辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学总复习课件 向量的分解与向量的坐标运算

答案：A
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3．已知两点 A(4,1)，B(7，－3)，则与A→B同向的单位向
量是( )
A．(35，－45)
B．(－35，45)
C．(－45，35)
D．(45，－35)
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解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，A→B＝(3，－4)， →
必考部分
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数
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第二节 向量的分解与向量的坐标运算
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考 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 纲 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 点 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 击 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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[规律总结] (1)本题主要涉及平面向量的模、夹角、共 线的充要条件等基础知识，以及运算能力、分析能力和数形
结合的能力．注意“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b 的充
要条件是 x1y2－x2y1＝0”的使用； (2)解法一用的是待定系数法，体现了方程的思想，关键
[思路点拨] 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起 点、终点坐标的关系求解．
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[解] a＝A→B＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝B→C＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝C→A＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
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3．共线向量充要条件的应用技巧 两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知 坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要注意与共线向 量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用 后者更简单.
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热点题型三
共线向量的坐标表示
[例 3] 若平面向量 b 与向量 a＝(1，－2)的夹角是
180°，且|b|＝3 5，则 b＝( )
A．(－3,6)
B．(3，－6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
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[解析] 解法一：确定一个平面向量需要两个独立的条
因为 a，b 不共线，所以由①②，得11＋ ＋11 ts＝＝3411s＋t＋st， ，
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解得st＝＝8392，，
或st＝＝－－11， (舍去)．
→
→
从而
|BP| →
＝92，|A→P|＝83.
|PM| |PN|
[答案]
8 3
9 2
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热点题型一
平面向量基本定理的应用
[例 1] 如图所示，在△OAB 的边 OA，OB 上分别取
点 M，N，使|O→M|∶|O→A|＝1∶3，|O→N|∶|O→B|＝1∶4，设
→
→
线段
AN
与
BM
交于点
P，则|A→P|＝__________，
|BP| →
＝
|PN|
|PM|
__________.
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要点点拨
1．平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面 的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底． (2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合， 并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示法是不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
热点题型二
平面向量的坐标运算
[例 2] 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b， (1)求：3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标．
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解析：②中 e2＝2e1，③中 e1＝4e2，故②③中 e1，e2 共 线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．
答案：A
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2．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b 等于( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
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变式训练 2 已知点 A(－1,2)，B(2,8)以及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， 求点 C、D 的坐标和C→D的坐标．
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[解] 设点 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 由题意得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－ x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， 所以有xy11＋ －12＝ ＝12 和－ 2－1－ y2＝x2＝ 2 1 . 解之 C(0,4)，D(－2,0)，C→D＝(－2，－4).
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2．向量的坐标与点的坐标的区别 设O→A＝xi＋yj，则向量O→A的坐标(x，y)就是点 A 的坐标； 反过来，点 A 的坐标(x，y)也就是向量O→A的坐标．因此，在 平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数惟一 表示．另一方面，向量的坐标只与表示向量的有向线段的起 点和终点的坐标差有关，而与两点的坐标无关．
[解析] 取O→A＝a，O→B＝b.因为点 B，P，M 共线，所以 记B→P＝sP→M.
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所以
→ OP
＝1＋1 s
→ OB
＋1＋s sO→M＝
1＋1 sO→B＋
s→ 31＋s OA
＝
1＋1 sb＋31s＋sa，①
同理，记A→P＝tP→N，所以O→P＝1＋1 ta＋41t＋tb，②
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基础自测
1．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，
e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)，能作为表示它
们所在平面内所有向量基底的是( )
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
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[规律总结] 利用平面向量基本定理解题的关键是选择 适当的向量作为基底，通常以同一顶点出发的不共线的两个 向量作为基底，若这两个向量互相垂直，则为最佳选择．
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变式训练 1 如图所示，已知在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，H，M 是 AD，DC 的中点，点 F 在 BC 上，且使 BF＝13BC，请以 a， b 为基底分解向量A→M和H→F.
解法二：∵向量 b 与向量 a 的夹角是 180°，∴b＝λa(λ<0)， ∴|b|＝|λ||a|，
又|a|＝ 5，|b|＝3 5，∴λ＝－3， ∴b＝－3(1，－2)＝(－3,6)． 解法三：注意到 A、B、C、D 四个选项均满足条件|b| ＝3 5，所以关键是利用好夹角这个已知条件，易知(－3,6) ＝－3(1，－2)，所以选 A. [答案] A
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2．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x12＋y21 .
第八页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
第二十八页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
[解] 由 H，M，F 所在位置，知 A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋12D→C＝A→D＋12A→B＝b＋12a. H→F＝A→F－A→H＝A→B＋B→F－A→H＝A→B＋13B→C－12A→D＝A→B ＋13A→D－12A→D＝a－16b.
第二十九页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
∴与A→B同向的单位向量为|AA→BB|＝(35，－45)．
答案：A
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4．设 a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量 λa＋b 与向量 c＝(－4， －7)共线，则 λ＝__________.
第十五页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
解析：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与 c＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得 λ＝2. 答案：2
件，因此，可设 b＝(x，y)，由 a，b 的夹角为 180°，得 a∥b，
∴1×y－(－2)·x＝0 ①；由|b|＝3 5得 x2＋y2＝45 ②，联 立①②解得xy＝＝3－6 或xy＝＝－6. 3， 当 b＝(3，－6)时，a 与 b 的夹角为 0°，不符合题意，∴b＝(－3,6)．
第三十九页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
第三十四页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
[规律总结] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要 选择一组恰当的基底来表示其他向量；利用已知向量表示未 知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算．
2．(1)由向量共线定理知，任意一个向量都可用一个与 它共线的非零向量来线性表示；而平面向量基本定理则说 明：平面内任一向量都可以用两个不共线的向量惟一表 示．(2)解题时，常与待定系数法、方程思想联系在一起解决 问题．
是将题目中的等量关系转化成含有未知数的两个方程； (3)在解题时，要灵活地运用不同的方法，如利用数形结
合，就可以直观地得到结果．
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变式训练 3 设坐标平面上有三点 A，B，C，i，j 分别是坐标平面上 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量A→B＝i－2j，B→C＝i ＋mj，那么是否存在实数 m，使 A，B，C 三点共线．
第四页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
理基础 明考向
悟题型 课时作业
第五页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
研
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知识梳理
1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量 e1，e2 叫表示这一平面内所有 向量的一组基底．
第十六页，编辑D，AB＝2CD，M，N 分别是
CD，AB 的中点，设A→B＝a，A→D＝b.若M→N＝ma＋nb，则mn ＝ __________.
第十七页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
解析：M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1.∴mn ＝－4. 答案：－4
第三十二页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
(2)由 a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.，
第三十三页，编辑于星期日：二十点 五十七分。
(3)∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴M→N＝(9，－18)．
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐 标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) ， |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 . 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 共线．