2013届高三数学数列章末检测题(带答案)

2013届高三数学章末综合测试题(8)数列
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知｛an｝为等差数列，若a3+a4+ a8= 9,则S9=()
A. 24
B. 27
C. 15
D. 54
解析B 由a3+a4+ a8= 9, 得3(a1 + 4d)= 9, 即a5= 3.则S9=9 dl + d9 2 = 9a5= 27.
2. 在等差数列｛an｝中，若a4+a6+a8+ a10 + a12= 120,则a9- 13a11 的值为()
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
解析a4 + a6+ a8+ a10 + a12= 120,「• 5a8= 120, a8 = 24,「. a9 —13a11 = (a8 + d)
—13(a8 + 3d)= 23a8= 16.
3. 已知｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn表示｛an｝的前n项的和，若
a1 = 3, a2a4= 144，则S5 的值是()
A.692
B. 69
C. 93
D. 189
解析C 由a2a4= a23= 144 得a3= 12(a3=—12 舍去)，又a1 = 3,各项
均为正数，则
q = 2•所以SAdl 1-q5 1—q = 3x 1-32 2= 93.
4. 在数列1,2, 7, 10, 13, 4,…中，219是这个数列的第几项（）
A. 16
B. 24
C. 26
D. 28
解析C因为a1 = 1 = 1, a2= 2= 4, a3=乙a4= 10, a5= 13, a6= 4= 16, …，
所以an = 3n —2.令an=3n—2= 219= 76,得n = 26.故选 C.
5. 已知等差数列的前n项和为Sn,若S130,则在数列中绝对值最小的项为（）
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.第8项
解析Cv S130,
••• a1 + a12= a6 + a7>0,「. a6>0,且|a6|>|a7|.故选C.
6.122—1 + 132—1 + 142—1+ …+ 1 口+1 2 —1 的值为（）
A.n+12 n+2 B,34-n+12 n+2
C.34- 121 n+ 1 + 1n + 2
D.32—1n +1 + 1n + 2
解析CT〔n + 1 2— 1 = 1n2+2n = ln n + 2 = 121 n—1n + 2,• Sn= 121 —13+ 12—14+ 13—15+ …+ 1n —1n + 2
=1232 —1n+ 1 —1n + 2= 34 —121 n+1 + 1n+ 2.
7. 正项等比数列｛an｝中，若Iog2(a2a98)= 4,则a40a60等于()
A.—16
B. 10
C. 16
D. 256
解析 C 由Iog2(a2a98)= 4,得a2a98= 24= 16,
则a40a60= a2a98= 16.
8. 设f(n) = 2+24 + 27+ 210+…+ 23n+ 10(n€ N),则f(n) =()
A.27(8 n—1)
B.27(8 n+ 1 —1)
C.27(8n + 3—1)
D.27(8 n+ 4 —1)
解析D T数列1,4,7,10,…，3n+ 10共有n + 4项，二血戸21—23
11
+ 4]1 —23= 27(8n+ 4—1).
9. △ ABC中，tanA是以一4为第三项，一1为第七项的等差数列的公差，tanB是以12为
第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是()
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.以上均错
解析 B 由题意知，tanA= — 1 —— 4 ] — 3 = 34> 0.
又T tan 3B= 412= 8,二tanB= 2> 0,二A、B 均为锐角.
又T tan(A+ B)= 34 + 21 —34 X 2—112V 0,二A+ B为钝角，即C为锐角，
•••△ ABC为锐角三角形.
10. 在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn= nm,前m项和Sm= mn,其中
m^n,贝卩Sm+n的值()
A.大于4
B.等于4
C.小于4
D.大于2且小于4
解析A由题意可设Sk= ak2 + bk(其中k为正整数),
则an2+ bn = nm, am2 + bm = mn,解得a= 1mn, b= 0,Sk= k2mn, ••• Sm+ n= m+n 加H>4™n = 4.
11. 等差数列｛an｝的前n项和为Sn(n= 1, 2,3,…)若当首项al 和公差d 变化时，a5+ a8+ all是一个定值，则下列选项中为定值的是
()
A. S17
B. S18
C. S15
D. S14
解析C 由a5+a8+ a11 = 3a1 + 21d = 3(a1 + 7d) = 3a8 是定值，可知a8 是定值.所以
S15-15牡+牡5 2= 15a8是定值.
12. 数列｛an｝的通项公式an =九［1 + 1 ,其前n项和为910,则在平
面直角坐标系中，直线
(n+ 1)x + y+n = 0在y轴上的截距为()
A. —10
B.—9
C. 10
D. 9
解析B v an= 1n—1n + 1,二Sn= 1 —12+ 12—13+…+1n —1n+ 1 = nn + 1,
由nn+ 1= 910,得n = 9,二直线方程为10x + y+ 9= 0,其在y轴上的截距为—9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中
横线上)13.设Sn是等差数列｛an｝(n€ N*)的前n项和，且a1= 1, a4= 7,贝H S5- _________ .
解析T al = 1, a4= 7,二d= 7—14— 1 = 2.
••• S5= 5a1 + 5X 5 —1 2d = 5X 15X 42X= 25.
【答案】25
14. _________ 若数列｛an｝满足关系a1 = 3, an+1 = 2an+1,则该数列的通项公式为_ .
解析T an+1 = 2an+ 1,二an + 1 + 1 = 2(an+1),
•数列｛an+1｝是首项为4,公比为2的等比数列，
•- an + 1 = 4?2 n —1 ,• a n = 2n +1 —1.
【答案】an=2n+ 1 —1
15. (2011?北京高考)在等比数列｛an｝中，若a1= 12, a4= —4,则公比q = ________ ; |a1| + |a2| +…+ |an| = ___________ .
解析T数列｛an｝为等比数列，
• a4= 12?q3= —4, q= —2; an= 12?(—2)n—1, |an| = 12?2n—1,
由等比数列前n项和公式得|a1| + |a2| +…+ |an| =2 1 — 2 =—12+ 12?2 n= 2n — 1 —12.
【答案】—22 n— 1 —12
16. 给定：an= logn+1(n+ 2)(n€ N*),定义使a1?a2?…？a为整数的数
k(k€ N*)叫做数列｛an｝的企盼数”则区间1,2013］内所有企盼数”的和M = _______ .
解析设a1?a2?…?a= Iog23?log34?…?logk(k1)?logk + 1(k + 2)= Iog2(k + 2)为整数m,
则k+2 = 2m,
k= 2m—2.
又1< k< 2013
••• 1< 2n—2< 2013
2< m< 10.
•区间1,2013］内所有企盼数”的和为
M = (22 —2)+ (23—2)+…+ (210—2)
=(22 + 23+…+ 210)—18
= 22x 1—29 1—2—18
=2026.
【答案】2026
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17. (10分)已知等差数列｛an｝的前三项为a,4,3a,前k项的和Sk= 2550,求通项公式an及k的值.
解析法一：由题意知，
a1 = a, a2 = 4, a3= 3a, Sk= 2550.
•••数列｛an｝是等差数列，
「• a + 3a = 2x4
二al = a= 2,公差 d = a2—al = 2,
an= 2 + 2(n—1)= 2n.
又sk=kai+k k-1 2*d，
即k?2+k k—1 2*2 =2550,整理，
得k2 + k—2550= 0,
解得k1 = 50, k2= —51(舍去),
an=2n, k= 50.
法二：由法一，得al = a= 2, d = 2,
an= 2 + 2(n—1)= 2n,
•-sn=n dl+和2=n 2+2n 2=n2+n.
又••• Sk= 2550,
••• k2 + k= 2550,
即k2 + k—2550= 0,
解得k=50(k= —51舍去).
• an=2n, k= 50.
18. (12分)(1)已知数列｛an｝的前n项和Sn=3n2—2n，求数列｛an｝的通
项公式；新课标
⑵已知数列｛an｝的前n项和为Sn= 3+ 2n，求an.
解析(1)n= 1 时，a1 = S1= 1.
当n》2时，
an= Sn— Sn— 1
=3n2 —2n —3( n—1)2 + 2(n—1)
=6n —5,
因为a1 也适合上式，
所以通项公式为an= 6n— 5.
(2)当n= 1 时，a1= S1= 3+ 2= 5.
当n》2时，
an=Sn—Sn—1=3+2n—(3+2n—1)=2n—2n—1=2n—1.
因为n= 1 时，不符合an=2n—1，
所以数列｛an｝的通项公式为
an= 5, n= 1, 2n—1, n迄
19．(12 分)有10 台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼．若同时投入至收割完毕需用24 小时,但现在它们是每隔相同的时间依次投入
工作的,每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的 5 倍．求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间？
解析设从第一台投入工作起, 这1 0台收割机工作的时间依次为a1,a2, a3,…，a10小时，依题意，｛an｝组成一个等差数列，每台收割机每小时工作效率是1240，且有
a1240+ a2240+…+ a10240= 1,① a1 = 5a10,②
由①得，a1+a2+…+ a10= 240.
•••数列｛an｝是等差数列，
二dl+dlO X102 = 240,即a1 + a10= 48.③
将②③ 联立，解得a1 = 40(小时)，即用这种方法收割完这片土地上的庄稼共需40小时.
20. (12 分)已知数列｛an｝满足a1 = 5, a2= 5, an+ 1 = an + 6an—1.
(1) 求证：｛an+ 1 + 2an｝是等比数列；
(2) 求数列｛an｝的通项公式；
(3) 设3nbn = n(3n —an),求|b1| + |b2| +…+ |bn|.
解析(1)丁an+ 1 = an+ 6an—1,
an+ 1 + 2an= 3an+ 6an—1 = 3(a n+ 2an—1).
又a1 = 5, a2 = 5,
二a2 + 2a1 = 15,
an + an+ 1工0
an+ 1 + 2anan+2an—1 = 3,
数列｛an+1+2an｝是以15为首项，
3为公比的等比数列.
⑵由(1)得an+ 1 + 2an= 15x 3—1 = 5X 3n
即an+ 1 = —2an + 5x 3n
…an + 1 —3n + 1 = —2(an—3n).
又••• a1 — 3 = 2,
/. an—3n M0
••• {an—3n}是以2为首项，—2为公比的等比数列.
--an —3n = 2x —2)n —1,
即an= 2X(2)n—1+3n(n€ N*).
⑶由⑵及3nbn = n(3n —an),可得
3nbn= —n (a n —3n) = —n2 X( 2) n—1] = n(—2)n, bn = n —23n,
|bn| = n23n.
••• Tn = |b1| + |b2| +…+|bn|
=23+ 2X23+ …+n X23n ①
①X 23得
23Tn= 232 + 2X 23+ …+ (n—1) X 23+n X 23+1,②①—②得
13Tn= 23 + 232 +…+ 23n —n X 23+ 1
=2 —3X 23+ 1 —n23 n+ 1
=2—(n + 3)23 n+ 1,
•- Tn= 6 —2( n + 3)23 n.
21. (12 分)已知函数f(x)满足f(x+ y)= f(x)?f(y)且f(1)= 12.
(1) 当n€ N*时，求f(n)的表达式；
(2) 设an=n?f(n) ,n € N*,求证：a1+ a2+ a3+ …+ an(3)设bn = (9 —叩“+ 1 f fl ,n€ N* , Sn为｛bn｝的前n项和，当Sn最大时，求n的值.
解析(1)令x= n, y= 1,
得f(n + 1)= f(n)?f(1) = 12f(n),
••• ｛f(n)｝是首项为12,公比为12的等比数列，
即f(n)=12n.
(2)设Tn为｛an｝的前n项和，
T an= n ?f(n )= n?12 n,
••• Tn=12+ 2X 12+ 3X 12+ …+ n X 12n
12Tn= 122 + 2X 12+ 3X 12+ …+ (n- 1) X 12+n X 12+1,
两式相减得
12Tn= 12 + 122+…+ 12n—n X 12+ 1,
整理，得Tn= 2—12n— 1 —n X 12n(3)fn)= 12n,
•bn = (9-n)f n + 1 f n
=(9 —n )12 n+ 112 n= 9—n2,
•••当nW8时，bn>0;当n= 9 时，bn = 0;
当n>9时，bn •••当n = 8或9时，Sn取到最大值.
22. (12 分)设数列｛an｝满足a1 + 3a2 + 32a3 +…+ 3n—1an=n3(n€ N*).
(1) 求数列｛an｝的通项；
(2) 设bn = nan,求数列｛bn｝的前n项和Sn.
解析(1)T a1 + 3a2 + 32a3 + …+ 3n —1an = n3,①
•a1 = 13,
a1 + 3a2 + 32a3 + …+ 3n—2an—1 = n —13(n》2)②
①—② 得3n —1an = n3—n —13= 13(n》, 化简得an=13n(n >2)
显然a1 = 13也满足上式，故an= 13n(n €N*).
⑵由①得bn = n?3n.
于是Sn=1?3 + 2?32 + 3?33 +…+ n?3n,③
3Sn= 1?32 + 2?33 + 3?34 +…+ n?3n+ 1,④
③—④ 得—2Sn= 3+32+33+…+ 3n —n?3n+ 1, 即—2Sn= 3- 3n + 11 —3-n?3n + 1,
Sn= n2?3n+ 1－14?3n+ 1+ 34.。