正弦定理、余弦定理和解斜三角形ⅣⅤ

a = 2 R sin A，b = 2 R sin B，c = 2 R sin C
a b c sin A = ， B= sin ， C= sin 2R 2R 2R
sin A : sin B : sin C = a : b : c
4、余弦定理： 、余弦定理：
a = b + c − 2bc cos A
扩 的 弦 理 充 正 定
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
a b c = = = 2R 扩 的 弦 理 充 正 定 sin A sin B sin C
变 得 a = 2Rsin A 形 ： b = 2Rsin B c = 2Rsin C
a sin A = 2R b sin B = 2R c sin C = 2R
一、扩充的正弦定理
如图：已知圆O是∆ABC的外接圆，直径为2 R． 试用R与A、B、C的三角比来表示三角形 的三边长． C 解 过 作 径 D， CD ： B 直 B 连 a b B D 则B 为 角 角 ∆ CD 直 三 形 O c A ∴∠ = ∠ ， D = 2R D A B 在 t∆B 中 R CD a = 2R a = B sin D = 2Rsin A D sin A
2 2 2
b = a + c − 2ac cos B
2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
2 2 2
b +c −a cos A = 2bc 2 2 2 c + a −b cos B = 2ca a 2 + b2 − c2 cos C = 2ab
2 2 2
A C 以下的三角关系式， 在 ∆ B 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形 问题时经常用到，要记熟并灵活地加以运用： 问题时经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
结 ： A:sin B:sinC a : b: c 论 sin ＝
sin 2 A − sin 2 B − sin 2 C ex1 在∆ABC中，已知 、 = 1， sin B sin C 求∠A的大小． 2 2 2 a −b −c 2 2 2 解⇒ ： =1⇒b +c −a = −bc bc 2 2 2 b +c −a 1 ∴cos A= = − ∴A =120o 2bc 2 ex2 若 AB 的 边 、 、 满 、 ∆ C 三 a b c 足 (a+b+c)(a+b−c) =3ab， C 值 求的 ．
例4、 根据下列条件，判断三角形的形状
( 2) a cos A = b cos B 法 ： acos A= bcos B 2 2 2 一 由 2 2 2 b +c − a a +c −b ⇒a⋅ ( ) = b⋅ ( ) 2bc 2 2 4 2ac 2 2 4 ∴a c −a −b c +b = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 c ∴(a −b )(c −a −b ) = 0⇒a = b或 = a +b ∴∆AB 为 腰 角 或 角 角 C 等 三 形 直 三 形
三角形的边角、面积和外接圆半径之间有着密切关系
例2、在 ∆ABC 中， 2 2 求证： a sin 2 B + b sin 2 A = 2ab sin C．
证 a2 sin 2B+b2 sin 2A= 2a2 sin Bcos B+2b2 sin Acos A ： b a2 +c2 −b2 a b2 +c2 −a2 2 2 = 2a ⋅ ⋅ +2b ⋅ ⋅ 2R 2ac 2R 2bc a2 +c2 −b2 b2 +c2 −a2 = ab⋅ +ab⋅ 2R c 2R c ab 2 2 2 2 2 2 = (a +c −b +b +c −a ) 2R c 2abc = = 2absin C 2R
法 ： 正 定 得sin A = 2sin BcosC 一 由 弦 理 ⇒sin( B+C) = sin BcosC +cos Bsin C = 2sin BcosC ⇒sin BcosC −cos Bsin C = sin( B−C) = 0 ∴B−C = 0 B = C ∴∆AB 为 腰 角 即 C 等 三 形
sin( A+ B) = sin C， A+ B) = −cosC cos(
A+ B C A+ B C sin = cos ， cos = sin 2 2 2 2
ex1 根据下列条件，判断三角形的形状 、 (1)三角形的三边之比为6 : 8 : 10
(2)0 < taห้องสมุดไป่ตู้ A ⋅ tan B < 1 2 a tan A (3) 2 = b tan B (4) B sin A = sin C 2 cos
三、阶段小结
1、三角形面积公式： 、三角形面积公式：
1 1 1 S ∆ ABC = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 a b c 2、正弦定理： 、正弦定理： = = = 2R sin A sin B sin C
(其中：R为△ABC的外接圆半径 其中： 为 的外接圆半径) 其中 的外接圆半径 3、正弦定理的变形： 、正弦定理的变形：
ex2 在 AB 中 若 : b: c = 7: 5: 3 且 ∆ =13 3 、 ∆ C ， a ， S 求 长 的 最 边 长
∴AC2 = AB2 + B 2 + 2AB⋅ B ⋅ cos A C C
∴B 2 + AC2 = 2(AB2 + B 2) D C
C
B
S平行四边形 = AD⋅ AB⋅sin A
得 # 证
ex 4、 如图 ∆ABC 中， AB = 3，BC = 3，AC = 4， A 求AC边上中线 BD的长． 解 在 AB 中 ： ∆ C ， D 2 2 2 AC + B − AB C cosC = 2AC⋅ B AC⋅ C B 16+9−3 11 C = = 2⋅ 4⋅3 12 在B 中 ∆ CD ， 2 2 2 B = B +CD −2B ⋅CD⋅ cosC D C C 11 = 9+4−2⋅3⋅ 2⋅ = 2 12 ∴B = 2 D
a2 +b2 −c2 a 法 ： 余 定 得cosC = 二 由 弦 理 = 2ab 2b
在判断三角形形状时， 在判断三角形形状时，主要通过三角形边或 角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理 角之间关系进行判断， 统一为角或边的关系，或用余弦定理统一为边 角或边的关系 统一为角或边的关系，或用余弦定理统一为边的 关系，有时也可以结合两者运用． 关系，有时也可以结合两者运用．
法 ： acos A = bcos B得 二 由 2Rsin Acos A= 2Rsin Bcos B 2 ∴ 2A=sin 2B∴2A= 2B或 A=π −2B sin π
即 = B或 + B = A A
∴∆AB 为 腰 角 或 角 角 C 等 三 形 直 三 形
2
ex3、在∆ABC中已知a = 2b cos C，判断∆ABC的形状.
3 ∴sin A+ B) = ( =sin C 2 o
∴a +b = 2 3 ab = 2 ， ∴c2 = a2 +b2 −2abcosC = (a +b)2 −3ab=12−6 = 6 ∴c = 6
1 1 3 3 ∴S∆ABC = absin C = ×2× = 2 2 2 2
例6、已知平行四边形两条 邻边分别是 4 6cm和 o 3cm，夹角为45 ，求平行四边形的两条 4 D C 对角线长和面积．
解 在 AB 中 ： ∆ D ， 2 2 2 B = AD + AB −2AD⋅ AB⋅ cos A D A 2 = 48+96−2⋅ 4 3⋅ 4 6 ⋅ = 48 2 ∴B = 4 3cm D
B
2 2 C2 C 在 AB 中 AC = AB + B −2AB⋅ B ⋅ cos B= 240 ∆ C ， ∴AC = 4 15cm 1 ∴S平行四边形 = 2⋅ ⋅ AD⋅ AB⋅sin A 2 1 2 2 = 2⋅ ⋅ 4 3⋅ 4 6 ⋅ = 48cm 2 2
二、扩充正弦定理的应用
例1、设 R是∆ABC 的外接圆的半径， S ∆是∆ABC abc 的面积，求证：1) S ∆ = ( ； 4R 2 ( 2) S ∆ = 2 R sin A sin B sin C．
1 1 c abc 证(1 S∆ = absin C = ab⋅ ： ) = 2 2 2R 4R 1 1 (2)S∆ = absin C = ⋅ 2Rsin A⋅ 2Rsin B⋅sin C 2 2 = 2R2 sin Asin Bsin C
定理：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和． 定理：
证 在 AB 中 ： ∆ D ， D B 2 = AD2 + AB2 −2AD⋅ AB⋅ cos A D 在 AB 中 ∆ C ， A AC2 = AB2 + B 2 −2AB⋅ B ⋅ cos B C C QA+ B =π ⇒cos B = −cos A
解 ⇒a +2ab+b −c =3ab ⇒a +b −c = ab ： π a2 +b2 −c2 1 ∴C = ∴cosC = = 3 2ab 2
2 2 2
2
2
2
(1) a cos B = b cos A； ) a cos A = b cos B． (2 解(1 Qacos B =bcos A ： ) a2 +c2 −b2 b2 +c2 −a2 ∴a⋅ ( ) = b⋅ ( ) 2ac 2bc 2 2 2 2 2 2 ⇒2a2 = 2b2 ∴a +c −b = b +c −a ∴∆AB 为 腰 角 C 等 三 形 ∴a=b 法 ： acos B = bcos A得 二 由 2Rsin Acos B = 2Rsin Bcos A ∴ Acos B−sin Bcos A= 0 即 （ − B） 0 sin sin A = ∴∆AB 为 腰 角 C 等 三 形 ∴A= B
例3、 在∆ABC中sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4， 求∠ABC的余弦值．
解 Qsin A: sin B: sin C = 2: 3: 4 ： a b c ⇒ : : = 2: 3: 4 2R 2R 2R ⇒a: b: c = 2: 3: 4 ∴ 设 = 2x， =3x， = 4x(x > 0) 可 a b c 4x2 +16x2 −9x2 11 ∴cos∠ C = AB = 2⋅ 2x⋅ 4x 16
例5、锐角三角形中， a、b是方程 x 2 − 2 3 x + 2 = 0 的两根， A、B满足 2 sin( A + B ) − 3 = 0， 求c、C、S ∆．
解 Q2sin( A+B) − 3 = 0 ：
Q∆AB 为 角 角 ∴C = 60 C 锐 三 形 又 a、 是 程 2 −2 3x +2 = 0 两 Q b 方 x 的 根