江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析

2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分,不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置)
1．已知集合A={1,2,4}，B={2，4，6},则A∩B=．
2．函数f(x）=lg（x﹣1）的定义域是．
3．计算27的结果是．
4．下列四个函数图象中，不是函数图象的是（填序号）
5．不等式2x+2＞8的解集为．
6．设f(x)=，则f（4）=．
7．已知一次函数f（x)满足f(f(x）)=4x+9,则f（x）的函数关系式．
8．已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是．
9．幂函数y=f(x)的图象经过点（2,8），且满足f(x)=64的x的值是．
10．已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R,若f（﹣3）=﹣1，则f(3)=．
11．已知a3+b3=（a+b)(a2﹣ab+b2），a，b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5)3+结果是．12．若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是［2，n］，则m n=．
13．函数f（x）=满足对于任意x1＜x2时都有＞0
成立，则a的取值范围．
14．设已知函数f(x）=|lnx｜，正数a,b满足a＜b,且f（a）=f（b），若f（x）在区间［a2，b］上的最大值为2，则2a+b=．
二、解答题(本大题共6小题,共90分，解答应必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（本题满分90分）
15．已知集合A={x｜﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．
求∁R(A∪B）；
已知C=｛x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．
16．解方程ln(2x+1)=ln（x2﹣2）；
求函数f（x)=()2x+2×（)x（x≤﹣1)的值域．
17．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,f(x）=﹣x2+2x﹣3．
当x∈［2，4]时,求f(x）的值域；
当f（m）=6时,求m的值．
18．某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE
区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°,甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元)关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．
19．已知函数f(x）=，x∈R，a∈R．
（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞,0)上为单调增函数；
（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．
20．已知函数f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．
（1）若b=2,试解不等式f（x）＜10；
（2）若f（x）在区间[﹣4,﹣2］上的最小值为﹣11,试求b的值;
（3)若|f(x）﹣5|≤1在区间（0,1）上恒成立，试求b的取值范围．
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置）
1．已知集合A=｛1，2，4｝，B=｛2，4，6}，则A∩B={2，4} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．
【解答】解：∵A=｛1，2，4}，B=｛2，4,6｝，
∴A∩B={2,4}
故答案为：｛2,4}．
2．函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是｛x｜x＞1} ．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】根据对数的真数大于零，列出不等式进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义,则有x﹣1＞0,解得，x＞1，
∴函数的定义域是{x|x＞1}，
故答案为：{x｜x＞1｝．
3．计算27的结果是．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：27==，
故答案为：
4．下列四个函数图象中，不是函数图象的是（2）(填序号）
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】根据函数的定义可知:对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
【解答】解:根据函数的定义可知，只有（2）不能表示函数关系．
故答案为(2）．
5．不等式2x+2＞8的解集为（1，+∞）．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】把不等式两边化为同底数,转化为一元一次不等式求解．
【解答】解：由2x+2＞8,得2x+2＞23，∴x+2＞3，即x＞1．
∴不等式2x+2＞8的解集为（1,+∞)．
故答案为：（1，+∞）．
6．设f（x)=,则f（4）=2．
【考点】分段函数的应用;函数的值．
【分析】由已知f（x）=，将x=2代入可得答案．
【解答】解：∵f(x）=，
∴f(4）=log24=2，
故答案为:2
7．已知一次函数f（x)满足f（f（x）)=4x+9，则f(x）的函数关系式f（x）=2x+3和f（x)=﹣2x﹣9．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】设函数f（x）=kx+b（k≠0）,带入f（f（x））=4x+9，利用待定系数法求解k,b的值．
【解答】解：由题意：f(x)是一次函数,设函数f（x)=kx+b（k≠0）,
则：f（f(x））=k（kx+b)+b=k2x+kb+b
∵f（f（x）)=4x+9，
可得：k2x+kb+b=4x+9,
即，
解得:或
∴f(x）的函数关系式为f（x)=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．
故答案为:f（x)=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．
8．已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是﹣1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数的定义得出x2﹣3ax+4=x2+3ax+4，且b﹣3+2b=0，得出a=0，b=1即可得出a﹣b的值．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，
∴f（﹣x）=f(x），即x2﹣3ax+4=x2+3ax+4,且b﹣3+2b=0
得出a=0，b=1，
∴a﹣b=﹣1．
故答案为﹣1
9．幂函数y=f(x）的图象经过点（2，8），且满足f（x)=64的x的值是4．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】用待定系数法，求出幂函数y=f（x)的解析式，再由f（x）的值求出对应x的值．【解答】解：设幂函数y=f(x）=xα，α∈R;
∵函数的图象过点（2,8），
∴2α=23，
解得α=3；
又∵f（x）=64，
∴x3=64，
解得x=4．
故答案为：4．
10．已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3)=11．
【考点】二次函数的性质；函数的值．
【分析】根据已知中函数的解析式，可得f（﹣x）+f（x）=10,再由f(﹣3）=﹣1,可得f（3）的值．
【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣bx+5,a，b∈R，
∴f（﹣x）=﹣ax3+bx+5，
∴f（﹣x）+f（x）=10，
∵f(﹣3)=﹣1，
∴f（3)=11，
故答案为：11．
11．已知a3+b3=（a+b)(a2﹣ab+b2)，a,b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5）3+结果是．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用已知条件，结合对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：(lg2）3+3lg2•lg5+（lg5)3+=（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25)+3lg2•lg5+
=lg22+2lg2lg5+lg25+
=（lg2+lg5)2+
=1+=．
故答案为:．
12．若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是[2，n],则m n=8．
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，判断出二次函数的单调性，得到函数的最值，列出方程求出m，n．
【解答】解:∵f（x)=x2﹣4x+4+m的对称轴为x=2，
∴函数f（x）在[2,n]上为增函数，
f（2）=4﹣8+4+m=2，解得m=2，
f（n）=n2﹣4n+4+m=n，解得n=3或n=2（舍去)，
∴m n=23=8,
故答案为：8
13．函数f（x)=满足对于任意x1＜x2时都有＞0
成立，则a的取值范围［﹣，0）．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】由增函数的定义知，得到此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围即可．【解答】解：根据题意，由增函数的定义知,此函数是一个增函数;
故有，解得﹣≤a＜0，
则a的取值范围是［﹣,0）,
故答案为：［﹣，0）．
14．设已知函数f（x）=｜lnx｜,正数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b)，若f（x）在区间[a2，b］上的最大值为2，则2a+b=+e．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由题意可知0＜a＜1＜b，以及ab=1，再f（x）在区间［a2，b]上的最大值为2可得出f（a2）=2求出a，故可得2a+b的值．
【解答】解：由对数函数的性质知
∵f（x）=|lnx|正实数a、b满足a＜b，且f（a)=f（b)，
∴0＜a＜1＜b,以及ab=1，
又函数在区间[a2,b]上的最大值为2，由于f(a）=f（b），f（a2）=2f（a）
故可得f（a2）=2，即|lna2｜=2，即lna2=﹣2，即a2=，可得a=，b=e
则2a+b=+e,
故答案为： +e．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应必要的文字说明,证明过程或演算步骤）（本题满分90分）
15．已知集合A=｛x｜﹣1≤x≤10},集合B={x|2x﹣6≥0}．
求∁R(A∪B）；
已知C={x｜a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意化简集合B,求出A∪B的补集∁R（A∪B）,再根据C⊆A，列出不等式求出a的取值范围．
【解答】解：集合A={x｜﹣1≤x≤10},集合B={x｜2x﹣6≥0}=｛x|x≥3｝，
∴A∪B=｛x｜3≤x≤10};
∴∁R（A∪B）=｛x｜x＜3或x＞10｝;
又C={x|a＜x＜a+1},且C⊆A，
∴，
解得a的取值范围是﹣1≤a≤9．
16．解方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）;
求函数f(x）=（）2x+2×(）x（x≤﹣1）的值域．
【考点】函数的值域；对数的运算性质．
【分析】（1）根据方程式,方程的解需要满足函数定义域要求，再根据对数相等即可列出方程式；
（2)利用换元法转化为一元二次函数来求原函数的值域即可；
【解答】解：（1）由题意:ln（2x+1）=ln（x2﹣2)；
所以有⇒x=3 或﹣1(负舍）
故方程的解为｛x｜x=3}；
（2）由题意：函数f(x）=（）2x+2×（)x（x≤﹣1）
令t=∈［2，+∞），换元后得:
g（t）=t2+2t (t≥2）
g（t)为一元二次函数，开口朝上，对称轴为t=﹣1，知：
g(t）在(2，+∞）上单调递增，g（t）min=8
故g（t）的值域为［8，+∞）
17．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)=﹣x2+2x﹣3．
当x∈[2,4］时，求f(x）的值域；
当f(m)=6时，求m的值．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用配方法求f（x）的值域；求出当x＜0时,f(x）=﹣f（﹣x）=﹣(﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x+3，利用f（m）=6，求m的值．
【解答】解：当x＞0时,f（x)=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，
∵x∈[2，4],∴函数单调递减,∴f（x)的值域是[﹣11，﹣3]；
x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3=6，可得x2﹣2x+9=0，无解；
当x＜0时,f（x）=﹣f(﹣x）=﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x+3=6,∴x=﹣3或x=1（舍去），
∴m=﹣3．
18．某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设,三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米,OB=3千米，∠AOB=90°,甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元)关于x的函数关系式；求x为何值时,种植花卉的总造价最小，并求出总造价．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】求出三角形BCD、三角形CAE区域的面积,可得函数解析式，利用配方法，可得函数的最值．
=x2．
【解答】解：由题意，CD=OE=x．由△BCD∽△BAO知BD=x,所以S
△BCD
=(x﹣4）2．…6分
同理得S
△CAE
所以，y=［x2+（x﹣4）2×4］=（5x2﹣32x+64)，其中，0＜x＜4．…10分
y= [5(x﹣）2+］…13分
因为0＜＜4，…14分
所以x=时,y有最小值为4.8万元．…15分
答:x为时，种植花卉的总造价最小，总造价最小值为4.8万元．
19．已知函数f（x）=，x∈R，a∈R．
（1）a=1时，求证:f（x)在区间（﹣∞，0）上为单调增函数;
（2）当方程f（x)=3有解时,求a的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；
（2）问题转化为函数y=ax和y=3｜x｜+2有交点，从而求出a的范围即可．
【解答】证明:（1）a=1时，f（x）=,
x＜0时,f（x）=，
令x1＜x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵x1＜x2＜0，
∴（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（﹣∞,0）上为单调增函数；
解：（2）由f（x）==3,
得:ax=3｜x|+2，
画出函数y=ax和y=3｜x｜+2的图象，如图示:
，
结合图象，a＞3或a＜﹣3．
20．已知函数f（x）=x2+2bx+5(b∈R）．
(1）若b=2，试解不等式f(x)＜10；
（2）若f（x）在区间［﹣4，﹣2]上的最小值为﹣11，试求b的值;
(3）若｜f（x)﹣5｜≤1在区间（0，1）上恒成立，试求b的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解得即可．
（2）根据所给的二次函数的性质,写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，（3)利用函数的单调性分别求出y=﹣x 的最小值为0，y=﹣x﹣的最大值为﹣2,由此求得b的取值范围．
【解答】解:（1）f(x）=x2+4x+5＜10，
即x2+4x﹣5＜0,
即（x+5）（x﹣1)＜0，
解得﹣5＜x＜1，
故不等式的解集为(﹣5,1),
（2）f（x）=x2+2bx+5=（x+b）2﹣b2+5,
其对称轴为x=﹣b，
当b＜﹣4时，在区间［﹣4，﹣2]上单调递增，故y min=16﹣8x+5=﹣11，解得b=4，舍去当﹣4≤b≤﹣2时，在对称轴处取最小值，故y min=﹣b2+5=﹣11，解得b=﹣4，
当b＞﹣2时，在区间［﹣4，﹣2］上单调递减，故y min=4﹣4b+5=﹣11，解得b=5，
综上所述：b的值为﹣4或5，
（3)｜f(x）﹣5｜≤1在区间（0,1）上恒成立，
∴|x2+bx｜≤1在区间(0,1）上恒成立,
∴﹣1≤x2+2bx≤1，
∴﹣x﹣≤2b≤﹣x+
∵函数y=﹣x﹣在(0，1）上为增函数,y＞﹣1﹣1=﹣2,
函数y=﹣x+在（0，1）上为减函数,y＜﹣1+1=0，
∴﹣2≤2b≤0，
解得﹣1≤b≤0，
故b的取值范围为[﹣1.0］
2016年11月26日。