2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 文 北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何文北师大版
第1课时空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
1．旋转体的形成
2.多面体的结构特征
3.直观图
画直观图的方法叫斜二测画法，其画法的规则是：
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
4．三视图
(1)三视图的特点：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．
(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．
[基础自测]
1．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展开．得到如图的平面图形．则标“△”的面的方位是( )
A．南B．北
C．西D．下
解析：还原为正方体，依条件标出方位，结合展开图判定．
答案：B
2．(教材改编题)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是( )
A．正方体B．长方体
C．圆锥D．球
解析：只有球无论怎样放置，其三视图完全相同．
答案：D
3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
解析：如图，x′O′y′还原为xOy时，
∠C′A′B′还原为∠CAB，大于90°.
答案：C
4．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．
答案：①②③⑤
5．给出下列四个命题：
①直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥；
②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图(1)．②错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(2)．③正确，如图(3)．④错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．
答案：③
大一轮复习BSD数学(文)第七章立体几何
考点一空间几何体的结构特征
[例1] 下列结论中正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
审题视点根据常见几何体的结构特征，借助常见的几何模型进行判断．
解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．
答案 D
要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；对于几何体的结构特征要从其
反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点．
1．给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
2．(2016·商洛调研)设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是________．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．
答案：①④
考点二 几何体的三视图
[例2] (2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
审题视点 根据三视图的概念，直接观察求解即可．
解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.
答案 B
画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图
相象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．
1．(2016·山西康杰中学模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为23
3
，则该锥体的俯视图可能是( )
解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12
＝3，因为该锥体的体积为233
，所以该锥体的底面面积是
S ＝23313h ＝23333
＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，
B 项的圆的面积是π×12
＝π，C
项的大三角形的面积是12×2×2＝2
，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C.
答案：C 2.
在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析：
由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
答案：D
考点三 几何体的直观图
[例3] 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.32a 2
B ．33a 2 C.
68
a 2 D ．
616
a 2 审题视点 画出正三角形△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′，求△A ′B ′C ′的高即可．
解析 如图所示，正三角形ABC 的实际图形和直观图．
由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝3
4a ，在直观图中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，
则C ′D ′＝
22O ′C ′＝6
8
a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2
.
答案 D
直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长
减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．
1．(2016·长沙模拟)如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC ，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为( ) A ．2 B ． 2 C ．2 2
D ．4
解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的42
倍，故原图形的面积为2·
42＝4.
答案：D
2．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为__________．
解析：∵OE ＝
2
2
－1＝1，
∴O ′E ′＝12，E ′F ＝2
4
，
∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为
S ′＝12×(1＋3)×
24＝22
. 答案：
22
因三视图识图不准致误
[典例] 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
解题指南 ①将三视图还原为直观图求解；②表面积包括哪些部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)． 在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为：2×1
2×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
答案 92
易错分析 由三视图还原空间几何体形状时出错，误把AD 看成主视图中的两段线段长度相加． 备考建议 解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图； (2)对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线．
在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查．
◆画空间几何体的三视图的两个步骤
第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．
◆三视图与空间几何体中的几何量的关系
空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．
课时规范训练 [A 级 基础演练]
1．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．
答案：B
2．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体
D ．三棱柱
解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A. 答案：A
3. (2016·开封摸底)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．4
解析：由题知，所求正视图是底边长为2，腰长为3的等腰三角形，其面积为1
2×2×
()32
－1＝
2.
答案：A
4．下面关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．
答案：②④
5. (2016·西城区检测)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．
解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.
答案：2 3
6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．
解析：过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝
22
.
而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1. ∴BC ＝BE ＋EC ＝
2
2
＋1. 由此可还原原图形如图．
在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，
B ′
C ′＝
2
2
＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′. ∴这块菜地的面积为S ＝1
2(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋1＋22×2＝2＋22. 答案：2＋
2
2
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
解：作出圆台的轴截面如图．设O ′A ′＝r ，则SO ′＝r ，
∵一底面周长是另一底面周长的3倍，∴OA ＝3r ，则SO ＝3r ，SA ＝32r ， ∴OO ′＝2r .
由轴截面的面积为1
2
(2r ＋6r )·2r ＝392，得r ＝7.
故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14 2.
8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2
. (2)由侧视图可求得
PD ＝PC 2＋CD 2
＝62
＋62
＝6 2.
由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，
PA ＝PD 2＋AD 2＝
2
2
＋62
＝63(cm)．
[B 级 能力突破]
1．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.18
B.17
C.16
D.15
解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V 1＝13×12×1×1×1＝16
，
剩余部分的体积V 2＝13
－16＝56.
所以V 1V 2＝1656＝1
5
，故选D.
答案：D
2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(
)
A ．6 2
B ．4 2
C ．6
D ．4
解析：将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥．
如图，侧面SBC ⊥底面ABC .
点S 在底面ABC 的射影点O 是BC 的中点，△ABC 为直角三角形． ∵AB ＝4，BO ＝2，
∴AO ＝20，SO ⊥底面ABC ，
∴SO ⊥AO ，SO ＝4，∴最长的棱AS ＝20＋16＝6. 答案：C
3．(2014·高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D ­ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A ．S 1＝S 2＝S 3
B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3
C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2
D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1
解析：
作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．
如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以S 1＝1
2
×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，
BC 的中点)全等，所以S 2＝12×2×2＝ 2.三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，H 分别为AB ，OC 的中点)全等，所以S 3＝12
×2×2＝
2.所以S 2＝S 3且S 1≠S
3.故选D. 答案：D
4．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．
解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的四面体A ­CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△
ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，
必须是相邻的两个侧面．
答案：①
5．已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：由三视图可知该几何体为底面是边长为a 的正方形，高为b 的长方体．若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．
答案：①③④⑤
6．(2016·武邑一模)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为________．
解析：本题构造长方体，体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线b ，设长方体底面宽为1，则b 2
－1＋
a 2
－1＝6，即a 2
＋b 2
＝8，利用不等式⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2＝4，则a ＋b ≤4.
答案：4
7．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)． 解：(1)设圆柱的高为h ，由题意可知，
4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.
S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)
＝3π[－(r－0.4)2＋0.16]，其中0＜r＜0.6.
∴当半径r＝0.4米时，S max＝0.48π≈1.51(平方米)．
(2)由r＝0.3及2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6(米)．
则灯笼的三视图为：
第2课时空间几何体的表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
柱、锥、台与球的侧面积和体积
[基础自测]
1．(教材改编题)一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．π
解析：由V 正方体＝a 3
＝8得a ＝2，∴正方体的内切球半径为1. ∴S 球＝4πR 2
＝4π. 答案：C
2．一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，则钢球的半径为( )
A ．1 cm
B ．1.2 cm
C ．1.5 cm
D ．2 cm
解析：∵V 球＝43πR 3＝π×32×8.5－π×32
×8＝4.5π，∴R ＝32＝1.5(cm)．
答案：C
3．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为( )
A ．4 m 2
B ．3 m 2
C ．2 m 2
D ．5 m 2
解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图所示)，
AC ＝4，SO ＝2，BD ＝3.
∴V S －ABC ＝13×1
2×4×3×2＝4.
答案：A
4．圆台的母线长为2 cm ，两底面半径分别为1 cm,5 cm ，则该圆台的侧面积是________cm 2
. 解析：圆台的侧面积S ＝π(1＋5)×2＝12π(cm 2
)． 答案：12π
5．各棱长都为1的正四棱锥的体积V ＝________.
解析：如图所示，正四棱锥S －ABCD 的各棱长均为1，连接AC ，O 为AC 的中点，连接SO ，则易知SO 为正四棱锥S －ABCD 的高．SO 2
＝SC 2
－OC 2
＝1－12＝12，SO ＝22，所以各棱长都为1的正四棱锥S －ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×1×22＝26
.
答案：
2
6
考点一几何体的表面积与侧面积
[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 B．30＋6 5
C．56＋12 5 D．60＋12 5
(2)(2016·广州市高三调研)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积最大的是( )
A．3 B．2 5
C．6 D．8
审题视点根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积或侧面积．
解析(1)由几
何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，
∴AD＝5.
又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ， ∴CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ， ∴AC ＝41且S △ACD ＝10.
在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.
在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41. 在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.
在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝1
2×25×6＝6 5.
因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.
(2)由三视图知四棱锥如图所示，N 为CD 的中点，M 为AB 的中点，易知PM ＝3，PN ＝5，S △PDC ＝12×4×5＝25，S △PBC ＝S △PAD ＝1
2
×2×3＝3，
S △PAB ＝1
2
×4×3＝6.故选C.
答案 (1)B (2)C
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(3)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
1．如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为( ) A ．16＋4π B ．12＋4π C ．16＋8π
D ．12＋8π
解析：该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π. 答案：A
2．(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示． 表面积为2×2＋2×12×π×12
＋π×1×2＝4＋3π.
答案：D
考点二 几何体的体积
[例2] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．
审题视点 利用三棱锥的体积公式直接求解．
解析 VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝1
6.
答案 1
6
求锥体的体积，要选择适当的底面积和高，然后应用公式V ＝1
3
Sh 进行计算即可．常用方法：割补法和等积变换法．
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积． (2)等积变换法：①利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．
1．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A ．8 cm 3
B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D ．403
cm 3
解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3
)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323
(cm 3
)．
答案：C
2．(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的
体积为( )
A.22π3
B ．42π3
C ．22π
D ．42π
解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π
3
.
答案：B
考点三 几何体的展开与折叠
[例3] (1)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点
A 1的最短路线的长为________cm.
(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________． 审题视点 (1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关公式可求得体积．
解析 (1)将正三棱柱沿棱AA 1两次展开，得到如图所示的矩形，可知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为 52
＋122
＝13(cm)．
(2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可得高为22，所以体积为V ＝1
3
×1×1×
22＝2
6
.
答案(1)13 (2)
2 6
1．求几何体表面上两点间的最短距离问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上，解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
2．折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了空间图形与平面图形的转化，是解决立体几何问题时常用的方法．
1．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋PA1的最小值为________．
解析：PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．
CP＋PA1≥A1C.
在△AC1C中，由余弦定理得
A 1C＝62＋22－2·6·2·cos 135°＝50＝52，
故(CP＋PA1)min＝5 2.
答案：5 2
2．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条路线与CC′的交点为N.
(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)求PC与NC的长．
解：(1)该三棱柱的侧面展开图是边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.。