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绵阳市高2018级第一次诊断性考试
数学 (理工农医类)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
1．已知集合P ={－1，0，1}，Q ={y ︱y =sin x ，x ∈P }，则P ∩Q 是C A ．{－1，0，1} B ．{0，1} C ．{0} D ．{1}
2．设两个集合A ={1，2，3，4，5}，B ={6，7，8}，那么可以建立从A 到B 的映射个数是 B
A ．720
B ．243
C ．125
D ．15
3．若不等式∣ax + 2∣＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 A A ．－4 B ．4 C ．－8 D ． 8
4．已知函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则f (x －4)的图象过 D A ．(－3，1) B ．(1，5) C ．(1，－3) D ．(5，1) 5．已知x x f x f 26log )()(=满足函数 ，那么f (16) 等于 D
A ．4
B ．34
C ．16
D ．3
2
6．定义在实数集R 上的函数y =f (－x )的反函数是)(1x f y -=-，则 A A ．y =f (x )是奇函数 B ．y =f (x )是偶函数
C ．y =f (x )既是奇函数，也是偶函数
D ．y =f (x )既不是奇函数，也不是偶函数 7．下列求导正确的是 B
A ．211)1(x
x x +='+ B ．2ln 1
)(log 2x x ='
C ．)3('x =3x ·log 3e
D ．)cos (2'x x =－2x sin x
8．设随机变量ξ的分布列为,3,2,1,)3
1
()(===i a i P i ξ则a 的值是 D
A ．1
B ．139
C ．13
1 D ．
1327
9．)321132112111(lim n
n +++++++++++
∞→ 的值为 A
A ． 2
B ． 0
C ． 1
D ． 不存在
10．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为C
A ．
B ．
C ．
D ．
11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，且不受其它投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ B
A ．4.06.01⨯-k
B ．76.024.01⨯-k
C ．6.04.01⨯-k
D ．24.076.01⨯-k
12．我们用记号θi e 来表示复数cos θ +i sin θ，即θθθsin cos
i e i += (其中e = 2.71828…是自然对数的底数，θ 的单位是弧度)．则：
① i e i 222=π； ②
θθθsin 2
=+-i i e
e ； ③ 01=+πi e ． 其中正确的式子代号为 C
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．②③
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了
m 个员工，那么这一部门的员工数是 ．n
mN
14．=+-+-→)1
3
11(
lim 31x x x ．－ 1 15．计算：=-3
)2
321(i ． －1
16．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0(2)
0(21)(x ax x ax x f )0(≠a a 是实常数且，下列表述不正．．
确．
的是 ．(填写答案序号) ① ③ ④
① 它是一个奇函数； ② 它在每一点都连续；③ 它在每一点都可导；④ 它是一个增函数； ⑤ 它有反函数．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分) 设随机变量ξ 服从正态分布：ξ ~ N (1，22)，试求：
(Ⅰ) )20(≤<ξP ；
(Ⅱ) 求常数c ， 使 )(32)(c P c P >=≤ξξ．
参考数据：Φ(0)=0.5；Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772；Φ(0.5)= 0.6915；Φ(1.88)=0.9697；Φ(3)=0.9987．
17．解： (Ⅰ) 由)0()2()20(F F P -=≤<ξ=)2
1
0()212(-Φ--Φ =)5.0()5.0(-Φ-Φ=21)5.0(-Φ =216915.0-⨯=0.3830．
(Ⅱ) 由已知可得 )](1[32)(c P c P ≤-=≤ξξ， ∴ 32)(33=≤c P ξ，
即 32)21
33=-Φc （， ∴ 9697.0)21
(=-Φc ， ∴ 88.121
=-c ， c =4.76．
18．(本题满分12分) 已知函数332
+-=x x a y 在[0，2]上有最小值8，求正数a 的值．
解：设43
)23(3322+-=+-=x x x u ，
当x ∈[0，2]时，可得]3,43
[∈u ．
(1) 若a ＞1时，则84
3mi n ==a y ，解得a =16＞1．
(2) 若0＜a ＜1时，则83mi n ==a y ，解得a =2，此与0＜a ＜1矛盾，舍去．
故正数a =16．
19．(本题满分12分) 已知p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2 ≤ 0 (m ＞0)，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：解不等式可求得：
p ：－2≤x ≤3， q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)． 则 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，
⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．
由已知 ⌝p ⇒⌝q ，得
A B ，从而 310.
0,
332,
232≤<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤+-≥-m m m m ． (上述不等式组中等号不能同时取)．
经验证．．3
1
0≤<m 为所求实数m 的取值范围．
20．(本题满分12分) 已知f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )=x 2－x －2，解不等式f (x )＞0．
解： 设x ＞0，则 －x ＜0．
∴ f (－x )=(－x )2－(－x )－2=x 2+x －2． 而f (x ) 是奇函数， ∴ f (－x )=－f (x )，
于是 f (x )=－x 2－x +2，x ＞0．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+--=.0,2;
0,2)(22
x x x x x x x f
(1) 由 ⎩⎨⎧>+-->02,02x x x 得 )1,0(0)1)(2(,
0∈⇒⎩⎨⎧<-+>x x x x ．
(2) 由 ⎩⎨⎧>--<0
2,02x x x 得 10)1)(2(,
0-<⇒⎩⎨⎧>+-<x x x x ．
综上所述，不等式f (x )＞0的解集为{x ∣x ＜－1或0＜x ＜1}．
21．(本题满分12分) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ
E ξ=x (1－p )+(x －a )·p =x －ap ．
为使公司收益的期望值等于a 的百分之十， 只需E ξ=0.1a ，即x －ap =0.1a ， 故可得x =(0.1+p )a ．
即顾客交的保险金为(0.1+p )a 时，可使公司期望获益10%a ．
说明：当事件E 发生的概率较小时，即使赔偿数目较大，保险公司仍可获益．例如当P =0.001，a =10000元时，根据上述赔偿办法，顾客只需交纳(0.1+0.001)×10000=1010元保险金，但保险公司仍可期望获益10%a=1000元，当保险公司的顾客较多时，其效益十分可观．
22．(本题满分14分) 已知函数ax x x f +-=)2ln()(在开区间(0，1)内是增函数．
(Ⅰ) 求实数a 的取值范围；
(Ⅱ) 若数列{a n }满足a 1∈(0，1)，)()2ln(*1N ∈+-=+n a a a n n n ，证明：
101<<<+n n a a ．
(Ⅲ) 若数列{b n }满足b 1∈(0，1)，)()2ln(2*1N ∈+-=+n b b b n n n ，问数列{b n }是否单调？
(Ⅰ) 解：a x x f +--
='21
)(，由于f (x )在(0，1)内是增函数， ∴ 0)(>'x f ，即 021
>+--
a x
在x ∈(0，1)时恒成立． ∴ 2
1
-->x a 恒成立，
而 －2＜x －2＜－1，
∴ 21
211-<-<
-x ， 即 12
1
21<--
<x ， ∴ a ≥1即为所求．
(Ⅱ) 证明：由题设知，当n =1时，a 1∈(0，1)．
假设当n =k 时，有a k ∈(0，1)，则
当n =k +1时，有0)2ln(1>+-=+k k k a a a 且1)2ln(1<+-=+k k k a a a (由第一问知f (x )=ln(2－x )+x 在(0，1)上是增函数)，
∴ n =k +1时命题成立，故0＜a n ＜1，n ∈N *． 又 ∵ 0)2ln(1>-=-+n n n a a a ，
∴ 101<<<+n n a a ．
(Ⅲ) 数列{b n }不具有单调性．
令 211=b ， 则 )2,1(2
1
49ln 21)212ln(2)2ln(2112∈+=+-=+-=b b b ，
∴ b 2＞b 1．
又 ∵ 1＜b 2＜2，0＜2－b 2＜1， ∴ ln(2－b 2)＜0， ∴ 2223)2ln(2b b b b <+-=． 由此表明数列{b n }没有单调性．。