正弦定理练习题典型题（含答案）

正弦定理练习题典型题（含答案）
正弦定理⼀
1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（）
A ．⽆解
B ．有⼀解
C ．有两解
D ．不能确定
2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三⾓形的⾯积S=
，则三⾓形外接圆的半径为( ) A ．
B ．2
C ．2
D ．4
3、在ABC △中，,,a b c 分别是⾓A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2
A =，求⾓C ．
4、在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．
（1）求⾓A 的值；
（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．
5、在锐⾓△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．
（1）求⾓C 的值；
（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．
参考答案
1、【答案】A
2、【答案】B
3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =
，得6A π=，⼜1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B
=，∴sin 2sin 2
b A B a ==，⼜b a >，得4B π=
或4
B 3π=，当4B π=时，6412
C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412
C π3ππ=π--=，∴⾓C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．
试题分析：（1）要求解，已知条件中有⾓有边，⼀般情况下我们可以利⽤正弦定理把边化为⾓的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有
sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，⽽sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3
A π=；（2）由（1）23C
B π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3
B C B B π+=+-，由两⾓和与差的正弦公式可转化为3sin()6
B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：
（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，
即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．
因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．
从⽽sinB ＝2sinBcosA ．
因为sinB ≠0，所以cosA ＝．
因为0＜A ＜π，所以A ＝．
（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sin
cosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．
因为0＜B ＜，所以＜B ＋
＜．
所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．
考点：正弦定理，两⾓和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.
5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，⼜sinA≠0，可sinC=．⼜△ABC 是锐⾓三⾓形，即可求C ．
（2）由⾯积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联⽴⽅程即可解得a+b 的值的值．
试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，
∵sinA≠0，
∴sinC=．
⼜∵△ABC 是锐⾓三⾓形，
∴C=．
（2）∵c=，C=，∴由⾯积公式，得absin =，即ab=6.①
由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos
=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②
由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③
将①代⼊③得（a+b ）2=25，故a+b=5.
考点：正弦定理．
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形⾯积公式的应⽤，考查了转化思想和计算能⼒，属于中档题．
正弦定理⼆
1、在ABC ?中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )
A. o 45
B.o 135
C. o 45或o 135
D. 以上答案都不对
2、在ABC ?中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）
A ．030
B ．0150
C ．045
D ．0135
3、在△ABC 中，若30A =o ，8a =，b =ABC S ?等于（）
A ．．．．4、设ABC ?的内⾓A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为（）
A ．锐⾓三⾓形
B ．直⾓三⾓形
C ．钝⾓三⾓形
D ．不确定
5、已知,,a b c 是ABC ?的三边长，且222a b c ab +-=
（1）求⾓C
（2）若3a c ==，求⾓A 的⼤⼩。

6、在ABC ?中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos c a B b A -=．（1）求⾓B ；
（2）若6b =，2c a
=，求ABC ?的⾯积．
答案第1页，总1页参考答案
⼀、单项选择
1、【答案】A
2、【答案】C
3、【答案】C
4、【答案】A
5、【答案】A
6、【答案】B
7、【答案】解：(1)由余弦定理知
2221cos 22a b c C ab ==＋－ Q (0,)C π∈∴3C π= (2)由正弦定理知sin sin c a C A
=
∴sin A =⼜c a >∴C A >Q (0,)A π∈∴
4A π= 8、【答案】（1）3B π
=；（2
）试题分析：（1）利⽤正弦定理化简求得1cos 2B =，进⽽得3
B π=. （2）由余弦定理求得边长，再⽤⾯积公式即可.
试题解析：
（1）由()2cos cos c a B b A -=，得()2sin sin cos sin cos C A B B A -=，即2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+，即()2sin cos sin C B A B =+，即2sin cos sin C B C =．
因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =
，⽽0B π<<，所以3B π=．（2）由6b =，3B π
=，得2236a c ac +-=．
⼜因为2c a =，所以2224236a a a +-=
，即a =
c =
．于是11sin 222
ABC S ac B ?==?=。