大连市第二十四中学高考模拟考试数学试卷(理)及答案

大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3
2．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 3．有下列关于三角函数的命题：
1:,()2
P x x k k ∀∈≠+∈R Z π
π，若tan 0x >，则sin 20x >；
23:sin()2
P y x π
=-
函数与
函
数
cos y x =的图象相同；
300:,2cos 3P x x ∃∈=R ；
4:|cos |P y x =函数()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）
A ．1P ，4P
B ．2P ，4P
C ．2P ，3P
D ．1P ，2P
4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
开始
p ＝1，n ＝1
n ＝n ＋1
p >20 ?
输出n 结束 (第4题图)
是 否
p=p+2n -1
5．已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.
56π B.π C. 76
π D. 2π 6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：
附：2
2
112212211212
()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
7.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
且z y x
=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 8. 已知菱形ABCD 的边长为3，060B
，沿对角线AD 折成一个四面体，使得平面
ACD
平面ABD ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A. 15
B.
15
4
15
D. 6
9．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()
()
f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ）
A ．3(2)2(3)f f <
B ．3(4)4(3)f f <
C ．2(3)3(4)f f <
D ．(2)2(1)f f <
10. 已知12F F 、分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线
的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 2()P K k ≥ 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635
A.(1,2)
B.(3,)+∞
C.(3,2)
D. (2,)+∞
11. 如图，长方形ABCD 的长2AD x =，宽(1)AB x x =≥，线段MN 的长度为1，端点
N M ,在长方形ABCD 的四边上滑动，当N M ,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN
的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数
()y f x =的图象大致为（ ）
12.已知函数1
ln 1)(-+=
x x
x f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足
0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
14．点G 是ABC ∆的重心，若0120A ∠=，2,AB AC ⋅=-则AG 的最小值是
15. 某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进
主视图
3
345
第13题图
行。

那么安排这5项工程的不同排法种数是 ______
16．设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为_______________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）
设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(2
3
-=
n n b S 且2512,b a b a ==
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：
（2）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T .
18、（本小题满分12分）
某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M 名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M ，p 及图中a 的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[)25,30区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[)20,25区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在
[)15,20区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[)10,15区间的职工发放价值
200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X 为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望E(X)。

19、（本小题满分12分）
在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，122AA =，D 是
1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A . (1)证明：1BC AB ⊥；
(2)若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）的离心率为32222).
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O 的直线l ：y kx m =+(0)k ≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线
OP 、OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定
值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
21、（本小题满分12分）
B
A
C
D
1A
1B
1C
O
已知函数ln ()1
x x
f x x =
+和直线:(1)l y m x =-． （1）当曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离； （2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围； （3）求证：4
2
121.()41
n
i i n n i *=+<∈-∑
N ．
考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，=4AC ，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E .
（1） 求BD 长； （2）当CE ⊥OD 时，求证：AO AD =.
A
E
O
D
C
B
在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4
πθ=
，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩.
（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；
（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8
3
MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程.
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+.
(1)解不等式()5g x <；
(2)若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
大连市第二十四中学高考模拟考试 数学(理科)试卷答案及评分标准
一．选择题：CBDCD CBAAD CB 12、【解析】易知()()g()f c g b c =>,即
1lnc 1k
c c
+>-恒成立， lnc 1
c c k c +∴<
-,1c >. 令ln ()1c c c
p c c +=-,1c >, 则()()()()
22
11ln 1ln 2ln ()11c c c c c c c p c c c ++-----'=
=--. 令()2ln 1q c c c c =-->，,1
'()10q c c
=-
>, ()q c 递增,()(1)1q c q ∴>=-.
又()31ln30q =-<,()42ln 40q =->, ,
∴存在()03,4c ∈,使得0()0q c =，即002ln c c -=
当()01,c c ∈时,()0q c <,()p c 递减，当()0,c c ∈+∞时,()0q c >,()p c 递增.
000
min 00ln ()()1
c c c p c p c c +==
- 002ln c c -=代入得
000000min 000ln (2)
()11
c c c c c c p c c c c ++-=
==-- 0
3k c k ∴<≤
易知1
0a e
<<，当3k =时可证明()()()f a g b g a =< max 3k ∴=.
二．填空题：13. 26；14. 23
；15. 12；16. x y 42= 或x y 162
=
三．解答题： 17．解： (1) 21
n a n =-, (3分)
3n
n b =. （6分）
（2）
1
3(1)3n n T n +=+-.（12分）
18．解：（1）由题可知
50.25M =，12n M
=，m p M =， 又5+12+m+1=M ，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[)15,20组的频率与组距之比a 为0.12.……………………（5分）
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
222
51222
201066177
(0)190190C C C P x C ++++====, 111111512122212
2086
(200)190
C C C C C C P x C ++===， 1111
521122
2022
(400)190
C C C C P x C +=== 11
512205
(600)190
C C P x C ===
………………………………（9分） 所以X 的分布列为：
77862252900
020040060019019019019019
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=
………………………（12分）
19．解：(1)由题意2tan AD ABD AB ∠==112
tan 2
AB AB B BB ∠==， 又0ABD <∠，12
AB B π
∠<
，1ABD AB B ∴∠=∠，
X 0 200 400 600
P
77190 86190 22190 5190
1112
AB B BAB ABD BAB π
∴∠+∠=∠+∠=，
2
AOB π
∠=
，1AB BD ∴⊥.又11CO ABB A ⊥平面，1AB CO ∴⊥，
BD 与CO 交于点O ，1AB CBD ∴⊥平面，又BC CBD ⊂平面，
1AB BC ∴⊥.…6分
(2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则2326(0,(,0,0)33A B -
-，236
(0,0,33
C D , 26232323623(,,0),(0,,),(,0,333333
AB AC CD =-
==-， 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，
则00
n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2623
023230x y y x ⎧+=⎪⎪+=， 令1y =，则1z =-，22x =
，所以2
1)2
n =-. 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则
6232(
(1)332
sin cos ,||||
1022
CD n
CD n CD n α⋅-⋅==
=
⋅⋅
62230((1)
153235
++-⨯-==
所以直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为15
5
.……………………12分
20．解：（1）
依题意可得2
2222222221,3
a b c a a b c
⎧⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
+=⎪⎪
⎨=
⎪⎪⎪⎪=+⎩解得.1,2==b a 所以椭圆C 的方程是.14
22
=+y x ……………………………………………………4分 （2）当k 变化时，2
m 为定值，证明如下：
由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2221484(1)0k x kmx m +++-=. ……………………6分 设
P
)
,(11y x ，Q
)
,(22y x .则
122
814km x x k +=-
+，
()()2122
41,*14m x x k
-=
⋅⋅⋅⋅⋅+ ……………………7分
直线OP 、OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+,
∴12121212
4y y kx m kx m k x x x x ++=
+=+，得()12122kx x m x x =+,……………………9分
将()*代入得：212
m =，………………………………………………………………11分 经检验满足0∆>.……………………………………………………………………12分
21．解：（1）2
1ln ()(1)x x f x x ++'=+……………………………………………………………2分 ∴1(1)2
f '=，于是2m =- ， 直线l 的方程为 220x y +-=……3分 原点O 到直线l 25…………………………………………………4分 （2）ln 1(),[1,),()(1),ln ()1x x f x x f x m x x m x x x
=∀∈+∞≤-≤-+即， 设1()ln ()g x x m x x
=--，即[1,),()0x g x ∀∈+∞≤ 222
11()(1)mx x m g x m x x x -+-'=-+= …………………………………………6分 ①若0m ≤，存在x 使()0g x '>，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾…7分 ②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-，
当0∆≤，即12
m ≥时，()0g x '≤， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递减，
∴()(1)0g x g ≤=，即不等式成立…………………………………………………8分 当102
m <<时，方程20mx x m -+-=，设两根为12,x x ， 22
1212114114()(0,1),(1,)m m x x x x --+-<=+∞ 当2(1,),()0,()x x g x g x '∈>单调递增，()(1)0g x g >=与题设矛盾， 综上所述，12
m ≥………………………………………………………………10分 （3）由（Ⅱ）知，当1x >时，12m =时，11ln ()2x x x <-成立． 不妨令21,()21k x k k *+=∈-N ，所以221121214()212212141
k k k k k k k k ++-<-=--+-， 214[ln(21)ln(21)],()441
k k k k k *+--<∈-N ……………………………………11分
22211(ln 3ln1)441112(ln 5ln 3)44211(ln(21)ln(21))4
41n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪+--<⎪⨯-⎩…………………………………………12分 累加可得211ln(21)441
n i i n i =+<-∑()n *∈N ． 4
212141n i i n i =+-∑()n *∈N ………………………………………………14分
22、（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ，
∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
AC OD OC BD =， ∵OC =OD =6，AC =4，∴4
66=BD ，∴BD=9．…………………5分 （2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ．
∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ．
∴AD =AO ……………………10分
23、（1）直线:l y x =，曲线2
2:12
x C y +=……………………4分 （2）设点()00,M x y 及过点M 的直线为01022:22
t x x l t y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由直线1l 与曲线C 相交可得： 2
22000032222202
t tx ty x y +++-= 22002288333
2
x y MA MB +-⋅=⇒=，即：220026x y += 2226x y +=表示一椭圆……………………8分
取y x m =+代入2
212
x y +=得：2234220x mx m ++-= 由0∆≥得33m ≤≤故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线3y x =±……10分
24、(1)由125x -+<得5125x -<-+<
713x ∴-<-<，得不等式的解集为{}24x x -<<……………………5分
(2)因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，
所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， 又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，
所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.……………………10分。