简单复合函数的求导法则

对x求导
f ( x)

f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )


(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
u ( x) 2 x 1 复合而成，由复合函数求导法则
可知：
(2x 1) f (u) ( x)
练习
概括
一般地，对函数 y f (u ) 和 u ( x) ax b ， 给定 x 的一个值，可得 u 的值，进而确定 y 的值， 这就确定了新函数 y f (ax b)，它是由 y f (u ) 和u ( x) ax b复合而成的，我们称之为复合函 数，其中
例1 指出下列函数的复合关系：
y cos x （4） y ln sin( 3 x 1) （3） 4 2 3 3 2 y cos x y cos u , u x 复合而 ( 2 x ) y u , u 2 x 由 解：（ 1） 由 复合而成． （3 4 4 成． 2 2 y sin x y sin u , u x y ln sin( 3 x 1 ) y ln u , u sin v , v 3 x 1 复合而 由 复合而成． （4） （2） 由 成．
并分析三个函数解析式以及导数之间的关系． y u u 2u x 3
f ( x ) [( 3 x 2)2 ] (9 x 2 12 x 4) 8 x 12
2 函数 f ( x ) 可由 y u , u 3 x 2 复合而成．
y u u x 2 u 3 2( 3 x 2 ) 3 18 x 12 f ( x ) y u ux
1 cos x y sin x e
(1) y (5 x 2) ( 2) y e1cos x
10
2 2. 求曲线 y x ( 2 x 1) 在 x 6 处的切线方程。
43 x y 143 0
例4
动手做一做
求下列函数的导数：
1 (1) y f ( ) x ( 2) y f ( x 2 1 )

系的求导法则。
结束
分析： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要 弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的 关键。
解： 1 令 u ( x ) 3 x 1 ，则函数是由 f (u ) u u 2 与 u ( x ) 3 x 1 复合而成，由复合函数求导法则 可知：
复习：两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式：
n n 1 C' 0 (sin x)' cos x ( x )' nx (cos x)' sin x ' ' ' 2、法则1 [u( x) v( x)] u ( x) v ( x) 法则2 [u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x) ,
概括
分析: 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪
个变量对哪个变量求导。
而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式 上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
3

3u 2 2 6( 2 x 1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清
其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作
一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。
2 y f (u ) ( x) f (u ) 2 x 2 xf ( x )
（2）函数由 y f (u )与 u ( x) sin x 复合而成，
由复合函数的求导法则知：
y f (u ) ( x) f (u ) cos x cos xf (sin x)
100 200 2 将t=3代入 2 x (2t 1) 2
200 cm/s。 49
例4 求下列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
总结概括23而对于抽象复合函数的求导一方面要从其形式上把握其结构特征找出中间变量另一方面要充分运用复合关系的求导法则
一、教学目标：1、了解简单复合函数 的求导法则；2、会运用上述法则，求简 单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法 则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的 应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
[Cu( x)] Cu '( x)'
法则3
u ' v uv ' u 2 v v
(v 0)
复合函数的导数
新授课
2 u 3 x 2 ， y ( 3 x 2) 2 构成间的关系？ 函数 y u ， y ( 3 x 2) 2 可由 y u 2 与 u 3 x 2复合得到．
并解释它的实际意义。
x (t ) 2t 1 复合而成的，其中x是中间变量。
yt h(t ) f ( x) (t )
100 100 解：函数 y h(t ) 是由函数 f ( x) 2t 1 x
与
h(t )
得： h (3) 200 （cm/s）。 49 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为
1 f ( ) x
×

1 1 2 f ( ) x x
2 f ( x 1)
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
4 4
4
例1 求函数 y 3 x 1 的导数。
解析
例2 求函数 y ( 2 x 1) 的导数。
3
解析
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程 中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位： s）的函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
2 3 y ( 2 x ) （1） 2 y sin x （2）
复合函数的导数
新授课
例2 写出由下列函数复合而成的函数： y ln u, u ln x （ 1） 2 （2 ） y cos u, u 1 x
解：（1） （2）
y ln(ln x ).
y cos(1 x )
u 是中间变量。
复合函数 y f ( ax b ) 的导数： f (u ) f (u ) ( x) af ( ax b)
注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
阶段我们只讨论 u ( x ) ax b 的情况。
推广：
复合函数 y f ( x ) 中，令 u ( x )，则
或写作
f x ( ( x )) f ( u) ( x )
复合函数的导数
例题讲解
例3
求
y ( 2 x 1) 5
的导数．
解：设 y u5 , u 2 x 1 ， 则
yx y u u x ( u ) u ( 2 x 1) x
5
5u 2 5( 2 x 1) 2 10( 2 x 1)
2
引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r 的函数：
S f ( r ) r 油膜半径 r 随着时间 t 的增加而扩大，其函数关
2
系为：
r (t ) 2t 1
问：油膜面积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱS 关于时间 少？
t
的瞬时变化率是多
分析： 油膜面积 S 关于时间