山东省潍坊市重点2015届高三数学上学期期中试题 文(含解析)新人教A版

高三阶段性教学质量检测
数学（人文）试题
【试卷综析】本试卷是高三试卷，以基础知识为载体，以能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、、向量、导数、函数模型、三角函数的性质、解三角形、命题、推理等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.
第Ⅰ卷（共50分）
【题文】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1．集合A={0，2，a}，B={1，2, 2
a }，若A ∪B={-4，0，1，2，16}，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．-4
D ．4
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】C ∵集合A={0，2，a}，B={1，2，a2}，A ∪B={-4，0，1，2，16}， ∴a ∈{-4，16}，a2∈{-4，16}，故a=-4，或a2=-4（舍去），故a=-4，故选C
【思路点拨】由A={0，2，a}，B={1，2，a2}，若A ∪B={-4，0，1，2，16}，可得：a=-4，或a2=-4，讨论后，可得答案．
【题文】2．53,(3)2,(3)bx cx f f -+-=已知函数f(x)=ax 则的值为 A ．.2 B ．-2 C ．6 D ．-6
【知识点】函数的奇偶性与周期性B4
【答案解析】B ∵函数f （x ）=ax5-bx3+cx ，∴f （-x ）=-f （x ）∵f （-3）=2，∴f （3）=-2，故选B
【思路点拨】函数f （x ）=ax5-bx3+cx ，可判断奇函数，运用奇函数定义式求解即可．
【题文】3．1,sin 5x ααα=设是第二象限角，p(x,4)为其终边上的一点，且cos =则
4.5A 3.5B - 3.5C 4.5D -
【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案解析】A 因为r=224x +，cos ∂=15x =224x x +得x=3或x=-3,又因为∂是第二
象限角，则x=-3,r=5,所以sin ∂=4
5故选A
【思路点拨】先利用同角三角函数间的基本关系求出x,再求正弦值。

【题文】4．(2,3),(1,2),42a b ma b a b m ==-+-已知向量若与共线，则的值为
1.2A .2B 1.2C - .2D -
【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】D ∵a =(2， 3)，b =(-1， 2)
∴m a +4 b =(2m-4，3m+8)；a -2b =(4，-1)∵(m a +4b )∥(a -2b )∴4-2m=4（3m+8）解得m=-2故答案为D
【思路点拨】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标；利用向量共线的充要条件列出方程求出m 的值．
【题文】5．若定义在R 上的函数y=f(x)满足55()(),22f x f x +=-且5()()02x f x '-<则对于任意的12x x ＜，都有1212()5f x x x +)＞f(是x ＞的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】C ∵55()()22f x f x +=-∴f （x ）=f （5-x ），
即函数y=f （x ）的图象关于直线x=52对称．又因（x-5
2）f′（x ）＞0，
故函数y=f （x ）在（52，+∞）上是增函数．再由对称性可得，函数y=f （x ）在（-∞，5
2）上是减函数．
∵任意的x1＜x2，都有f （x1）＞f （x2），故x1和x2在区间（-∞，5
2）上，
∴x1+x2＜5．反之，若 x1+x2＜5，则有x2 -52＜5
2-x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f （x1）＞f （x2）．
综上可得，“任意的x1＜x2，都有f （x1）＞f （x2）”是“x1+x2＜5”的充要条件，故选
C ． 【思路点拨】由已知中55()()22f x f x +=-可得函数y=f （x ）的图象关于直线x=52对称，
由（x- 52）f′（x ）＜0可得函数y=f （x ）在（ 52，+∞）上是增函数，在（-∞，5
2 ）上是减函数，
结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断f （x1）＞f （x2）和x1+x2＞5的充要关系，得到答案．
【题文】6．已知函数
2,()(1),1x x f x f x x ⎧=⎨-⎩＜1≥，则2(log 7)f 的值为 7.2A 7.4B 7.8C 7.16D
【知识点】指数函数对数函数B6 B7 【答案解析】74 因为2log 71>，所以227log 71log 2-=>1 则
2277log 1log 24-=<1 代入上式，故答案为7
4
【思路点拨】先确定x 的范围，是否符合函数关系再去求。

【题文】7．2120ABC b A ==在中，若，，三角形的面积3S =，则三角形外接圆的半径为
.3A .2B .23C .4D
【知识点】解三角形C8
【答案解析】B △ABC 中，∵b=2，A =120°，三角形的面积S=3=1
2bc•sinA=c•32，
∴c=2=b ，故B=12（180°-A ）=30°．再由正弦定理可得 02sin sin 30b c R B
===4， ∴三角形外接圆的半径R=2，故选B ．
【思路点拨】由条件求得 c=2=b ，可得B 的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R 的值．
【题文】8．已知222,0()1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+⎪=⎨++⎪⎩≤＞，若(0)f 是()f x 的最小值，则t 的取值范围
为
A ．[-1,2]
B ．[-1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】D 法一：排除法．当t=0时，结论成立，排除C ；
当t=-1时，f （0）不是最小值，排除A 、B ，选D ．
法二：直接法．由于当x ＞0时，f （x ）=x+ 1x +t 在x=1时取得最小值为2+t ，
由题意当x≤0时，f （x ）=（x-t ）2，若t≥0，此时最小值为f （0）=t2，故t2≤t+2， 即t2-t-2≤0，解得-1≤t≤2，此时0≤t≤2，若t ＜0，则f （t ）＜f （0），条件不成立，选D ．
【思路点拨】法1利用排除法进行判断，法2根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论．
【题文】9．已知2//1()cos ,()()()4f x x x f x f x f x =
+为的导函数，则的图像是
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】A 由题意得1()sin 2f x x x '=
-为奇函数，所以排除B D ，当x= 6π, ()0f x '<,所以排除D ，故选A
【思路点拨】求出导数判断奇偶性，然后利用特殊值求出结果。

【题文】10．已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x
=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（ ）
3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】B 关于x 的方程[]
x x -a=0等价于[x]=ax ．分x ＞0和x ＜0的情况讨论，显然有a≥0．
若x ＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则[]
x x =0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故[][]1x x +＜
[]
x x ≤1，
即
[]
[]1
x
x+＜a≤1，且
[]
[]1
x
x+随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若-1≤x＜0，则
[]x
x≥1；
若x＜-1，因为[x]≤x＜-1，[x]≤x＜[x]+1，故1≤[]x
x ＜
[]
[]1
x
x+，
即1≤a＜
[]
[]1
x
x+，且
[]
[]1
x
x+＜随着[x]的减小而增大．为使函数f（x）=
[]x
x-a有且仅有3
个零点，
只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有1
2＜a≤1；若[x]=2，有
2
3＜a≤1；
若[x]=3，有3
4＜a≤1；若[x]=4，有
4
5＜a≤1；若[x]=-1，有a＞1；
若[x]=-2，有1≤a＜2；若[x]=-3，有1≤a＜3
2，若[x]=-4，有1≤a＜
4
3
综上所述3
4＜a≤
4
5或
4
3≤a＜
3
2．故选B．
【思路点拨】关于x 的方程[]x
x-a=0等价于[x]=ax．分x＞0和x＜0的情况讨论，
确定为使函数f（x）=[]x
x-a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3，
即可得出结论．
第Ⅱ卷（共100分）
【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上。

【题文】11．过曲线
4
y x x
=-上点p处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为______．
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（1，0）由y=x4-x，得到y′=4x3-1，又直线y=3x+2的斜率为3，则4x3-1=3，解得x=1，
把x=1代入曲线方程得：y=0，所以点P的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．
【思路点拨】由曲线的解析式求出y的导函数，因为曲线上过点P的切线方程平行于直线
y=3x+2，得到两直线的斜率相等，由y=3x+2求出直线的斜率，令导函数等于求出的斜率，列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到x 的值即为点P 的横坐标，把求出的x 的值代入曲线解析式中求出的y 即为点P 的纵坐标，写出点P 的坐标即可．
【题文】12．将函数3sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移9π个单位后得到函数 的图像。

【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4
【答案解析】y=3sin3x 将函数y=3sin （3x+ 3π）的图象向右平移9π
个单位， 所得图象对应的函数解析式为：y=3sin[3（x- 9π）+ 3π
]=3sin3x ．故答案为y=3sin3x ．
【思路点拨】直接在原函数解析式中取x=x- 9π
，整理后得答案
【题文】13．已知，且的夹角为锐角，则λ的取值范围是 。

【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】(-∞，-65)∪(-65，103)
由题意可得 a b ⋅＞0，且a 与b 不共线，即-3λ+10＞0，且3λ- ≠2
5，
解得 λ∈(-∞，-65)∪(-65，103)，故答案为：(-∞，-65)∪(-65，10
3)．
【思路点拨】由题意可得 a • b ＞0，且 a 与b 不共线，即-3λ+10＞0，且3λ
- ≠2
5 ， 求出λ的取值范围． 【题文】14已知 ()x x f x e =
，定义[][]1211()(),()(),,()(),n n f x f x f x f x f x f x n N
+'''===∈。

经计算11(),x x f x e -=22(),x x f x e -=33(),x x f x e -=…，照此规律，则()n f x =
【知识点】合情推理与演绎推理M1
【答案解析】
(1)() ()
n
n x
x n f x
e
--
=
求导数分母都是x e，分子是正负相间，并且第一个是1-x，分子为x-n,
所以
(1)() ()
n
n x
x n
f x
e
--
=。

【思路点拨】根据求导公式找出规律，发现分母不变，分子是正负相间，得到结果。

【题文】15．下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图③，图
③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作
()
f m n
=。

下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号）
①
1
()1
4
f=
②
()
f x是奇函数③()
f x在定义域上单调递增
④
()
f x是图像关于点
1
,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭对称。

【知识点】函数及其表示B1
【答案解析】③④由题意①是错误命题，因为当m= 1
4此时M恰好处在左半圆弧的中点上，
此时直线AM的方程为y=x+1，即f（1
4）=
3
4；
②是错误命题，由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而m∈（0，1），不是奇函数；
③是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的；
④是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即
此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（1
2，0）对称综上知，③④是正确命
题，
【思路点拨】由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，
①m=1
4此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标．
②可由偶函数的定义域关于原点对称来确定正误，
③可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，
④可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

【题文】16．（本小题满分12分）
已知集合
{}
2320
A x x x
=-+≤
，集合
{}
22
B y y x x a
==-+
，
集合
{}
240
C x x ax
=--≤。

命题A B≠∅,命题:q A C
⊆
（Ⅰ）若命题p为假命题，求实数a的取值范围。

（Ⅱ）若命题p q
∧为真命题，求实数a的取值范围。

【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】（Ⅰ）a＞3（Ⅱ）0≤a≤3
∵y=x2-2x+a=（x-1）2+a-1≥a-1
∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a-1＞2∴a＞3
（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．
∴
12
140
4240
a
a
a
-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪--≤
⎩解可得0≤a≤3
【思路点拨】由题意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅，可求a
（2）由题意可得A∩B≠∅且A⊆C，结合集合之间的基本运算可求a的范围
【题文】17．（本小题满分12分）
已知函数
()
()2sin,()
4
f x x f x f x
π
⎛⎫'
=-
⎪
⎝⎭
是
的导函数。

求函数
()()
2
()()
F x f x f x f x
''
=-
⎡⎤
⎣⎦的最小值和相应的x值。

若
()
()2
f x f x
'
=
，求2
3cos2
cos sin cos
x
x x x
-
-
的值。

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案解析】（1）最小值为1-2，此时x=kπ-3
8
π
，k∈Z（2）
11
3
（1）∵f （x ）=2sin （x-4π
）=sinx-cosx
∴f′（x ）=cosx+sinx
∵F （x ）=[f′（x ）]2-f （x ）f′（x ），
∴F （x ）=（cosx+sinx ）2-（cosx+sinx ）（sinx-cosx ）=cos2x+sin2x+1=2sin （2x+4π
）+1，
其最小值为1-2，此时x=kπ-38π
，k ∈Z ，
（2）∵f （x ）=2f′（x ），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx ），∴tanx=1
3 ∴23cos 2cos sin cos x
x x x --=2222(cos 2sin )cos sin cos x x x x x +-=22(12tan )1tan x x +-=113
【思路点拨】（1）先化简，再求导，再化简F （x ），继而求出最值，
（2）由题意求出tanx=1
3，化简求值即可．
【题文】18．（本小题满分12分） 已知()f x 为定义在
[]11-上的奇函数，当[1,0]x ∈-时，函数解析式为 ()1()42x x b f x b R =-。

求b 的值，并求出()f x 在[]01上的解析式。

求()f x 在
[]11-上的值域。

【知识点】函数的奇偶性B4
【答案解析】(1)f （x ）=2x-4x （2） [-2，2]
(1)∵f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f （x ）在x=0处有意义，
∴f （0）=0，即f （0）=1-b ，∴b=1．
设x ∈[0，1]，则-x ∈[-1，0]∴f （-x ）=1142x x ---=4x-2x ，f （x ）=2x-4x ，．
所以f （x ）=2x-4x 在[0，1]上的解析式为f （x ）=2x-4x ，
（2）当x ∈[0，1]，f （x ）=2x-4x=2x-（2x ）2，∴设t=2x （t ＞0），则g （t ）=-t2+t ， ∵x ∈[0，1]，t ∈[1，2]当t=1时，最大值为1-1=0，当t=0时，取最小值-2，
∴函数在[0，1]上取最小值-2，最大值为0，∵f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，
∴函数在[-1，0]上取最小值0，最大值为2，所以f （x ）在[-1，1]上的值域[-2，2]
【思路点拨】（1）f （x ）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f （x ）在x=0处有意义，f （0）=0，求出b 的值，利用奇函数定义求出解析式．
（2）设t=2x （t ＞0），则g （t ）=-t2+t ，x ∈[0，1]，t ∈[1，2]转化为二次函数求解，再利用奇性求出整个区间上的最值，即可得到值域．
【题文】19．（本小题满分12分） 设函数()f x =
sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-22sin 12x ω+()0ω＞，直线3y =-与函数()f x 图象相邻两交点的距离为π。

求ω的值。

在ABC 中，角A B C 、、所对的边分别是a 、b 、c ，若点
(),0B 是函数()y f x =图像的一个对称中心，且3b =，求ABC 面积的最大值。

【知识点】解三角形C8
【答案解析】（1）ω=2（2）9(23)
4-
（1）函数f （x ）=sin （ωx+6π）-2sin22ωx+1（ω＞0）=sinωxcos 6π+cosωxsin 6π+cosωx =32sinωx+32cosωx=3sin （ωx+3π
），
∵函数的最大值为3，最小值为-3，直线y=-3与函数f （x ）图象相邻两交点的距离
为π，可得函数的最小正周期为2π
ω=π，求得ω=2．
（2）由于f （x ）=3sin （2x+3π），故有f （B ）=3sin （2B+3π）=0，∴B=3π
，或B=56π
． 若B=3π
，则cosB=12=222
2a b c ac +-，化简可得ac=a2+c2-9≥2ac -9，∴ac≤9， 故△ABC 面积12ac•sinB 的最大值为12×9×32=932．
若B=56π，则cosB=-32=2222a b c ac +-，化简可得-3ac=a2+c2-9≥2ac -9， ∴ac≤9（2-3），故△ABC 面积12ac•sinB 的最大值为12×9×（2-3）×12=9(23)
4-
【思路点拨】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f （x ）=3 sin （ωx+3π ），
根据函数的最小正周期为 2π
ω=π，求得ω的值．
（2）在△ABC 中，由f （B ）=3sin （2B+3π
）=0，求得B ，可得cosB 的值，再利用余弦
定理、基本不等式求得ac 的最大值，可得△ABC 面积1
2ac•sinB 的最大值．
【题文】20．（本小题满分13分）
5A 级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入()10x x ≥万元之间满足：
()21015010x y f x ax x bIn ==+-，a 、b 为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元。

（参考数据：20.7In =，3 1.1In =，5 1.6In =）
求()f x 的解析式。

求该景点改造升级后旅游利润()T x 的最大值。

（利润=旅游增加值-投入）
【知识点】函数模型及其应用B10
【答案解析】（1）f （x ）=-2100x +10150x-ln 10x
（x≥10）（2）24.4万元
（1）由条件可得221011010ln119.25010150ln 574.450a b a b ⎧⨯+⨯-=⎪⎪⎨⎪⨯+-=⎪⎩，
解得a=-1100，b=1．则f （x ）=-2100x +10150x-ln 10x
（x≥10）．
（2）由T （x ）=f （x ）-x=-2100x +5150x-ln 10x
（x≥10），
则T′（x ）=-50x +5150-1x =-(1)(50)
50x x x --，
令T'（x ）=0，则x=1（舍）或x=50，
当x ∈（10，50）时，T'（x ）＞0，因此T （x ）在（10，50）上是增函数；
当x ＞50时，T'（x ）＜0，因此T （x ）在（50，+∞）上是减函数，
故x=50为T （x ）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元．
即该景点改造升级后旅游利润T （x ）的最大值为T （50）=24.4万元．
【思路点拨】（1）由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a ，b 的方程，解得a ，b 的值即得则求f （x ）的解析式；
（2）先写出函数T （x ）的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．
【题文】21．（本小题满分14分） 已知函数()f x =2,e x a x R -+∈的图像在点0x =处的切线为(). 2.71828y bx e =≈ 求函数()f x 的解析式。

当x R ∈时，求证：
()2f x x x ≥-+； 若()f x kx ＞对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围。

【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（Ⅰ）f （x ）=ex-x2-1（Ⅱ）略（Ⅲ）（-∞，0）
（Ⅰ）f （x ）=ex-x2+a ，f'（x ）=ex-2x ． 由已知(0)1(0)1f a f b =+⎧⎨'==⎩⇒ 11a b =-⎧⎨=⎩
，f （x ）=ex-x2-1． （Ⅱ）令φ（x ）=f （x ）+x2-x=ex-x-1，φ'（x ）=ex-1，由φ'（x ）=0，得x=0， 当x ∈（-∞，0）时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减；
当x ∈（0，+∞）时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增．
∴φ（x ）min=φ（0）=0，从而f （x ）≥-x2+x ．…（8分）
（Ⅲ）f （x ）＞kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立⇔()
f x x ＞k 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)= ()
f x x ， x ＞0， ∴g′(x)= 2()()xf x f x x '-=22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)
x x e x x ---．
由（Ⅱ）可知当x ∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立，令g'（x ）＞0，得x ＞1；g'（x ）＜0，得0＜x ＜1．
∴g （x ）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g （x ）min=g （1）=0．
∴k ＜g （x ）min=g （1）=0，∴实数k 的取值范围为（-∞，0）
【思路点拨】（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx ，求出a ，b ，即可求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x ）=f （x ）+x2-x=ex-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x ）min=φ（0）=0，
即可证明：f（x）≥-x2+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立⇔
()
f x
x＞k对任意的x∈（0，+∞）恒
成立，
k＜g（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．。