2019年福建省漳州市诏安县怀恩中学高三数学文模拟试卷含解析

2019年福建省漳州市诏安县怀恩中学高三数学文模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线与圆相交于两点,则弦的长度等于（▲）A．B．. C．D．1
参考答案：
【知识点】直线与圆相交的性质．H4
【答案解析】B 解析：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=
由直线与圆相交的性质可知，，即，∴，故选B。

【思路点拨】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解。

2. 若满足且的最小值为－2，则的值为（）
A. 1
B.－1
C. 2
D. --2
参考答案：
B
【知识点】简单线性规划．
【答案解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由，得，∴B．由得．
由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最小，即z最小．解得：k=-1．故选B.
【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
3. 若函数是R上的奇函数，且对于则
的解集是（）
A、 B、 C、 D．
参考答案：
A
略
4. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
参考答案：
B
略
5. 某次测试成绩满分为150分，设名学生的得分分别为（，
），（）为名学生中得分至少为分的人数.记为名学生的平均成绩.则
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
略
6. 若△ABC的内角A、B、C满足
A． B．
C． D．
参考答案：
B
根据正弦定理知，不妨设，则
，所以，选B.
7. 集合，，则A∩B=（）
A. [－3,3]
B.
C. (0,3]
D.
参考答案：
C
【分析】
通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可．
【详解】由题意得，
，
∴．
故选C．
【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．
8. 设满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则
tan2α=( )
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函数的基本关系可得tanα，由二倍角的正切公式可得．
【解答】解：由三角函数的定义可得cosα=，
又∵cosα=x，∴=x，
又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=﹣3
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα==﹣
∴tan2α==
故选：A
【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及三角函数的定义和同角三角函数的基本关系，属基础题．
10. 圆心在直线上的圆的方程是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得则
的最小值为______________。

参考答案：
略
12. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数
的值是 .
参考答案：
8
抛物线的焦点坐标为，在双曲线中，所以，所以，即双曲线的右焦点为，所以。

13. 已知向量夹角为45°，且，则= ．
参考答案：
3
【考点】9R：平面向量数量积的运算；9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】由已知可得， =，代入
|2|====可求
【解答】解：∵， =1
∴=
∴|2|====
解得
故答案为：3
14. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生.
参考答案：
60
由分层抽样方法可得一年级抽取人数为.
15. 已知是双曲线的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若，则双曲线E的离心率是 __________.
参考答案：
16. 设，向量，，，且，，则
=_____________.
参考答案：
17. 设G是三角形的重心，且=0，若存在实数λ，使得，，依次
成等差数列，则实数λ为．
参考答案：
【考点】8L：数列与向量的综合；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】利用G点为△ABC的重心，且=0，进一步得到用、表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可．
【解答】解：G为三角形ABC的重心，且=0，
∴?=0，
即?=0，∴b2﹣2c2﹣2bc?cosA=0．
又+=，
即+=，
∴2λ=（+）?
=?
=?
=
==，
故λ=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；（2）若，求正数的取值范围
参考答案：
解：（1）由，得．---------------6分
（2）．---------------8分
由，得，---------------------10分
又，所以，
即的取值范围是．------------------------12分
19. 如图，已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上的动
点，P到点M（0，2）的距离的最大值为，直线l交椭圆于两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若以P为圆心的圆的半径为，且圆P与OA、OB相切．
（i）是否存在常数，使恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；
（ii）求△OAB的面积．
参考答案：
（1）∵，a2=b2+c2，可得a=2b，．∴椭圆的标准方程为：+y2=b2，
设P（x，y），（﹣b≤y≤b）．
P到点M（0，2）的距离
d===，
当0＜b＜时，y=﹣b时，d取得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2，舍去．
当≤b时，y=﹣时，d取得最大值，∴=，解得b=1，满足条件．
∴椭圆E的方程为：+y2=1．…………………4分
（2）（i）设P（m，n），则=1．⊙P的方程为：（x﹣m）2+（y﹣n）2=，
设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．
则=，化为：（5m2﹣4）k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，
∴k1+k2=，k1k2=，……………………6分
假设存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立，则,
=﹣=﹣=-, 故为常数．……………………8分
(ii)当斜率存在时，设直线的方程为
联立，得
，……………………9分
，…………………10分
由（i）知，x1x2+4y1y2=0，化简可得，
O到的距离为，……………………11分
当斜率不存在时，易得的方程为，，
……………12分
20. （本小题满分14分）已知函数f（x）＝－x3＋a x2－4（），是f（x）的
导函数。

（1）当a＝2时，对于任意的m［－1,1］，n［－1,1］，求＋的最小值；
（2）若存在，使＞0，求a的取值范围。

参考答案：
试题解析：解：（1）由题意知
令
…………2分
当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：
x-1（-1，0）0（0，1）1
的最小值为
…………4分
的对称轴为，且抛物线开口向下,
的最小值为
…………5分
的最小值为-11. …………6分
（2）.
考点：利用导数求最值，二次函数求最值
21. 如图，三棱柱中，侧棱，且侧棱和底面边长均为2，是的中点
（1）求证：
；
（2）求证:；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
（1）证明：因为，又，
所以
因为是正三角形，是的中点，
所以，又，
所以，
因为，
所以……………4分
（2）证明：如图，连接交于点，连接
由题得四边形为矩形，为的中点，又为的中点，所以
因为，
所以………………………………………8分
(3)解法一、由（1）得
在平面内过作于
连接,则为直线与平面所成角
在中，
所以
在中，得
所以 (12)
分
解法二、在中，得
因为，
设点到平面的距离为
即
因为，，
所以
设直线与平面所成角为
所以
……………………………………………………………………12分
略
22. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数a的取值范围. 参考答案：
解：(Ⅰ)由|，得，
∴，得不等式的解为
(Ⅱ)，
，
对任意的均存在，使得成立，
，
，解得或，
即实数的取值范围为：或．。