专题11 利用X模型证明三角形全等(解析版)

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专题11 利用x 模型证明三角形全等
知识对接
考点一、一线三直角的应用
(1)图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;
(2)图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;
(3)图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;
(4)图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;
(5)对于平面直角坐标系,在x 轴或y 轴(也可以是平行于x 轴或y 轴的直线)上构造“一线三直角”是解决问题的关键.
专项训练
一、单选题
1．（2021·四川）如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点O 作射线OG 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；（3）BE +BF
OA ；（4）AE 2+CF 2＝2OP •OB ．
正确的结论有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】
由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由
AOE BOF △≌△，得出四边形OEBF 的面积ABO =△的面积1
4=正方形ABCD 的面积，得
出（2）正确；由BOE COF ≌，得出BE CF =
，得出BE BF AB +==，得出（3）正确；由AOE BOF △≌△得出AE BF =，进而2222222AE CF BE BF EF OF +=+==，再证明OPF △∠OFB △，得出2•OF OP OB =，得出（4）正确．
【详解】
解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：
ABC ADC ≅△△，AOB COB ≅，AOE BOF ≅△△，BOE COF ≅△△；
理由如下：
四边形ABCD 是正方形，
AB BC CD DA ∴===，90BAD ABC BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，45BAO BCO ∠=∠=︒， 在ABC 和ADC 中，
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC ADC SSS ∴≅；
点O 为对角线AC 的中点，
OA OC ∴=，
在AOB 和COB △中，
OA OC AB CB OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AOB COB SSS ∴≅；
AB CB =，OA OC =，90ABC ∠=︒，
90AOB ∠=︒∴，45OBC ∠=︒，
又90EOF ∠=︒，
AOE BOF ∴∠=∠，
在AOE △和BOF 中，
45OAE OBF OA OB
AOE BOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOE BOF ASA ∴≅；
同理：BOE COF ≅△△；
（2）正确．理由如下：
AOE BOF ≅，
∴四边形OEBF 的面积ABO =△的面积14
=正方形ABCD 的面积； （3）正确．理由如下：
BOE COF ∆≅∆，
BE CF ∴=，
BE BF CF BF BC AB ∴+=+==；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2
OF）2＝2OF2，
在∠OPF与∠OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∠∠OPF∠∠OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP•OB，
AE2+CF2＝2OP•OB．
正确结论的个数有3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和
性质等．解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2021·广东佛山市·九年级）下列命题正确的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．16的平方根是4
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】
对各选项依次进行判断分析，由此即可求解．
【详解】
选项A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，故
本选项错误；
选项B，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
选项C，16的平方根是±4，故本选项正确；
选项D，有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，例如，一个直角三角形的一条直
角边与另一个直角三角形的一条直角边对应相等，另一条直角边与斜边对应相等，这两个直
角三角形不全等，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定、平方根及全等三角形的判定等知识，熟悉相
关性质是解题的关键．
3
3．如图，点C ，F ，B ，E 在同一直线上，∠C ＝∠DFE ＝90°，添加下列条件，仍不能判定∠ACB 与∠DFE 全等的是（ ）
A ．∠A ＝∠D ，A
B ＝DE
B ．A
C ＝DF ，CF ＝BE C ．AB ＝DE ，BC ＝EF
D ．∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】 解：A 、∠∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据AAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；
B 、∠CF ＝BE ，可得，B
C ＝EF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据SAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；
C 、∠AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据HL 判断Rt∠ACB 与Rt∠DFE 全等，不符合题意；
D 、∠∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠
E ，∠C ＝∠DFE ＝90°，由AAA 不能判定∠ACB 与∠DFE 全等，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB 、于点C D 、．分别以C D 、两点为圆心，CD 长为半径画弧，两段弧交于点P ，作射线OP ，连接PC PD 、，则POC △与POD 全等，其全等的判定依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【分析】
由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定∠OCP∠∠ODP．
【详解】
解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，
又∠OP＝OP，
∠∠OCP∠∠ODP（SSS），
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图：作已知角的角平分线，全等三角形的判定定理，熟练掌握“SSS”判定
两个三角形全等，是解题的关键．
5．（2021·河南师大附中九年级模拟预测）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直
线m上的一动点，连接PC，P A，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是
（）
A．ABC与PCA全等B．ABC与PCA的周长相等
C．ABC与PCA的面积相等D．四边形ACBP是平行四边形
【答案】C
【分析】
由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
【详解】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以ABC与PCA不
一定全等，故A错误；
选项B，ABC的周长是定值，而PCA的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于ABC与PCA都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，
可由平行线间的距离处处相等知道ABC与PCA属于同底等高的三角形，故二者面积相等，
所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的
对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【点睛】
5
本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
6．（2021·内蒙古包头市·九年级）已知下列命题：∠若a b >，则ac bc >；∠若a a =，则0a >；∠内错角相等；∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，绝对值的意义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质判断即可．
【详解】
解：∠若a b >，0c >，则ac bc >；故∠错误；
∠若a a =，则0a ≥；故∠错误；
∠两直线平行，内错角相等；故∠错误；
∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，故∠正确；
故选：A
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2021·山东）下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C ．两条直线被三条直线所截，内错角相等
D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即可．
【详解】
解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题； B 、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA ，则两个三角形不一定全等，故为假命题； C 、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；
D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判定，
7
平行线的性质是解题的关键．
8．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）
A ．2
B ．169
C ．3
2 D
【答案】C
【详解】
解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，
∠四边形EFGH 为正方形，
∠EG FH =，
∠ABE △是以AB 为底的等腰三角形，
∠AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，
∠ABE △∠CDG ，
∠CDG 为等腰三角形，
∠CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，
∠四边形ABCD 为正方形，
∠AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，
∠MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，
则,EM AB GN CD ，EM GN ，
∠正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ，
∠4MN =，
设EM GN x ，则42EG FH x ，
∠正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，
即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，
∠4x =不符合题意，故舍去，
∠1x =，则S 正方形EFGH 14122
==⨯⨯=ABE S ， ∠ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，
∠2====ABE BCF CDG DAH S S S S ，
∠正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∠1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42
-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．
9．（2021·广东汕头市·）下列命题正确是( )
A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
C ．垂直于圆的半径的直线是切线
D ．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，此项错误
B 、有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，此项错误
C 、垂直于圆的半径，且与圆只有一个交点的直线是切线，此项错误
D 、对角线相等的平行四边形是矩形，此项正确
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．
10．（2021·全国）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．两直线平行，同位角相等
C ．全等三角形的对应角相等
D ．正方形的四个角相等
9
【答案】B
【分析】
先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B 、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C 、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D 、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B ．
【点睛】
本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
二、填空题
11．（2021·北京海淀·人大附中九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若5CF =，13AB =，则EF 的长为___．
【答案】【分析】
由全等三角形的性质可得AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE ，可得EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，可证四边形EGFH 是正方形，即可求EF 的长．
【详解】
解：∠正方形ABCD 是由四个全等的三角形围成的，
∠AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE
∠EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，
∠四边形EGFH 是菱形，且∠AEB ＝90°
∠四边形EGFH 是正方形
∠EF EG ＝
故答案为：【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH 是正方形是本题的关键．
12．（2021·浙江湖州市·）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90,3,10A BD CF ∠=︒==，则OE 的长度是_________．
【答案】2
【分析】
设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出OE 的长．
【详解】
解：设正方形ADOF 的边长为x ，
由题意得：BE =BD =3，CE =CF =10，
∠BC =BE +CE =BD +CF =13，
在Rt ∠ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，
即（10+x ）2+（x +3）2=132，
整理得，x 2+13x 30-=0，
解得：x =2，或x =-15（舍去），
即正方形ADOF 的边长是2，
11
∠DO =FO =2， ∠∠BOD ∠∠BOE ， ∠2OE OD ==． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
13．（2021·黑龙江九年级）如图，∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要证明∠ABC∠∠DEF ，需要添加一个条件为_______（只添加一个条件即可）；
【答案】∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【分析】
若添加条件∠A=∠D ，可利用ASA 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件BC=EF ，则利用SAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件∠ACB=∠F ，则利用AAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ． 【详解】
解：可添加条件∠A=∠D ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，
A D A
B DE B DEF ∠∠⎧⎪
⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝
∠∠ABC∠∠DEF （ASA ）； 可添加条件BC=EF ，
理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，
AB DE B DEF BC EF ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∠∠ABC∠∠DEF （SAS ）； 可添加条件∠ACB=∠F ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，
B DEF AB DE ⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝，＝
∠∠ABC∠∠DEF （AAS ）；
故答案为∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
14．（2021·江苏九年级）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S ，则
n
m
的值为______．
【分析】
如图（见解析），设AB CD a ==，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出12,S S 的值，再根据12S S 建立等式，然后根据212S S m 建立等式求出a 的值，最后代入求解即可． 【详解】
如图，由题意得：AC m =，BD n =，AB CD =，ABC 是直角三角形，且,m n 均为正数 则大正方形的面积为22AC m 小正方形的面积为22BD n 设(0)AB CD a a ==> 则22211
44
22
Rt
ABD
S S n AB BD n an n
221
44
22
ACD
S S
CD AB a 1
2S S
13
又212S S m ，即222S m
2
24a m
解得2
m a =
或2
m
a （不符题意，舍去） 将2
m
a =代入2222an n a 得：2
2
2
m mn n 两边同除以2
2
m 得：222()1n n m m 令
0n x m
则2221
x x 解得x =31
02
x （不符题意，舍去）
即
n m
【点睛】
本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出12,S S 的值是解题关键．
15．（2021·邹城市看庄中学九年级一模）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-，如果要使以A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等（点
D 不与点C 重合）
，那么点D 的坐标是______．
【答案】()2,1--或()4,3或()41-, 【分析】
根据题意画出图形，根据A 、B 、C 的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：
∠点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-， ∠D 1的坐标是（-2，-1），D 2的坐标是（4，-1），D 3的坐标是（4，3）， 故答案为：()2,1--或()4,3或()41-,． 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大． 三、解答题
16．（2021·黑龙江九年级）已知：在∠ABC 和∠DBE 中，AB ＝DB ，BC ＝BE ，其中∠ABD ＝∠CBE ．
（1）如图1，求证：AC ＝DE ；
（2）如图2，AB ＝BC ，AC 分别交DE ，BD 于点F ，G ，BC 交DE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．
【答案】（1）见解析；（2）∠ABC∠∠DBE；∠ABG∠∠EBH；∠DBH∠∠CBG；∠DFG∠∠CFH 【分析】
（1）根据SAS证明∠ABC与∠DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．
（2）根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】
证明：（1）∠∠ABD=∠CBE，
∠∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
在∠ABC与∠DBE中，
AB DB
ABC DBE BC BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∠∠ABC∠∠DBE（SAS），
∠AC=DE；
（2）由（1）得∠ABC∠∠DBE，
∠∠A=∠D，∠C=∠E，AB=DB，BC=BE，∠AB=BE，
∠AB=BC，
∠∠A=∠C，
∠∠A=∠E，
在∠ABG与∠EBH中，
A E
AB BE
ABD EBC ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∠∠ABG∠∠EBH（ASA），∠BG=BH，
在∠DBH与∠CBG中，
BG BH
DBH CBG DB CB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∠∠DBH∠∠CBG（SAS），
15
∠∠D=∠C，
∠DB=CB，BG=BH，∠DG=CF，
在∠DFG与∠CFH中，
DFG CFH
D C
DG CF
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∠∠DFG∠∠CFH（AAS）．
【点睛】
此题考查了及全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理正确推理论证是关键．
17．（2021·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）如图，点E为正方形ABCD边BC上一点，∠O是∠ABE的外接圆，与AD交于点F．
（1）尺规作图，在CD上求作点G，使∠ABE～∠FDG；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下∠证明：直线FG与∠O相切∠若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长．【答案】（1）作∠DFG=∠BAE，图形见详解（2）∠证明见详解，
【分析】
（1）利用尺规作图作∠DFG=∠BAE，即可得到∠ABE～∠FDG；
（2）∠连结OF，由半径OA=OF，可得∠OAF=∠OF A，根据四边形ABCD为正方形，可得∠BAF=90°，可得∠BAE+∠OF A=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG可得∠DFG+∠OF A=90°，可求∠OFG=90°即可．
∠连结EF，由AE为直径，可得∠AFE＝90°，可证四边形ABEF为矩形，可得AF=BE，设
BE为x，由∠ABE～∠FDG，可列方程
4
4-1
x
x
=，解得=2
x，在Rt∠ABE中，由勾股定理AE
=
=
【详解】
解：（1）在AE上以点A为圆心，以任意长为半径画圆，交AE于H，交AB于K，再以点F
为圆心，以同样长为半径画弧，交FD于I，再以点I为圆心，以KH为半径画弧，交前弧
于L，过点L作射线FL交CD与G，
则∠DFG=∠BAE，
又∠四边形ABCD为正方形，
∠∠ABE=∠FDG=90°，
∠∠ABE～∠FDG；
（2）∠连结OF，
∠OA=OF，
∠∠OAF=∠OF A，
根据四边形ABCD为正方形，
∠∠BAF=90°，
∠∠BAE+∠EAF=90°，
∠∠BAE+∠OF A=90°，
由作法可得∠BAE=∠DFG，
∠∠DFG+∠OF A=90°，
∠∠OFG=180°-∠OF A-∠DFG=180°-（∠OF A+∠DFG）=90°，
根据切线定义可得FG为∠O的切线．
17
∠AE为直径，
∠∠AFE＝90°
又∠∠ABE=∠BAF=90°
∠∠ABE=∠BAF=∠AFE=90°，∠四边形ABEF为矩形，
∠AF=BE
设BE为x
∠FD=AD-AF=AD-BE=4-x,∠∠ABE～∠FDG，
∠AB BE
FD DG
=即
4
4-1
x
x
=
解得=2
x
经检验=2
x是方程的解，
在Rt∠ABE中，由勾股定理AE=
∠OA=1
2
AE
【点睛】
本题考查尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形，圆的切线判定，掌握尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形方法，圆的切线判定由切点连半径证垂直是解题关键．18．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，已知∠ABC是等腰三角形，顶角∠A＝108°．在BC边上求作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
【答案】见解析
19
根据垂直平分线的作图步骤，首先以点A 为圆心大于线段AC 一半的长度画弧，再以点C 为圆心，以相同长度为半径画弧，两弧相交于两点，连接两点即可得出答案． 【详解】
解：如图所示：点D 即为所求．
【点睛】
本题考查的是垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的作图方法以及步骤是解决本题的关键． 19．（2021·福建九年级）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AD ∠BC ，垂足为D ． 求作：∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点，并证明APQ 是等腰三角形． (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析 【分析】
以B 为圆心，任意长度为半径作弧，交,AB BD 于两点，分别以这两点为圆心，分别在∠ABC 的内部作弧交于一点，过B 与角的内部的这点作射线，交AD ，AC 于点P ，Q ，射线BQ 即为所求；先根据垂直的定义得出90CDA BAC ∠=∠=o ，故90C DAC ∠+∠=o 再根据余角的定义得出90BAP DAC ∠+∠=o ，根据角平分线的性质得出CBQ ABP ∠=∠，进而可得APQ AQP ∠=∠，即可证明． 【详解】
如图所示，射线BQ 就是所求作的；
证明：∠90BAC ∠=︒，AD ∠BC ， ∠90CDA BAC ∠=∠=o ∠90C DAC ∠+∠=o ，
90
∠+∠=o
BAP DAC
∠C BAP
∠=∠，
∠BQ平分∠ABC，
∠CBQ ABP
∠=∠，
∠APQ ABP BAP
∠=∠+∠，
∠=∠+∠
AQP C CBQ
∠=∠，
∠APQ AQP
=，
∠AP AQ
∠APQ是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了基本作图，作角平分线，三角形外角性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键．
20．（2021·浙江九年级）如图，在4×4方格纸中，∠ABC的三个顶点都在格点上请按要求完成作图，仅用无刻度直尺．画出一个与∠ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．
【答案】见解析
【分析】
作点A关于BC的对称点D，连接CD，BD，即可．
【详解】
如图所示，
21
理由如下：
∠点D 与点A 关于直线BC 对称， ∠AC =DC ，AB =DB ， 又∠BC =BC ， ∠ABC DBC △≌△． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握“SSS ”证明全等三角形，是解题的关键． 21．（2021·河北石家庄·九年级）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上任意一点（可与B ，D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AN ，连接MN ，DN ，设BM x =．
（1）求证：ABM ADN ≅； （2
）当x MN 的长；
（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“ABM 与MND 也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出ABM 与MND 全等时x 的值；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2
）MN =（3
）正确；x = 【分析】
（1）由旋转可知∠MAN =90°，然后得到BAM DAN ∠=∠，进而用SAS 证明ABM ADN ≅； （2）根据正方形的性质得到45ADB ∠=︒，由（1）中ABM ADN ≅可得到ABM ADN ∠=∠
，
然后得到∠MDN =90°，则∠MDN 为直角三角形，然后利用勾股定理计算MN 的长度即可； （3）由（2）可知∠MDN 为直角三角形，∠MDN =90°，所以要使得ABM 与MND 存在全等的情况，即AM ∠BD 时，此时结合（1）和（2）易证得ABM ∠NMD △，此时BM =1
2BD ． 【详解】
（1）证明：∠90BAD MAN ∠=∠=︒， ∠BAM DAN ∠=∠， 在ABM 和AND △中， AB AD BAM DAN AM AN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∠ABM ADN ≅．
（2）∠BD 是正方形ABCD 的对角线，且6AB =，
∠BD =45ADB ∠=︒，
∠MD BD BM =-== 由ABM AND ≅△△得：
ND BM ==45ADN ABM ∠=∠=︒，
∠454590MDN ADB ADN ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∠在Rt MDN 中，
MN ==
（3）正确； ∠ABM ADN ≅， ∠BM =ND ，
由（2）可得∠MDN =90°， 当AM ∠BD 时，
∠四边形ABCD 是正方形， ∠BM =AM =DM ， ∠BM =DM = ND =AM ，
在ABM 和NMD △中BM ND AMB NDM AM MD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∠ABM ∠NMD △（SAS ） ∠BM =1
2BD
x =
故嘉淇的想法正确，此时x =
23
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，结合勾股定理和正方形的性质，得到对应的边角数量关系是解题的关键．
22．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级）在四边形ABCD 中，,B C D E ∠=∠=∠是AB 边上一点，6,8.EB cm BC cm ==点P 从B 出发以2/cm 秒的速度沿线段BC CD 、运动，同时点Q
从C 出发，沿线段CD 、射线DA 运动，当P 运动到D ，两点都停止运动．设运动时间为t （秒）：
（1）当Q 与P 的速度相同，且1t =时，求证：EBP PCQ ∆≅∆
（2）当Q 与P 的速度不同，且P Q 、分别在()BC CD CD EB >、上运动时（如图1），若EBP ∆与PCQ ∆全等，求此时Q 的速度和t 值；
（3）当P 运动到CD 上，Q 运动到射线DA 上（如图2），若Q 的速度为2.5/cm 秒，是否存在恰当的边CD 的长，使在运动过程中某一时刻刚好BCP ∆与PDQ ∆全等，若存在，请求出此时t 的值和边CD 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）Q 的速度为3，t 的值为2；（3）CD 的长为321633
或时，16
3t =两
三角形全等 【分析】
（1）根据SAS 即可证明∠EBP∠∠PCQ ．
（2）正确寻找全等三角形的对应边，根据路程，速度，时间的关系即可解决问题． （3）分两种情形分别构建方程组即可解决问题． 【详解】
（1）由题意：BP=CQ=1×2=2（cm ）， ∠BC=8cm ，BE=6cm ， ∠PC=8-2=6（cm ），
EPB PCQ ∆∆在和中,EB PC =,B C ∠=∠,BP CQ =,
EBP PCQ ∴∆∆≌
（2）设Q 的速度为/xcm s ，
则2,,82BP t CQ xt PC t ===-， 分两种情况：
∠当EBP PCQ ∆∆≌时，,BE PC BP CQ ==，
即8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得，12t x =⎧⎨=⎩（舍去）
∠ 当EBP QCP ∆∆≌时，,BE CQ BP CP ==，
即6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得，2
3t x =⎧⎨
=⎩
Q 的速度为3，t 的值为2.
（3）设CD xcm =，则28,28, 2.5PC t PD x t DQ t x =-=-+=-，
分两种情况：
∠当BCP PDQ ∆∆≌时，,BC PD PC DQ ==， 即28828 2.5x t t t x -+=⎧⎨-=-⎩，解得，16
3
323t x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∠BCP QDP ∆∆≌当时，,.BC DQ PC PD == 即 2.582828t x x t t -=⎧⎨-+=-⎩，解得163
163t x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
故：当CD的长为3216
33
或时，
16
3
t 两三角形全等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是
理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．（2021·河南九年级二模）（问题提出）
如图∠，已知∠ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，
将∠BCE绕点C顺时针旋转60°至∠ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
（类比探究）
（1）如图∠，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又
有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图∠的基础上将图形补充完整，
并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【分析】
（1）根据旋转的性质得出∠EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性
质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出∠EDB∠FEA，所以BD=AF，等量代换即可
得出结论．（2）先画出图形证明∠∠DEB∠∠EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形
直接写出结论即可．
【详解】
（1）证明：DE=CE=CF，∠BCE
由旋转60°得∠ACF，
∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∠∠CEF是等边三角形，
∠EF=CE，
∠DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∠∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∠∠DBE=120°，
∠∠EAF=∠DBE，
25
又∠A，E，C，F四点共圆，
∠∠AEF=∠ACF，
又∠ED=DC，
∠∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∠∠D=∠AEF，
∠∠EDB∠FEA，
∠BD=AF，AB=AE+BF，
∠AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，∠BCE由旋转60°得∠ACF，∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∠∠CEF是等边三角形，
∠EF=CE，
∠DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∠∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∠∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∠∠DBE=∠FAE=60°
∠∠DEB∠∠EFA，
∠BD=AE，EB=AF，
∠BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．
（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图∠，
27
，
ED=EC=CF ，
∠∠BCE 绕点C 顺时针旋转60°至∠ACF ， ∠∠ECF=60°，BE=AF ，EC=CF ，BC=AC ， ∠∠CEF 是等边三角形， ∠EF=EC ， 又∠ED=EC ， ∠ED=EF ，
∠AB=AC ，BC=AC ， ∠∠ABC 是等边三角形， ∠∠ABC=60°， 又∠∠CBE=∠CAF ， ∠∠CAF=60°，
∠∠EAF=180°-∠CAF -∠BAC =180°-60°-60° =60°
∠∠DBE=∠EAF ； ∠ED=EC ， ∠∠ECD=∠EDC ，
∠∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ， 又∠∠EDC=∠EBC+∠BED ，
∠∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∠∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ， ∠∠BDE=∠AEF ， 在∠EDB 和∠FEA 中， DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∠∠EDB∠∠FEA （AAS ）， ∠BD=AE ，EB=AF ，
∠BE=AB+AE，
∠AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：
AF=AB+BD．
考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等。