河北省辛集中学2018届高三数学上学期第三次月考试题

河北辛集中学高三年级上学期第三次阶段考试试题
高三数学文科
一、选择题（共12个小题，每小题5分） 1．设i 是虚数单位，复数21i
z i
=
+，则｜z ｜＝（ ） A.1 B. 2 C.3 D. 2
2．设集合A={2，lnx}，B={x ，y}，若A ∩B={0}，则y 的值为（ ） A ．0
B ．1
C ．e
D ．
3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n
的比值m
n
＝（ ） A.1 B.13 C. 38 D. 2
9
4．将函数f （x ） = cosx －3sinx （x ∈R ）的图象向左平移a （a>0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a 的最小值是（ ） A.
12π B. 6π C. 3π D 、56
π
5．已知向量
，
，若向量满足与的夹角为120°，
，则
=（ ）
A.1
B.5
C.2 D . 52 6. 已知f （x ）=|lgx|，则、f （）、f （2）的大小关系是（ ）
A ．f （2）＞f （）＞
B ．
＞f （）＞f （2）
C ．f （2）＞
＞f （） D ．f （）＞
＞f （2
7．已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边，且A c a C B c b sin )3()sin )(sin (-=+-，则角B 的大小为（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D 、 1200
8．已知函数f （x ）=x a
的图象过点（4，2），令（n ∈N *
），记数列{a n }的前
n 项和为S n ，则S 2017=（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9.若f （x ）=lg （x 2
﹣2ax+1+a ）在区间（﹣∞，1]上递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1，2） B ．[1，2] C ．[1，+∞） D ．[2，+∞）
10．已知两点A （1，0），B （1，），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC=120°，设
=
﹣2
，（λ∈R ），则λ等于（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．1
D ．﹣2
11．已知函数f （x ）＝22,52,x x a x x x a
+>⎧⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则
实数a 的取值范围是（ ）
A.［一1，1）
B.［0, 2］
C.［一2，2）
D.［一1，2） 12．设集合A=[0，1），B=[1，2]，函数f （x ）=，x 0∈A ，且f[f （x 0）]∈A ，
则x 0 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．[0，]
C ．（log 2，1）
D ．（log 32，1） 二、填空题（共4个小题，每小题5分）
13．设等比数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若36270a a -=，则
6
3
S S ＝ ． 14．如图，y=f （x ）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f （x ）在x=3处的切线，令g （x ）=xf （x ），其中)(x g '是g （x ）的导函数，则'(3)g ＝ ．
15．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+>3
2320
y x y x x ，则x y 的取值范围为_____；
16．给出下列四个命题： ①若a ＜b ，则a 2
＞b 2
； ②若a ≥b ＞﹣1，则
；
③若正整数m 和n 满足；m ＜n ，则；
④若x ＞0，且x ≠1，则lnx+
；
其中真命题的序号是 （请把真命题的序号都填上）．
三、解答题（共6个小题，共70分）
17．（ 12分）已知数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，且22-=n n a S . （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；
（Ⅱ）设n n a a a b 22212log ......log log +++=，求使nk b n n ≥-)8(对任意*N n ∈恒成立的实数k 的取值范围． 18．（ 12分）最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y.
（Ⅰ）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率。

19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ， PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （1）求证：BC ⊥平面PBD ；
（2）设Q 为侧棱PC 的中点，求三棱锥Q ﹣PBD 的体积；
20．（ 12分）已知椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）和直线l ：y ＝bx ＋2，椭圆的离心率e ＝6
3，
坐标原点到直线l 的距离为2． （1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆相交于C ，D 两点，使得ED EC ⊥,求k 的值．
21．（ 12分）已知函数f （x ）＝ax －l ＋lnx ，其中a 为常数．
（Ⅰ）当)1
,(e
a --∞∈时，若f （x ）在区间（0，e ）上的最大值为一4，求a 的值； （Ⅱ）当e
a 1-=时，若函数2
ln )()(b
x x x f x g --=存在零点，求实数b 的取值范围．
选做题（本小题满分10分）
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．过点P （
）作倾斜角为α的直线与曲线x 2
+2y 2
=1交于点M ，N ．
（1）写出直线的一个参数方程；
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值． 23. 设f （x ）=|ax ﹣1|+|x+2|，（a ＞0）．
（I ）若a=1，时，解不等式 f （x ）≤5； （Ⅱ）若f （x ）≥2，求a 的最小值．
高三数学文科第三次阶段测试答案
1．B 2．A 3.C 4．B 5.D 6．B ．7．A 8．B 9．A 10．C 11．D 12．C 13．28 14．0 15．[)+∞,1 16．②③.
12.解：令t=f （x 0），由f （t ）∈A 得或，
即或，解得＜t ＜2，
即有即为，
即有log 2＜x 0＜1． 故选C ．
16．解：①若a=0，b=1，则a 2
＜b 2
；所以①不成立． ②=
，因为若a ≥b ＞﹣1，所以1+a ＞0，1+b ＞0，
a ﹣
b ＞0， 所以
，所以
，所以②正确．
③因为正整数m 和n 满足；m ＜n ，所以由基本不等式可得，所以③正
确．
因为当0＜x ＜1，时，lnx ＜0，不满足基本不等式的条件，所以④错误． 故答案为：②③．
17.试题解析：（1）由22-=n n a S 可得21=a ， 因为22-=n n a S ， 所以，当2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a ， 即：21
=-n n a a .
数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列， 所以，n n a 2=（N n *
∈）. 6分
（2）2
)
1(......321log ......log log 22212+=
++++=+++=n n n a a a b n n . 由nk b n n ≥-)8(对任意*
N n ∈恒成立，即实数
k n n ≥+-2
)
1)(8(对*N n ∈恒成立；
设)1)(8(2
1
+-=
n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10-，所以10-≤k .
18．试题解析：（Ⅰ）由题意
150,3.0500
=∴=x x
，所以60=+z y ，因为y z 2=，所以,40,20==z y 则应抽取教师人数,22050050=⨯应抽取学生人数.440500
50
=⨯ 5分
（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为b a ,，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有
),4,1,(),3,1,(),2,1,(),4,,(),3,,(),2,,(),1,,(a a a b a b a b a b a )4,3,(),4,2,(),3,2,(a a a ，
)4,3,(),4,2,(),3,2,(),4,1,(),3,1,)(2,1,(b b b b b b ，),4,3,2(),4,3,1(),4,2,1(),3,2,1(共20种，9分
至少有一名教师的选法有
),4,1,(),3,1,(),2,1,(),4,,(),3,,(),2,,(),1,,(a a a b a b a b a b a )4,3,(),4,2,(),3,2,(a a a ， )4,3,(),4,2,(),3,2,(),4,1,(),3,1,)(2,1,(b b b b b b 共16种，
至少有一名教师被选出的概率.5
4
2016==
p 12分 19．（1）证明：∵面PCD ⊥底面ABCD ，
面PCD ∩底面ABCD=CD ，PD ⊂面PCD ，且PD ⊥CD ， ∴PD ⊥面ABCD ，又BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥PD ，① 取CD 中点E ，连结BE ，则BE ⊥CD ，且BE=1， 在Rt △ABD 中，BD=，在Rt △BCE 中，BC=
，
∵BD 2
+BC 2
=（）2
+（
）2
=22
=CD 2
，∴BC ⊥BD ，②
∵PD ∩BD=D ∴BC ⊥面PBD
（2）解：∵Q 为侧棱PC 的中点，取BC 中点N ，连结QN ， 则QN ∥PB ，BC ⊥面PBD ， ∴三棱锥Q ﹣PBD 的高BN=，
∵PD ⊥CD ，AB=AD=PD=1，CD=2， ∴
=
， ∴三棱锥Q ﹣PBD 的体积V=
=
= 20. （1）直线l ：y=bx+2，坐标原点到直线l 的距离为．
∴
∴b=1∵椭圆的离心率e=
，∴
∴a 2
=3∴所求椭圆的方程是
；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y 可得：（1+3k 2
）x 2
+12kx+9=0 ∴△=36k 2
﹣36＞0，∴k ＞1或k ＜﹣1 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则有x 1+x 2=，x 1x 2=
∵
=（x 1+1，y 1），
=（x 2+1，y 2），
∴（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=0∴（1+k 2
）x 1x 2+（2k+1）（x 1+x 2）+5=0 ∴（1+k 2
）×
+（2k+1）×（）+5=0
解得k=＞1，∴当k=时，
21．试题解析：（Ⅰ）由题意/
1()f x a x =+
，令/
()0f x =解得1x a =- 因为)1,(e
a --∞∈，
所以e a <-
<1
0，由/()0f x >解得10x a <<-，由/()0f x <解得1x e
a -<<
从而()f x 的单调增区间为1(0,)a -，减区间为1
(,)e a
-
所以，4)1ln(11)1()(max -=-+--=-=a
a f x f ， 解得，2
a e =-．
（Ⅱ）函数2
ln )()(b x x x f x g --
=存在零点，即方程2ln )(b
x x x f +=有实数根， 由已知,函数()f x 的定义域为{|0}x x >，当e a 1-=时，x e
x
x f ln 1)(+--=，所以
ex
e x x e x
f --
=+-='11)(，当e x <<0时，/()0f x >；当e x >时，/
()0f x <，所以，()f x 的单调增区间为),0(e ，减区间为),(+∞e ,所以1)()(max -==e f x f ， 所以，|()|f x ≥1. 令2ln )(b x x x h +=
，则2
ln 1)(x
x
x h -='. 当0x e <<时，0)(>'x h ；当x e >时， 从而)(x h ()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以，21)()(max b
e e h x h +
==，
要使方程2
ln )(b
x x x f +=有实数根， 只需121)()(max
≥+==b e e h x h 即可，则e
b 2
2-≥. 12分
22.解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得+=0，∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得sin2α≤，
∵α∈[0，π），∴．
∴|PM|•|PN|=|t1t2|=≥=．当且仅当，即α=或
时取等号．
∴当α=或时，|PM|•|PN|的最小值为．
23. 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=，
由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}．
（Ⅱ）f（x）=，
当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[，+∞）时，f（x）单调递增，
又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=2a+1≥2，且f（）=+2≥2，求得a≥，故a的最小值为．。