2017-2018学年高中数学人教B版必修5 课时跟踪检测二

课时跟踪检测（二） 余弦定理
层级一 学业水平达标
1．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.
3
2
B.33
2
C. 3 D ．3
解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33
2
.
2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选B ∵(b ＋c )2
－a 2
＝b 2
＋c 2
＋2bc －a 2
＝3bc ， ∴b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，∴A ＝60°.
3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝13
14，则最大角的余弦值是( )
A ．－15
B ．－16
C ．－17
D ．－18
解析：选C 由余弦定理，得
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314
＝9，
所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－1
7
.
4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2
－c 2
＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.4
3 B ．8－
4 3 C ．1
D.23
解析：选A 由(a ＋b )2
－c 2
＝4，得a 2
＋b 2
－c 2
＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos
C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝4
3
.
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A ．40 3
B ．20 3
C ．40 2
D ．20 2
解析：选A 设另两边长为8x,5x ，
则cos 60°＝64x 2
＋25x 2
－14
2
80x 2
，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 故两边长分别为16与10，
所以三角形的面积是1
2
×16×10×sin 60°＝40 3.
6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1
3，则△ABC 的面积为________．
解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝22
3，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×22
3＝4 3.
答案：4 3
7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3
，则a ＝________. 解析：∵c 2
＝a 2
＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2
＝a 2
＋12
－2a ×1×cos
2π3
， ∴a 2
＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：1
8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝________.
解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，
即b 2＝4＋(7－b )2
－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，
解得b ＝4. 答案：4
9．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角．
由余弦定理的推论，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－1
2
.
又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝
3
2
. 由正弦定理，得sin C ＝
c sin A a
＝5×
3
27＝5314
. ∴最大角A 为120°，sin C ＝
53
14
. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13
，
从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝1
3
.
(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝22
3.
又S △ABC ＝22，即1
2bc sin A ＝22，解得bc ＝6.
由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得b 2
＋c 2
＝13，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
bc ＝6，
b 2＋
c 2
＝13，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝3，
c ＝2.
层级二 应试能力达标
1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
解析：
选C 如图，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋
c ＝20，1
2bc sin 60°＝103，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos 60°，
则bc ＝40，
a 2＝
b 2＋
c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，
∴a ＝7.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．不能确定
解析：选A 在△ABC 中，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos 120°＝a 2
＋b 2
＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2
＝a 2
＋b 2
＋ab ，∴a 2
－b 2
＝ab >0，∴a 2
>b 2
，∴a >b .
3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
，则△ABC 是( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c
，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2
，
即a 2
＋b 2
＝c 2
，∴△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB ·BC 的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5
D ．－5
解析：选D 由余弦定理得：
cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝1
7
.
因为向量AB 与BC 的夹角为180°－∠ABC ， 所以AB ·BC ＝|AB |·|BC |cos(180°－∠ABC )
＝5×7×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17＝－5. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．
解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝2
2
，
∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 3
6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则
sin B
sin C
的值为________． 解析：由余弦定理可得49＝AC 2
＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：
AC 2＋5·AC －24＝0，
解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝3
5.
答案：3
5
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
.
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若cos B ＝1
4，△ABC 的周长为5，求b 的长．
解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k ，
则
2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A
sin B
， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B
，
即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin C
sin A ＝2.
(2)由
sin C
sin A
＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝1
4
，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2
，
所以b ＝2a .
又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝3
4
(a 2
＋b 2
－c 2
)．
(1)求角C 的大小；
(2)求sin A ＋sin B 的最大值． 解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝3
4×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3
.
(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－A ＝sin A ＋
32cos A ＋1
2sin A ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋
π6≤3⎝
⎛⎭⎪⎫0<A <2π3. 当A ＝π
3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，
所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.。