机械能

一、单个物体的机械能守恒
判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。

（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。

所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。

（2）固定的光滑斜面类。

（3）固定的光滑圆弧类。

（4）悬点固定的摆动类。

（1）阻力不计的抛体类 包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。

那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。

例：在高为h 的空中以初速度v 0抛也一物体，不计空气阻力，求物体落地时的
速度大小？
分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能守恒，
选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等
2202
121t mv mv mgh =+ 得：gh v v t 220+= （2）固定的光滑斜面类
在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。

例 :以初速度v 0 冲上倾角为θ光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少？
分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等
θsin 2120⋅==mgs mgh mv 得：θsin 220g v s =
（3）固定的光滑圆弧类
在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。

例：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为R ，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动？
分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等
2202
1221t mv R mg mv += 要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为：
Rg v t = 所以 gR v 50=
练习：一质量m = 2千克的小球从光滑斜面上高h = 3.5米高处由静止滑下斜面底端紧接着一个半径R = 1
米的光滑圆环（如图）求：
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少要从多高处静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h 0 = 2米处静止滑下时将在何处脱离圆环（g =9.8米/秒2）。

（4）悬点固定的摆动类
和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。

由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。

因此只有重力做功，物体的机械能守恒。

作题方法：
一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。

注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。

这在计算中是要特别注意的。

例：如图，小球的质量为m ，悬线的长为L ，把小球拉开使悬线和竖直方向的夹角为θ，然后从静止释放，求小球运动到最低点小球对悬线的拉力
分析：物体在运动过程中受到重力和悬线拉力的作用，悬线的拉力对物体不做功，所以只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体开始运动时和到达最低点时的机械能相等
22
1)cos 1(t mv mgL =-θ 得：)cos 1(22θ-=gL v t 由向心力的公式知：L mv mg T t 2=-可知θcos 23mg mg T -=
质量相同的两个小球，分别用长为l 和2 l 的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分
别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（C 、D ）
A ．两球运动的线速度相等
B ．两球运动的角速度相等
C ．两球运动的加速度相等
D ．细绳对两球的拉力相等
二、系统的机械能守恒 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面
（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。

不做功，系统的机械能就不变。

（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。

系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能
系统间的相互作用力分为三类：
1） 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等
2） 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。

虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。

但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类
（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

（1）轻绳连体类
这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为θ的光滑斜面上有一质量为M 的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m 的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m 离地面的高度为h ，求它们开始运动后m 着地时的速度？ 分析 22
2121s i n mv Mv Mgh mgh ++
=θ 可得m
M M m gh v +-=)
sin (2θ 需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系
练习：1、如图，光滑斜面的倾角为θ，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离
为a ，斜面上的物体M 和穿过细杆的m 通过跨过定滑轮的轻绳相连，开
始保持两物体静止，连接m 的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止
开始运动，求m 下降b 时两物体的速度大小？
2、
3、
（2）轻杆连体类
这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，质量均为m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L 、2L ，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小
分析：在整个机械能当中，只有A 的重力势能减小，A 球的动能以及B 球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。

有：
222
1212B A mv mv mgL L mg ++= 根据同轴转动，角速度相等可知
B A v v 2=所以：⎩⎨⎧==gL v gL v B A 5
2522 需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系
练习：如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、
B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时
直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，
求：⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；
⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

⑶在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

解：⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。

2
22321221322⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL v =
⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。

2mg ∙2L cos α=3mg ∙L （1+sin α），此式可化简为4cos α-3sin α=3，利用三角公式可解得sin （53°-α）=sin37°，α=16° A B
O v 1/2 A B O v 1 O
A B α B O θ α θ A ⑴ ⑵ ⑶
⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，
()2
232
12221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L （1-cos θ）=mgL （4sin θ+3cos θ-3）≤2mg ∙L ， 解得11
4gL v m = （3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明
例：四分之一圆弧轨道的半径为R ，质量为M ，放在光滑的水平地面上，一质量为m 的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？
分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是M 、m 受到的重力和
地面的支持力。

m 的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有
位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相
互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对m 做负功，对M 做正功，但这种做
功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足
系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有m 的重力势能减小，m 的动能以及M 球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。

有：
222
121m M mv Mv mgR += 根据动量守恒定律知
M m Mv mv -=0 所以：⎩⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gR M v m M M gR m v M m （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明
例：质量为M 的小车放在光滑的天轨上，长为L 的轻绳一端系在小车上另一端拴
一质量为m 的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。

求（1）小
球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？
分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重
力和天轨的支持力。

小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增
加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。

有：
222
121m M mv Mv mgL += 根据动量守恒定律知M m Mv mv -=0 所以：⎩
⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gL M v m M M gL m v M m 当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力T 和重力作用，根据向心力的公式
L mv mg T 2
=- 但要注意，公式中的v 是m 相对于悬点的速度，这一点是非常重要的
L v v m mg T M m 2
)(+=- 解得：M
m M mg T 23+= 习题
如图5－3－15所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过a 点，乙小球竖直下落经过b 点，a 、b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法中正确的是( AC )
A ．甲小球在a 点的速率等于乙小球在b 点的速率
B ．甲小球到达a 点的时间等于乙小球到达b 点的时间
C ．甲小球在a 点的机械能等于乙小球在b 点的机械能(相对同一个零势能参
考面)
D ．甲小球在a 点时重力的功率等于乙小球在b 点时重力的功率
解析：由机械能守恒得两小球到达a 、b 两处的速度大小相等，A 、C 正确；设斜面的倾角为α，甲小
球在斜面上运动的加速度为a ＝g sin α，乙小球下落的加速度为a ＝g ，由t ＝v a
可知t 甲＞t 乙，B 错误；甲小球在a 点时重力的功率P 甲＝mg v sin α，乙小球在b 点时重力的功率P 乙＝mg v ，D 错误． 答案：
2.一根质量为M 的链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图所示．将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为v 1.若在链条两端各系一个质量均为m 的小
球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个
小球挂在桌边，如图5－3－16(b)所示．再次将链条由静止释放，链
条刚离开桌面时的速度为v 2，下列判断中正确的是( )
A ．若M ＝2m ，则v 1＝v 2
B ．若M ＞2m ，则v 1＜v 2
C ．若M ＜2m ，则v 1＞v 2
D ．不论M 和m 大小关系如何，均有v 1＞v 2 答案：D
3.在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m 的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F ，那么在他减速下降高度为h 的过程中，下列说法正确的是(g 为当地的重力加速度)( )
A ．他的动能减少了Fh
B ．他的重力势能增加了mgh
C ．他的机械能减少了(F －mg )h
D ．他的机械能减少了Fh 解析：由动能定理，Δ
E k ＝mgh －Fh ，动能减少了Fh －mgh ，A 选项不正确；他的重力势能减少了mgh ，B 选项错误；他的机械能减少了ΔE ＝Fh ，C 选项错误，D 选项正确． 答案：D
4．如图5－3－18所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质
量为m ＝0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为L ＝0.5 m ，铁块与
纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1.现用力F 水平向左将
纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁
块抛出后落地点离抛出点的水平距离为s ＝0.8 m ．已知g ＝10 m/s 2，
桌面高度为H ＝0.8 m ，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚
动．求：
(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t 1；(3)纸带抽出过程产生的内能E .
解析：(1)水平方向：s ＝v t ① 竖直方向：H ＝12
gt 2② 由①②联立解得：v ＝2 m/s. (2)设铁块的加速度为a 1，由牛顿第二定律，得μmg ＝ma 1③ 纸带抽出时，铁块的速度v ＝a 1t 1④
③④联立解得t 1＝2 s. (3)铁块的位移s 1＝12a 1t 21
⑤ 设纸带的位移为s 2；由题意知，s 2－s 1＝L ⑥ 由功能关系可得E ＝μmgs 2＋μmg (s 2－s 1)⑦ 由③④⑤⑥⑦联立解得E ＝0.3 J.
答案：(1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J
5.如图5－3－19所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木
箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装
置将质量m ＝2 kg 的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧
被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶
端，接着再重复上述过程．若g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小； (2)满足设计要求
的木箱质量．
解析：(1)设木箱质量为m ′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：m ′g sin 37°＋μm ′g cos 37°＝m ′a 代入数据解得：a ＝8 m/s 2.
(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L ，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为E p ，根据能量守恒定律：货物和木箱下滑过程中有：(m ′＋m )g sin 37°L ＝μ(m ′＋m )g cos 37°L ＋E p 木箱上滑过程中有E p ＝m ′g sin 37°L ＋μm ′g cos 37°L 联立代入数据解得：m ′＝m ＝2 kg. 答案：(1)8 m/s 2 (2)2 kg 如图5－3－20所示，一个质量为m 的小铁块沿半径为R 的固定半圆轨道上边缘
由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁
块损失的机械能为( )
A.18mgR
B.14mgR
C.12mgR
D.34
mgR 解析：设铁块在圆轨道底部的速度为v ，则1.5mg －mg ＝m v 2R ，由能量守恒有：mgR －ΔE ＝12
m v 2，所以ΔE ＝34
mgR . 答案：D 2.如图5－3－21所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止下
滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A ．物体的重力势能减少，动能增加
B ．斜面的机械能不变
C ．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D ．物体和斜面组成的系统
机械能守恒
解析：物体下滑过程中，由于物体与斜面相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面加速运动，斜面的动能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，且夹角大于90°，所以物体克服相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，故A 项正确，B 、C 项错误．对物体与斜面组成的系统内，只有动能和重力势能之间的转化，故系统机械能守恒，D 项正确． 答案：AD
3.如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，演员a 站于地面，演员b 从
图示的位置由静止开始向下摆，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b 摆至最
低点时，演员a 刚好对地面无压力，则演员a 与演员b 质量之比为( )
A ．1∶1
B ．2∶1
C ．3∶1
D ．4∶1
解析：由机械能守恒定律求出演员b 下落至最低点时的速度大小为v . 12
m v 2＝mgl (1－cos 60°)，v 2＝2gl (1－cos 60°)＝gl .此时绳的拉力为T ＝mg ＋m v 2l
＝2mg ，演员a 刚好对地压力为0.则m a g ＝T ＝2mg .故
m a ∶m ＝2∶1.
答案：B 4.如图5－3－23所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．从
静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( )
A ．h
B ．1.5h
C ．2h
D ．2.5h
解析：考查机械能守恒定律．在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、
b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12
(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12
m v 2＝
mgΔh，Δh＝v2
2g＝
h
2，所以a球可能达到的最大高度为 1.5h，B项正
确．答案：B
5.如图5－3－24所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg的物体被一个劲度系数为120 N/m 的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m才停下来，下列说法正确的是(g 取10 m/s2)()
A．物体开始运动时弹簧的弹性势能E p＝7.8 J B．物体的最大动能为
7.8 J
C．当弹簧恢复原长时物体的速度最大D．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x＝0.05 m
解析：物体离开弹簧后的动能设为E k，由功能关系可得：E k＝μmgx1＝7.8 J，设弹簧开始的压缩量为x0，则弹簧开始的弹性势能E p0＝μmg(x0＋x1)＝7.8 J＋μmgx0＞7.8 J，A错误；当弹簧的弹力kx2＝μmg 时，物体的速度最大，得x2＝0.05 m，D正确，C错误；物体在x2＝0.05 m到弹簧的压缩量x2＝0的过程做减速运动，故最大动能一定大于7.8 J，故B错误．答案：D
6.如图5－3－25所示，电梯由质量为1×103 kg的轿厢、质量为8×102 kg的配重、定滑轮和钢缆组成，轿厢和配重分别系在一根绕过定滑轮的钢缆两端，在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，定滑轮与钢缆的质量可忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.在轿厢由静止开始以2 m/s2的加速度向上运行1 s的过程中，电动机对电梯共做功为(B)
A．2.4×103 J B．5.6×103 J C．1.84×104 J D．2.16×104 J
解析：电动机做功：W＝(M－m)gh＋1
2(M＋m)v
2＝(1 000－800)×10×1＋
1
2(1
000＋800)×22＝5 600 J.
7.来自福建省体操队的运动员黄珊汕是第一位在奥运会上获得蹦床奖牌的中国选
手．蹦床是一项好看又惊险的运动，如图5－3－26所示为运动员在蹦床运动中完
成某个动作的示意图，图中虚线PQ是弹性蹦床的原始位置，A为运动员抵达的
最高点，B为运动员刚抵达蹦床时的位置，C为运动员抵达的最低点．不考虑空
气阻力和运动员与蹦床作用时的机械能损失，A、B、C三个位置运动员的速度分别是v A、v B、v C，机械能分别是E A、E B、E C，则它们的大小关系是()
A．v A<v B，v B>v C B．v A>v B，v B<v C C．E A＝E B，E B>E C
D．E A>E B，E B＝E C
A机械能守恒，E A＝E B，B→A机械能守恒，E A＝E B，B→C弹力对人做负功，
机械能减小，E B>E C.
答案：AC
如图5－3－27所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点．下列说法中正确的是()
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零
B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等
C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等
解析：小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，支持力不做功，摩擦力做负功，所以A选项错误；从A到B的过程与从B到A的过程中，位移大小相等，方向相反，损失的机械能等于克服摩擦力做的功，所以C选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程，位移相等，合外力也相等，方向与运动方向相反，所以合外力做负功，大小相等，所以减少的动能相等，因此，B选项正确；小球从A到C过程与从C到B过程中，减少的动能相等，而动能的大小与质量成正比，与速度的平方成正比，所以D错误．答案：BC
9.在2008北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以5.05 m的成绩第24次打破世界记录．图5－3－28为她在比赛中的几个画面，下列说法中正确的是()
A．运动员过最高点时的速度为零B．撑杆恢复形变时，弹性势能完全转化为动能
C．运动员要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆D．运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功
解析：撑杆跳运动员过最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，选项A错误；
当运动员到达最高点杆恢复形变时，弹性势能转化为运动员的重力势能和动能，
选项B错误；运动员可以背跃式跃过横杆，其重心可能低于横杆，选项C错误；
运动员在上升过程中对杆先做正功转化为杆的弹性势能后做负功，杆的弹性势能
转化为运动员的重力势能和动能，选项D正确．答案：D
10.如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得
到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中正确的是()
A．如果v0＝gR，则小球能够上升的最大高度为R 2
B．B．如果v0＝2gR，则小球能够上升的最大高度为R 2
C．如果v0＝3gR，则小球能够上升的最大高度为3R 2
D．如果v0＝5gR，则小球能够上升的最大高度为2R
解析：根据机械能守恒定律，当速度为v0＝gR，由mgh＝1
2m v
2
解出h＝
R
2，A项正确，B项错误；当v0
＝5gR，小球正好运动到最高点，D项正确；当v0＝3gR时小球运动到最高点以下，若C项成立，说明小球此时向心力为0，这是不可能的．答案：AD
11．如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m．现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5 s时，车被地面装置锁定．(g＝10 m/s2)试求：
(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；(2)车被
锁定时，车右端距轨道B端的距离；
(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于
摩擦而产生的内能大小；
(4)滑块落地点离车左端的水平距离．
解析：(1)设滑块到达B端时速度为v，由动能定理，得mgR＝1
2m v
2 ，由牛顿第二定律，得F
N
－mg＝m
v2
R
联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：F N ＝3mg ＝30 N.
(2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得:对滑块有：－μmg ＝ma 1, 对小车有：μmg ＝Ma 2
设经时间t 两者达到共同速度，则有：v ＋a 1t ＝a 2t, 解得t ＝1 s ．由于1 s ＜1.5 s ，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v ′＝a 2t ＝1 m/s
因此，车被锁定时，车右端距轨道B 端的距离：x ＝12
a 2t 2＋v ′t ′＝1 m. (3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离Δx ＝
v ＋v ′2t －12
a 2t 2＝2 m 所以产生的内能：E ＝μmg Δx ＝6 J.
(4)对滑块由动能定理，得－μmg (L －Δx )＝12m v ″2－12m v ′2, 滑块脱离小车后，在竖直方向有：h ＝12
gt ″2 所以，滑块落地点离车左端的水平距离：x ′＝v ″t ″＝0.16 m.
答案：(1)30 N (2)1 m (3)6 J (4)0.16 m
2．如图7－7－11所示，质量为2m 和m 可看做质点的小球A 、B ，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为R 的光滑圆柱两侧，开始时A 球和B 球与圆柱轴心等高，然后释放A 、B 两球，则B 球到达最高点时的速率是多少?
图7－7－11
2．解：此题用运动学很难解答，但选取A 、B 球及细线为研究系统，重力以外的力不做功，故用机械能守恒定律求解．
选取轴心所在水平线为势能零点，则刚开始时系统机械能为零，即
E 1＝0． 当B 球到达最高点时，系统机械能为 E 2＝mgR ＋21mv 2－2mg 2142+R π （2m ）v 2 由于E 1＝E 2 即0＝mgR ＋21mv 2－2mg 2142+R π（2m ）v 2
解得 v ＝)1(32-πgR 例1 如图所示，质量均为m 的小球A 、B 、C ，用两根长为l 的轻绳相连，置于高为h 的光滑水平面上，l ＞h ，A 球刚跨过桌边，若A 球、B 球相继下落着地后均不再反弹，求C 球刚离开桌边时的速度大小。