考虑通胀指数债券的最优投资-闲暇与自愿退休选择

考虑通胀指数债券的最优投资-闲暇与自愿退休选择
余鹏;张繁红;费为银;恽珍
【摘要】现代经济生活中通货膨胀不可避免,它会对人们的消费-投资、闲暇与自愿退休选择产生影响.文中探讨了经济代理人面对通胀不确定环境如何做出最优消费-组合投资、闲暇和自愿退休选择.代理人的投资机会集包括无风险资产、风险资产和通胀指数债券.用随机微分方程刻画资产价格、通胀水平以及通胀指数债券价格动力学行为,在代理人消费和闲暇预期累计效用最大化目标下,通过动态规划原理,获得关于代理人消费-组合投资、闲暇和自愿退休选择的最优决策闭型解.利用数值模拟分析了通胀波动风险对最优消费和组合投资的影响.发现在低闲暇、高闲暇和退休后三个阶段,代理人面对通胀风险其最优消费-组合投资、闲暇的比重是不同的.【期刊名称】《安徽工程大学学报》
【年(卷),期】2019(034)001
【总页数】8页(P65-72)
【关键词】通胀指数债券;闲暇与自愿退休;Cobb-Douglas效用;动态规划;随机分析
【作者】余鹏;张繁红;费为银;恽珍
【作者单位】安徽工程大学数理学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学数理学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学数理学院,安徽芜湖 241000;安徽工程大学数理学院,安徽芜湖 241000
【正文语种】中文
【中图分类】O211.63;F830.9
Merton[1]于1969年利用动态规划原理解决连续时间最优消费与组合投资问题,随后,一系列拓展模型不断完善现实框架.Bodie[2]等将代理人的劳动收入和闲暇纳入
连续时间最优消费与组合投资模型中,其中代理人劳动供给是弹性的.Choi[3]等讨论了代理人最优自愿退休与消费决策问题,其中代理人可自由选择何时退休,而他选择
工作即可获得劳动收入，同时伴有因劳动产生的效用损失.代理人一旦选择退休就
避免了因劳动产生的效用损失，但同时也失去了劳动收入.在代理人劳动收入具有
随机性的情况下,利用对偶方法,Barucci[4]等分析了最优消费、劳动供给和退休时
机选择.退休选择权具有相机而择时,Lee[5]等研究了代理人的最优消费、投资组合
和闲暇,其中代理人的效用由不变替代弹性效用(CES型)刻画.
伴随经济的发展,通货膨胀不可避免,适度的通胀可以促进经济快速发展,但通胀水平过高对经济的健康发展会起到阻碍作用,尤其通胀不确定性的加大往往会改变人们
的预期，从而影响人们的消费投资行为.在通胀不确定下,Munk[6]等分析了代理人
在现金账户、名义债券和股票上的最优动态资产配置问题,而Bensoussan[7]等研
究了在物价水平完全可观察和不可观察下最优组合投资和消费.利用鞅方法,Kwak[8]等刻画了通胀对家庭最优消费、组合投资和人寿保险决策的影响.在通胀不确定下
的最优消费和组合投资也为国内许多学者研究.例如，姚海祥[9]等研究了通货对投
资终止时间不确定最优投资组合的影响.基于跳扩散环境,费为银[10]研究了通胀对
投资者资产配置的影响．
基于上述分析可以发现,在代理人的消费-组合投资、闲暇与自愿退休选择框架下,应该考虑通胀不确定对代理人决策的影响.Koo[11]结合通胀因素分析了最优组合投资、消费、闲暇和自愿退休选择,利用动态规划原理建立了代理人值函数所满足的HJB
方程,并给出了最优组合投资、消费、闲暇与自愿退休选择策略.陈雅豪[12]等研究
了通胀不确定下最优消费-投资组合与自愿退休选择问题,其中效用仅仅来自代理人消费的效用,没有考虑代理人的闲暇对其效用的影响.文章在考虑代理人消费和闲暇两个变量给其带来效用(用Cobb-Douglas效用函数刻画)的前提下,研究了代理人的效用优化问题.其中投资机会集中不仅有无风险债券、风险股票,还有通胀指数债券.这使得模型的分析和结论更具有一般性,得到了更具现实经济意义的结论.由于引入闲暇，代理人的效用不同于传统仅依赖于消费一个变量，而是依赖消费和闲暇两个变量，用Cobb-Douglas效用函数刻画，由此带来的分析发生了本质的改变；由于通货膨胀的引入，使得最优策略的分析不同于现有文献的工作，为得出结论需要随机分析技术，方法上有一定的创新；正因为考虑代理人的闲暇、消费-投资组合和退休选择与宏观经济变量通胀的紧密联系使得研究问题更切合实际，具有较高的应用价值.
1 基本模型
假设金融市场所有随机过程关于完备带流概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)都是适应的，W(t)和Z(t)是其上的Brown运动.用居民消费价格指数(CPI)度量通胀水平P(t),其服从随机微分方程
式中，μp是预期通胀率;σp>0是通胀波动率．
经济代理人在三种资产上投资,一种是名义利率为R的无风险资产或银行账户,另一种可投资的是预期收益率为μs和波动率为μs>0的风险股票,还有一种是实际利率为r的通胀指数债券.用下列随机微分方程分别描述无风险债券名义价格BN(t),股票名义价格SN(t)以及通胀指数债券名义价格IN(t)
设为代理人t时刻在无风险资产上投资的名义资金数量,和分别为代理人在t时刻投资于指数债券的名义资金数量和股票的名义资金数量,表示代理人的资产组合过程.cN(t)和wN(t)表示代理人t时刻名义消费率和名义工资率,且cN(t)>0．假设退休前代理人的闲暇率lt满足退休后,代理人可尽情地享受闲暇而表示劳动率与闲暇率之和,于是为代理人在t时刻的劳动率.此时,代理人获得的名义劳动收入.L就是代理人退休前最大闲暇率.令τ是代理人自愿退休的时刻,那么闲暇率可表示为
于是代理人名义财富过程XN(t)满足
设X(t)是代理人在时刻t的真实财富量,满足依据Ito公式可得
设π0(t)、π1(t)和π2(t)分别是代理人在时刻t投资于无风险资产的真实资金额、通胀指数债券的真实资金额以及股票的真实资金额;π:={π0(t),π1(t),π2(t)}是代理人的资产组合过程;ct是代理人在时刻t的真实消费率,且ct>0；X(t)、π(t)和lt适应于{Ft}t≥0,且有csds<∞,lsds<∞,t≥0.为了简化问题的分析，加之代理人心理上预期真实收入是个定值,假设代理人真实工资率为常数w,且名义工资率定义为
wN(t)=w·P(t).于是代理人真实财富过程
(1)
其中,为代理人未来的劳动收入折现价值.如果代理人的财富水平不低于就可以消费和组合投资.假设W(t)和Z(t)相关系数是ρ(-1<ρ<1),于是存在与Z(t)独立的标准Brown运动U(t)使得：于是式(1)可变为
2 代理人效用优化
代理人最大化期望贴现消费和闲暇累计效用的值函数为
(2)
其中,主观贴现率β>0,A(x)表示所有允许策略(c,l,π,τ)之集并满足
其中,u-:=max(-u,0).代理人既要消费又要闲暇,两者的效用可以用如下Cobb-Douglas效用函数刻画
且γ≠1,
(3)
其中,代理人相对风险厌恶系数为γ;α为常数参量,用来度量代理人的消费份额.若令γ1:=1-α(1-γ),式(3)变为
假设1 下列变量满足
其中，
在式(2)中,代理人退休后的值函数U(·)与经典Merton问题类似,退休后的值函数
(4)
假设k+>0和k-<-1是式(5)方程的两个根
(5)
定理1刻画了代理人最优消费、闲暇、组合投资和自愿退休策略
定理1 在上述假设下，最优消费、闲暇、组合投资和自愿退休选择为
其中,是当闲暇l达到L时,与消费边界对应的临界财富水平是与最优退休时刻τ对应的临界财富水平,且和由下面的式子给出：
由下列代数方程确定：
ξ和ζ是下列代数方程的解：
证明当0≤t<τ,0≤l<L时,优化问题的值函数满足下列HJB方程
根据一阶条件,可得(c,l,π0,π1,π2)关于V(x)的表达式,再代入上述方程整理得值函数如下
当0≤t<τ,l=L时,优化问题的值函数满足下列HJB方程
由一阶条件,经整理可得值函数
接下来要确定系数A2,B1,B2和对应的边界首先在处考虑值函数V(·)的价值匹配条件,再在处考虑V″(x)的连续性,最后考虑V(·)在处的连续性,于是如果能找到B2,就能得到B1和A2.现基于处值函数V(·)的光滑粘贴条件,以及在处考虑V(·)的连续性可得关于的代数方程中的B2.综上所述,值函数V(·)与系数和都已得到.再利用最优策略(c,l,π1,π2,π3)关于V(x)的表达式可证得本定理.限于篇幅,略去详细推导过程.于是定理证毕.
3 数值模拟和经济学解释
利用MATLAB数值模拟直观分析通胀不确定性对最优消费与组合投资的影响.
通胀波动率σp对最优投资π2影响如图1所示.图1a和图1b表示财富在时,代理人的劳动供给量与闲暇可由代理人自由分配.图1a显示相关系数ρ=0.5时代理人投资随通胀波动率的变化情况.投资随着通胀不确定性增加而增加.原因之一是通胀不确定程度较小,即温和通胀时,代理人心理预期市场走势好,增加投资可以增值保值;
另一个原因是代理人的收入是不固定的,如果某个时刻投资遇到亏损,他可以在下个时刻减少闲暇并增加工作时间来增加劳动收入以弥补亏损,因此股票投资呈现上升趋势.图1b显示相关系数ρ=-0.5时代理人投资随通胀不确定性的变化情况.由图1b可知，投资随着通胀不确定性增加而减少.原因之一是风险资产收益与通胀风险呈负相关,当通胀风险增加时,股票收益会减小,因此代理人会减少在股票上的投资;另一个原因是通胀不确定性增加,市场风险加大,代理人比较担忧未来收益,从而减少股票投资.
图1c和1d表示代理人财富在范围时,他的闲暇达到退休前最大值,收入为图1c表示相关系数ρ=0.5时代理人投资随通胀不确定性的变化趋势.随着通胀不确定性增加,股票投资先增加后减少.由于此阶段代理人的收入没有前一段的高,当通胀不确定适度时,代理人想利用增加投资获得更多的收益.随着通胀不确定性加大到一定程度后,市场预期收益越来越不稳定,代理人更加担心投资出现亏损,而此阶段收入是常值,代理人无法通过调节收入来弥补亏损,从而降低投资.图1d表示相关系数ρ=-0.5时投资随通胀不确定性的变化趋势.此阶段代理人股票投资随着通胀不确定性增加而减少.原因是通胀风险与风险资产收益呈负相关,通胀不确定性增加,会使得资产收益一定程度上减小,由于此阶段代理人劳动收入为常数,故代理人减少投资.
图1e和1f表示代理人财富在时,退休之后投资的变化趋势.图1e表示相关系数
ρ=0.5时代理人股票投资随通胀不确定性的变化趋势.随着通胀不确定性增加,投资也会一直增加．原因是代理人退休之后,他的财富有一定积累,但不再有收入来源,代理人需要增加股票投资增加收益.图1f表示相关系数ρ=-0.5时代理人股票投资随通胀不确定性的变化趋势.由于代理人已经退休,且没有了收入,通胀不确定性增加可能会使代理人担心市场不稳定,进行股票投资风险加大,于是减少投资.
图1中每个图都由三条线组成.其他参数不变,仅改变代理人相对风险厌恶系数,观察通胀不确定性对最优股票投资的影响.由图1可知,对风险厌恶越高,代理人的投资意
愿越低．
图1 通胀波动率σp对最优投资π2的影响
通胀波动率σp对消费水平Ct的影响如图2所示.图2a表示代理人财富在时,他可
自由分配劳动供给量与闲暇.随着通胀不确定性增加,消费先减小后增加.先减小是因为此时股票投资的增加,同时从代理人消费心理来看,从过低的通胀不确定性到温和
的通胀,逐渐降低了代理人的消费欲望.而后随着通胀不确定性的加大,一方面代理人不愿更多的风险投资,因此有更多的资金用于消费.另一方面代理人担心货币贬值,从而促使代理人提前消费.两方面的原因使得代理人消费增加.图2b表示代理人财富
在时,他的闲暇在退休前达到最大,劳动收入为此时代理人消费水平随着通胀不确定
性增加而呈现先减小后增加态势．原因是代理人股票投资随着通胀不确定性增加呈现先增加后减小趋势,又因为代理人在此阶段收入是个常数,于是代理人消费与股票
投资会呈现相反的走势．
图2 通胀波动率σp对消费水平Ct的影响
4 小结
通货膨胀成为经济活动过程中不可忽视的因素.经济代理人的财富往往因通胀而贬值，基于通胀不确定风险，代理人如何做出最优的决策是需要研究的基本问题.假
设代理人考虑消费-投资、闲暇和退休选择，代理人的闲暇虽然会给代理人带来效用，但由于劳动时间的减少而工资收入降低，从而减少了代理人的财富；另一方面，代理人可以选择提前退休以便享受更多的闲暇，但提前退休也会减少代理人的财富积累，所以需要在消费、闲暇与劳动时间之间进行权衡，从而达到消费、闲暇的生命周期内预期累积效用最大化.为了解决优化问题，利用随机分析和随机控制方法
解决代理人的消费-投资、闲暇与退休选择问题，得出代理人的最优决策.将代理人生命周期分为低闲暇、高闲暇和退休后三个阶段，通过求解方程,获得关于消费、
闲暇、投资和退休的最优决策.通过数值模拟发现，随着代理人财富的增加,其消费
和投资也会一定程度地增加.面对变化的通胀波动率时,代理人为了减小风险、增加收益,在不同的阶段会选择不同的最优投资-消费、闲暇策略.所得结论可以给代理人在金融市场的投资-消费、闲暇和退休选择决策提供一定的理论指导．
参考文献：
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