赝势

赝势
就是把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。

由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。

原理
元素的价电子决定着在材料的特性，在原子结合成固体的过程中，价电子的运动状态发生了很大变化，内层电子则不然。

价电子参与了电荷转移与成键，因此希望解波函数的部分，只处理价电子就好，而将内层电子与原子核的效应合在一起考虑。

固体价电子波函数在离子实之间的区域变化平缓，与自由电子的平面波相近；离子实内部的区域，波函数变化剧烈，存在很多节点，这是因为需要使价电子与内层电子波函数正交，径向函数乘积积分为零，因而离子实内部出现节点使一部分区域为正，一部分为负。

“赝势”顾名思义，是一种假的位势，但概括了离子实的吸引作用和波函数的正交要求，这二者相互抵消，赝势总是使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦。

作用
最简单的模型可以是取距原子中心r处为划分点，大于r的区域波函数完全一样保留，而r以内则对波函数加以改造。

主要是要把振荡剧烈的波函数改造以变化缓慢的波函数，而且没有节点，少了剧烈振荡不但允许只以相对很少的平面波来展开波函数，没有节点的（径向）波函数也意味着没有比它本征值更低的量子态来与它正交。

求解内层电子的需要就自动消失了。

这样选择参量r，就可以是模型与真实结果相符合。

赝势
在相互作用的粒子系统中引入的非真实势。

研究实际气体和固体的能带等问题时，采取引入赝势的办法可使问题简化。

研究二粒子系统散射问题时，由于真实作用势十分复杂，常把粒子当作刚球处理，使用刚球势（在r＝a处有陡峭的无限高势垒，a 是粒子的半径，r是粒子间的距离）。

这时系统质心的薛定谔方程是
k为相对波数。

方程在r＞ɑ处的球对称解（k→0的S散射）为式中C为一常数。

若引入一个算符到薛定谔方程中【δ(r)是δ函数】,使方程变形为非齐次方程
则在k→0和r≥ɑ处Ψe(r)和Ψ(r)满足相同的方程和边界条件Ψe(ɑ)=0,且有相同的函数形式。

算符在薛定谔方程中起着势的作用。

这种人为地引入的势不是刚球模型中的真实势，故称作赝势。

由于在势中引入了δ函数，这种势可看作是在r=0处的势源。

扩展
到任意k值（非球对称情况）时则需作改正。

精确算出的S波散射的赝势算符应是其中η0是刚球势的S 波相移，具有关系
于是非齐次薛定谔方程右方所对应的各级数项分别相应于S波散射、P波散射、D波散射等效应。

可见，引入赝势，就可以用r＝0处势源的非齐次方程和边界条件Ψe(ɑ)=0代替刚球势的齐次方程和边界条件，并用相移η0代替相对波数k来表示系统的所有能级，这样，就便于深入讨论刚球模型的二体问题。

这个方法可以推广到非常稀疏的N个粒子组成的气体系统。