实用文档之因式分解掌握方法与技巧

实用文档之"
因式分解"
一、因式分解的技巧：
1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若
有，则先提取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a＋b）（a－b）］。

（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。

二. 因式分解的方法：
（一）提公因式法
方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.
分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。

（二）应用公式法
方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.
分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：
例3.
分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：
（三）分组分解法
方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。

下面介绍八种常见的思路：
1. 按公因式分组：
例4.
分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

解：
2. 按系数特点分组：
例5.
分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。

解：
3. 按字母次数特点分组：
例6.
分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。

解：
4. 按公式特点分组：
例7.
分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。

解：
5. 拆项分组：
例8.
分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。

解：
7. 换元分组：
例9.
分析：观察代数式中的x＋y，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。

解：，则
（四）待定系数法
方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例10.
分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：
利用恒等式的性质可得：
（五）十字相乘法：
方法介绍：对于mx 2＋px ＋q 形式的多项式，如果ab ＝m ，cd
＝q 且ac ＋bd ＝p ，则多项式可因式分解为：（ax ＋d ）（bx ＋c ）。

例11.
分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字
相乘法分解因式： 解：
（六）巧用换元法：
方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到
减元降次，化繁为简的目的。

1. 取相同部分换元
例12.
分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如
将m 2－5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。

解：
三、分解因式：
1 、234352x x x --
2 、 2633x x -
3 、 22)2(4)2(25x y y x ---4、2
2414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2
8、811824+-x x
9 、24369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
(1)(x ＋p)2－(x ＋q)2； ( 2)16(a －b)2－9(a ＋b)2；
1. =--211122x x
2. =--6752x x
3. =-+2152x x
4.
=+-42562x x
5. ()()=---4254x x
6. ()()=----42552
x x 7. =--3072x x 8. =+-253092x x 9. =--61972x x 10. =++-209202x x 11.
=++939362x x
12.
=--435924x x 13. =+-437924x x 14. ()()()()=+-+-+-2222021417y y x x
15. =-----12322
2y y x xy xy 16. =--c ab c b a bc a 322320920 17. ()()()()=-----121233x x x x 18. =---b a ab a 2423
19. =+--22221b a b a 20 ()()=-+-y z y z y x 22
21. ()()()=+---234b a y x y x 22.
=+--123a ab b a 23. ()()()()=+-++-x x x x 212133
24. =+--36492222y x y x 25. =+--22822b a b a
26. =-+-2222z yz y x 27.
=+-42242b b a a
28. ()()=---221y x xy
29. =+--++ac bc ab c b a 222222 30. ()=+--+14442
b a b a 31. =---2222z yz y x 32.
=++--122b a ab a 33. =---+222c b ac bc ab 34. ()=++-b a a x b 222
35. =+--+12222y x xy x 36. =-++--12222y x y xy xy
37. =++--+ab xy b a y x 2442222 38.
=++49142x x 39. =++1692x x 40. =+-1216692x x
41. =---x x 121362 42. =+-2
216249b ab a 43. =++2941542251
y xy x 44. =+-42216249y xy x 45.=++4
2242b b a a 46. ()()=++++2521022b a b a
47. ()()=+---22
94249x x b a b a 48. =-+-a a a 510523
49. =-812x 50. =-49162x
51. =-22254b a 52. =-2241y x
53. =-2182x 54. =-x x 4163
55. =-2224b a a 56. ()=--2
3216y x 57. ()()=+--223412x x 58. ()=-+25242y x。