲线长等.
求面积
•卡瓦列里（1598-1647, 意大利, 1639）
•费马（1601-1665, 法国, 1636）•沃利斯（1616-1703, 英国, 1655）
10d 1291,,,.n a n a x x n n +==+⎰
10d 11
,,.n a n a x x n n n +=∈≠-+⎰π2244662133557
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅……
求切线
•卡瓦列里, 费马, 巴罗(1630-1677)……
费马的方法实际上就是现在的方法;
巴罗的方法是几何法, 使用了辅助曲线, 但实质上与费马的方法是一致的.
求最大值和求最小值
•开普勒,费马……
开普勒注意到,当越来越接近最大体积时,对应于自变量的一个尺寸固定的变化,体积的变化越来越小;
费马求最值的方法和求切线的方法实质是相同的.
对于前面提到的四个问题,当时人们认为是不同的,但也注意到了它们之间的联系.例如,费马就是用同样的方法求函数的最值和曲线的切线.此外,也已看出函数对于自变量的变化率问题与切线问题是同一问题.
在巴罗的一本书中, 甚至已经能看到求切线的方法、两个函数积与商的微分定理、x的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换, 甚至还有隐函数的微分定理.
但是微积分的主要特征——积分可以通过微分的逆过程得到,虽然有人注意到了这一联系,但它的意义却没有人体会到.
完成微积分的这一冲刺的是牛顿和莱布尼茨.
艾萨克.牛顿
(Issac Newton,英国, 1643-1727)
牛顿生平
牛顿是一位英国的物理学家、数学家、天文学家、化学家、发明家、
神学家和自然哲学家.
著名工作有：
牛顿力学、万有引力、微积分、牛
顿运动定律、光学、二项式定理……
牛顿被认为是历史上最有影响力的科学家. 1705年, 牛顿被安妮女王封为爵士.
1643年1月4日,牛顿出生于
英格兰的一个小村庄——伍
尔斯索普（Woolsthorpe）
庄园.出生前2个月他的亲生
父亲就去世了,当他3岁时,母
亲改嫁,牛顿主要由他的外祖
母抚养.伍尔斯索普庄园
1648年, 牛顿被送去读书. 少年时的牛顿并不是神童, 成绩一般, 但他喜欢读书.
从12岁到17岁,牛顿在一所地方中学读书（The King’s School,Grantham）,因为他的继父希望他成为一名农民,于1659年10月牛顿辍学了一段时间,但当时的校长说服了他的母亲把他送回了学校.这所中学主要教授拉丁语和希腊语,没有数学.牛顿考取大学的欧几里得几何的答卷是有缺陷的.
1661年牛顿进入剑桥大学的三一学院, 于1665年获得学士学位. 大学时几乎要改变方向, 从学自然哲学转到学法律.
因为伦敦地区发生鼠疫, 牛顿在1665年和1666年回到了伍尔斯索普的家乡, 这两年间牛顿开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作, 这段时间牛顿发现了引力的平方反比定律, 获得了解决微积分问题的一般方法, 并发现太阳光那样的白光实际上是从紫到红的各种颜色的光混合而成.
1667年牛顿回到剑桥获得硕士学位, 并被选为三一学院的研究员.
1669年巴罗辞去他的教授席位, 牛顿在他的推荐之下接替其担任了卢卡斯数学教授.
1672年当选为皇家学会会士.
当了35年教授之后,牛顿成为沮丧的、痛苦的神经衰弱者,他决定放弃研究,在1695年担任伦敦的不列颠造币厂监察,后来又担任了造币厂的主管.在造币厂一共工作27年.
1703年成为皇家学会会长, 直至去世.
1705年被授予爵士的称号.
1727年3月31日,牛顿因患肺炎和痛风而逝世,葬于威斯特敏斯特大教堂.当时参加了葬礼的伏尔泰亲眼目睹英国的大人物争抬牛顿的灵柩而无限感叹.剑桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身塑像.
牛顿去世后, 外甥女凯瑟琳夫妇在亲属们围绕遗产的纠纷中不惜代价保存了牛顿的手稿. 现存牛顿手稿中, 仅数学部分就达5000多页.
牛顿总结了已经由许多人发展的思想,建立起成熟的方法并且提出了前面叙述的几个主要问题间的内在联系.
1669年牛顿在他的朋友中散发了《运用无穷多项方程的分析学》( De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas) 的小册子（1711年才出版）.
注记《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作.《分析学》中对微积分有简短的说明.
z x +o
x y oy
《分析学》一书中,牛顿考虑了如下问题：
假定有一条曲线且曲线下的曲边梯形面积z
已知是,m z ax =其中m 是整数或分数.求曲线的表达式.
牛顿把x 的无限小的增量叫做x 的瞬,并用o 表示.由曲线、x 轴、y 轴和x+o 处的纵轴所围成的面积,他用z+oy 表示,其中oy 是面积的瞬.那么有
().m
z oy a x o +=+
运用二项式定理可得
121.
m m m y ma x ma x o mao ---=+++略去带o 的项,牛顿求得
1.
m y ma x -=用现在的话说：面积在任意点x 处的变化率就是曲线在x 处y 的取值.反过来,牛顿还证明如果曲线是那么在它下面的面积就是1,m y ma x -=.
m z ax =
这里牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到.这个事实就是我们现在所叫的微积分基本定理.虽然牛顿的先驱者在特殊的例子中知道了而且也模糊地预见了这个事实,但牛顿看出它是普遍的.他应用这个方法得到了许多曲边梯形的面积公式.
在《分析学》中牛顿还给出了法则：若y值是若干项之和,那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和,这相当于逐项积分定理.
在完成于1671年的论文《流数法与无穷级数》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)中, 牛顿对以物体速度为原型的流数概念做了进一步提炼, 并首次正式命名为“流数”(fluxion).
《流数法与无穷级数》以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为：
“已知流量间的关系, 求流数关系”
“已知表示量的流数间的关系的方程, 求流量间的关系”
在完成于1691年的《曲线求积术》是最成熟的微积分论著,这时牛顿改变了对无穷小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬o做法,改而提出“首末比方法”.牛顿写道：
“流数之比非常非常接近于在相等却很小的时间间隔内生成的流量的增量比.确切地说,它们构成增量的最初比”.
接着牛顿把流数理解为增量消逝时获得的最终比.
《运用无穷多项方程的分析学》、
《流数法与无穷级数》和《曲线求积术》这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程.
在《分析学》和《流数法》中牛顿以“瞬”作为基本概念和论证基础. 这里的“瞬”用现代数学语言来说就是无穷小量.
在《曲线求积术》中以“首末比方法”作为理论基础, 这里的首末比相当于求函数自变量与因变量变化之比的
极限, 因而成为极限方法的先导.
在牛顿以前,面积计算和求切线问题的互逆关系虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出,但牛顿第一个将这种互逆关系明确地揭示出来,将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍算法——正反流数术(微分与积分),并证明了二者的互逆关系而将这两类运算统一成整体.这是牛顿超越前人的功绩,所以我们说牛顿发明了微积分.
牛顿还给出了如下我们所熟知的级数公式：
24224352462357111111241135111313512242461135640112;cos ;!!
sin ;!!
;
arcsin .x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x =+++-=-+-=-+-⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅-=++++
在《流数法与无穷级数》中,牛顿应用流数法微分隐函数、求曲线的切线、函数的最大值和最小值、曲线的曲率和曲线的拐点.
牛顿也得到了曲边梯形的面积公式和曲线的长度.关于曲率他给出了曲率半径的正确公式：
3
221().y r y
+=
前面提到的三篇论文都发表得很晚：
《曲线求积术》正式发表于1704年,
《运用无穷多项方程的分析学》正式发表于1711年,《流数法与无穷级数》正式发表于1736年.
而牛顿更早关于微积分的论文《流数简论》（1666年10月）只在同事中传阅, 当时并没有发表.
牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的《自然哲学的数学原理》.
牛顿自己的《自然哲学的数学原理》, 上面有手写的为第二版修订
所做的修改.
牛顿语录
我不知道世上的人对我怎样评价.我却这样认为：我好像是在海滨上玩耍的孩子,时而拾到几块莹洁的石子,时而拾到几片美丽的贝壳并为之欢欣.那浩瀚的真理的海洋仍展现在面前.
如果我比别人看得更远, 那是因为我站在巨人的肩上.
把简单的事情考虑得很复杂, 可以发现新领域; 把复杂的现象看得很简单, 可以发现新定律.
----------牛顿
他以几乎神一般的思维力, 最先说明了行星的运动和图像、彗星的轨道和大海的潮汐.
--------牛顿的墓志铭
参考文献
1.微积分的历程：从牛顿到勒贝格，William Dunham著，
李伯民、汪军、张怀勇译，人民邮电出版社（2010）2.古今数学思想，Morris Kline著，邓东皋、张恭庆等译，
上海科学技术出版社（2014）
3.数学史概论（第三版），李文林，高等教育出版社
（2010）
4.百度百科（部分人物图片来源于百度百科）。