湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 一元二次方程
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根据题意，得 751 x2 108.
整理，得 25x2 50x 11 0. ②
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条 宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)， 把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？
cm，则盒底的长为(100－2x)cm， 宽为(50－2x)cm，根据方盒的底
3600 cm2
50 cm
面积为 3600 cm2，得
x
该方程中未知数 的100个cm数和最高次
化简，得 x2 75x 350 0 ①
数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间 都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?
解：根据题意，列方程 1 x(x 1) 28. 2
化简，得
x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
列方程
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是 2
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二 次方程的必要条件
（其中 π 取 3）； 解：设由于圆的半径为 x cm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意，得 200150 3x2 200150 3 .
整理，得
x2 2500 0. ①
4
200 cm
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来 汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为 x，
(2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程．
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
相同点
都是整式方程，且只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2
特点:
①都是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是 2.
知识要点 一元二次方程的概念
如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是 只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫 作一元二次方程.
一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0).
这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
思考：上式可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项
系数又是多少？常数项是多少呢？
可以， 其中二次项系数是 3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 去括号， 得 5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4. 移项， 合并同类项， 得 5x + 11 = 0， 这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
观察与思考
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这两 个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共 同特点呢？
x2 2500 0 ① 25x2 50x 11 0 ② x2 - 36x＋35 = 0 ③
2x + 3
代数式
5x + 6 = 22 一元一次方程 x + 3y = 8 二元一次方程
x - 5＜18
4 29 x
不等式 分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 想一想：什么是
(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 一元二次方程呢？
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x + 2 = 5x - 2； 不是
x2 = 0；
是
(x + 3)(2x - 4) = x2； 是
3y2 = (3y + 1)(y - 2)； 不是
x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1.
不是 是
3.关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0，
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程
叫做一元一次方程.
讲授新课
一元二次方程的概念 问题1：如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面
积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程
150 cm
练一练： 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程
一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及
它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x， 系数是 -8；常数项是 -10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
32
20
x
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0. ③
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时， 按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程， 再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
变式 方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0， （1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程 ？ （2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程 解？：(1)当 2a − 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二 次方程；
当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． 当 k ＝−1 时，是一元一次方程．
4.(1)有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四
角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能
制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为
3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为 x
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一 次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？ b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
含两个未知数
B. 3x2 5xy y2 0
第2章
九年级数学上（XJ） 教学课件
一元二次方程
2.1 一元二次方程
导入新课
讲授新课当堂练习课来自小结学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关题. (重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？ 2 + 6 = 8 没有未知数
C. (x 1)(x 2) 0
D. 4x2 1 (2x 3)2
化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程.
例3 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其 中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 解：（1）去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0，
整理，得 25x2 50x 11 0. ②
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条 宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)， 把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？
cm，则盒底的长为(100－2x)cm， 宽为(50－2x)cm，根据方盒的底
3600 cm2
50 cm
面积为 3600 cm2，得
x
该方程中未知数 的100个cm数和最高次
化简，得 x2 75x 350 0 ①
数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间 都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?
解：根据题意，列方程 1 x(x 1) 28. 2
化简，得
x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
列方程
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是 2
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二 次方程的必要条件
（其中 π 取 3）； 解：设由于圆的半径为 x cm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意，得 200150 3x2 200150 3 .
整理，得
x2 2500 0. ①
4
200 cm
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来 汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为 x，
(2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程．
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
相同点
都是整式方程，且只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2
特点:
①都是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是 2.
知识要点 一元二次方程的概念
如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是 只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫 作一元二次方程.
一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0).
这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
思考：上式可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项
系数又是多少？常数项是多少呢？
可以， 其中二次项系数是 3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 去括号， 得 5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4. 移项， 合并同类项， 得 5x + 11 = 0， 这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
观察与思考
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这两 个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共 同特点呢？
x2 2500 0 ① 25x2 50x 11 0 ② x2 - 36x＋35 = 0 ③
2x + 3
代数式
5x + 6 = 22 一元一次方程 x + 3y = 8 二元一次方程
x - 5＜18
4 29 x
不等式 分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 想一想：什么是
(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 一元二次方程呢？
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x + 2 = 5x - 2； 不是
x2 = 0；
是
(x + 3)(2x - 4) = x2； 是
3y2 = (3y + 1)(y - 2)； 不是
x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1.
不是 是
3.关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0，
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程
叫做一元一次方程.
讲授新课
一元二次方程的概念 问题1：如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面
积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程
150 cm
练一练： 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程
一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及
它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x， 系数是 -8；常数项是 -10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
32
20
x
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0. ③
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时， 按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程， 再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
变式 方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0， （1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程 ？ （2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程 解？：(1)当 2a − 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二 次方程；
当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． 当 k ＝−1 时，是一元一次方程．
4.(1)有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四
角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能
制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为
3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为 x
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一 次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？ b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
含两个未知数
B. 3x2 5xy y2 0
第2章
九年级数学上（XJ） 教学课件
一元二次方程
2.1 一元二次方程
导入新课
讲授新课当堂练习课来自小结学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关题. (重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？ 2 + 6 = 8 没有未知数
C. (x 1)(x 2) 0
D. 4x2 1 (2x 3)2
化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程.
例3 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其 中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 解：（1）去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0，