2017届高考数学一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-2

＝ x21＋y12，|a＋b|＝ x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0
.
4．向量的夹角
已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．如 果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b .
典例2
(1)在平面直角坐标系中，点 O(0,0)，P(6,8)，将向量O→P绕点 O 按逆时针方向旋转34π后得向
量O→Q，则点 Q 的坐标是( )
A．(－7 2，－ 2) B．(－7 2， 2)
C．(－4 6，－2) D．(－4 6，2)
(2)[2013·北京高考]向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝ ___4_____.
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小题快做 1.思考辨析 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ ) (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
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考点多维探究
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考点 1 平面向量基本定理的应用 回扣教材 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实 数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底． 把一个 向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解．
∴C→M·C→N的取值范围是[4,6]，故选 D.
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2．[2013·江苏高考]设
D，E
分别是△ABC 1
的边
AB，BC
上的点，AD＝21AB，BE＝32BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C
(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为___2_____．
解析 D→E＝D→B＋B→E＝21A→B＋23B→C＝12A→B＋32(A→C－A→B)＝－61A→B＋23A→C， ∵D→E＝λ1A→B＋λ2A→C，∴λ1＝－16，λ2＝23，故 λ1＋λ2＝21.
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解法二：以 C 为原点建立平面直角坐标系，则 A(3,0)，B(0,3)，设 M(a,3－a)，N(b,3－b)且 0≤a≤3,0≤b≤3， 设 a>b，∵MN＝ 2，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1,0≤b≤2，∴C→M·C→N＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b－1)2 ＋4，当 b＝1 时取最小值 4，当 b＝0 或 2 时取最大值 6.
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3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且A→B＝a，A→D＝b，则B→E＝( )
A．b－21a C．a＋12b
B．b＋12a D．a－12b
解析 B→E＝B→A＋A→D＋D→E＝－a＋b＋21a＝b－12a.
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小题快做 1.思考辨析 (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( × ) (2)在△ABC 中，向量A→B，B→C的夹角为∠ABC.( × ) (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx12＝yy12.( × )
高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示， 示．
将几何问题转化为代数问题来解决，一般以选择题 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与 或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件， 数乘运算．
应用向量的平行或垂直关系进行转换．解题时要注 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
意向量基础知识的掌握及工具性的应用.
(1)[2014·福建高考]在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
(2)[2015·北京高考]在△ABC
中，点
M，N
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4．[教材改编]已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2，λ)，若 A，B，C 三点共线，则 λ＝___5_____. 解析 A→B＝(2,4)，B→C＝(1，λ－3)，由 A，B，C 三点共线可得A→B∥B→C，即 2(λ－3)＝4，解得 λ＝5.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
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考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，本讲内容是高考中的一个 1.了解平面向量的基本定理及其意义．
热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表
满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则
1 x＝___2_____，
y＝__－__16____.
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解析 (1)解法一：若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，而 a 不能由 e1，e2 表示，排除 A；若 e1＝(－1,2)， e2＝(5，－2)，因为－51≠－22，所以 e1，e2 不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a＝(3,2)表示出来， 故选 B.
解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，排除 A；若 e1 3＝－λ＋5μ，
＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以2＝2λ－2μ， λ＝2，
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解析 (1)由题意，得|O→P|＝10，由三角函数定义，设 P 点坐标为(10cosθ，10sinθ)，则 cosθ＝35，sinθ ＝45.则 Q 点的坐标应为10cosθ＋34π，10sinθ＋34π.
由三角知识得 10cosθ＋34π＝－7 2， 10sinθ＋34π＝－ 2， ∴Q(－7 2，－ 2)．故选 A.
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2．如果 e1，e2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组 基底的是( )
A．e1 与 e1＋e2 C．e1＋e2 与 e1－e2
B．e1－2e2 与 e1＋2e2 D．e1＋3e2 与 2e1＋6e2
解析 因为 e1＋3e2＝21(2e1＋6e2)， 所以 e1＋3e2 与 2e1＋6e2 共线．故选 D.
解得μ＝1， 所以 a＝2e1＋e2，故选 B.
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(2)由A→M＝2M→C知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，由B→N＝N→C知 N 为 BC 的中点，作出草图如下：
则有A→N＝21(A→B＋A→C)，所以M→N＝A→N－A→M＝12(A→B＋A→C)－23·A→C＝21A→B－16A→C，又因为M→N＝xA→B＋yA→C， 所以 x＝12，y＝－16.
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考点多维探究
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考点 2 平面向量的坐标运算 回扣教材 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i、j 作为基底，对于平面内的 一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，我们把 (x，y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的 坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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【跟踪训练】
1．[2016·郑州一检]在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN＝ 2，则C→M·C→N 的取值范围为( )
A.2，25 C．[3,6]
B．[2,4] D．[4,6]
解析 解法一：记 MN 的中点为 E，则有C→M＋C→N＝2C→E，C→M·C→N＝41[(C→M＋C→N)2－(C→M－C→N)2]＝C→E2
4．在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，A→N＝3N→C，M 为 BC 的中点，则M→N＝__－__14_a_＋__14_b___(用 a，b 表示)． 解析 M→N＝M→C＋C→N＝12A→D－14A→C ＝12b－41(a＋b)＝－41a＋14b.
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典例1
A.
|AB|
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3．设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. 5 C．2 5
B. 10 D．10
解析 由ba∥⊥cc， ⇒22xy－ ＋44＝ ＝00， ⇒xy＝ ＝2－，2， ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝ 10.
－14M→N2＝C→E2－12.又|C→E|的最小值等于点
C
到
AB
的距离，即3
2
2，故C→M·C→N的最小值为3
2
22－12＝4.当点
M 与点 A(或 B)重合时，|C→E|达到最大，|C→E|的最大值为
1232－12＝6，因此C→M·C→N的取值范围是[4,6]，选 D.
3
2
22＋
22＝
123，故C→M·C→N的最大值为
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2．[2013·辽宁高考]已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A→B同方向的单位向量为( )
A.53，－45 C.－35，45
B.45，－53 D.－45，35
Hale Waihona Puke 解析 A→B＝(3，－4)，|A→B|＝5.
→
与A→B同方向的单位向量为
AB →
＝35，－54，故选
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1.应用平面向量基本定理表示向量的实质 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数 乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 2．应用平面向量基本定理的关键点 (1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． (2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示 出来． (3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相 似等． 3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量 的运算． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量 表达式.
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2．平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)．
(2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝(λx1，λx2，) |a|
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(2)建立如图所示的坐标系．则 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)． 由 c＝λa＋μb＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)． 得－ λ＋λ＋ 2μ6＝μ＝ －－ 3，1，