广东省珠海一中2011届高三下学期第一次调研测试(数学理)

珠海一中2011届高三第二学期第一次调研测试
数学（理科）试题 2011-2-24
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内
相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域
内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

一、选择题:(每小题5分，共50分)
1. 已知全集U =R ，集合{}
2
|230A x x x =-->，{}|24B x x =<<，那么集合
()
U A B =ð ( )
A ．{}|14x x -≤≤
B ． {}|23x x <≤
C ． {}|23x x ≤<
D ．{}|14x x -<<
2.在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3
π
，则四面体ABCD 的体积
等于
A ．
23 B ．21 C ．3
1
D ．
3
3
3．已知复数z 满足
1
i
z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为 A ．3i + B ．11i 3+ C ．23 D ．4
3
4．已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且函数(21)f x +的周期为5，若()15f =，则
(2009)(2010)f f +的值为
A ．5
B ．1
C ．0
D ．5-
5. 8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为
A 、82
89P P ⋅
B 、82
89P C ⋅
C 、82
87P P ⋅
D 、82
87P C ⋅
6. 若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是
A. ；
B. ；
C. ；
D.
7.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是
A ．2048
B ．2049
C ．2050
D ．2051
8.设0a >，点集S 的点(,)x y 满足下列所有条件：①
22a x a ≤≤；②22
a
y a ≤≤；③x y a +≥；④x a y +≥；⑤y a x +≥。

则S 的边界是一个有几条边的多边形
（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）
9
、已知cos 02
π
αα=
-<<，则tan α=________.
10．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－x ＋a ≤0，x 2
－2(a ＋7)＋5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．
11、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和为n S ，满足2222
2
3457,7a a a a S +=+=，则使得1
2m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为
12.已经三角形的三边分别是整数l ，m ，n ，且l ＞m ＞n ，已知}10
3{}103{}103{444n
m l ==，其中{x }＝x －[x ]，
而[x ]表示不超过x 的最大整数．则这种三角形周长的最小值为
13．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_________种不同的取法．
14.在0120的二面角内，放一个半径为10cm 的球切两半平面于A,B 两点，那么这两 切点在球面上的最短距离是___________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）
设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A C +的取值范围.
16．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝AB ＝2MA ． （Ⅰ）证明：AC ∥平面PMD ；
（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的正切值．
P
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝
181x
2－9
4
x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)
（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当t ∈（0，
2
9
）时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF
18.( 本小题满分14分)
某商店投入38万元经销某种纪念品,经销时间共60天,为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入
到次日的经营中,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n 天的利润⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤=60
26,25
1
251,1n n n a n
(单位:万元,∈n *
N ),记第n 天的利润率=n b 天投入的资金总和前天的利润
第n n ,例如.382
133a a a b ++=
(1)求21,b b 的值; (2)求第n 天的利润率n b ;
A
B
C
D
M
(3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率.
19.(本小题共14分）
已知点列()0,n n x A 满足：1110-=∙+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，. (1)若()()
*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式； (2)已知点B
()0a ，，记()*∈=N n BA a
n n
，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；
(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a
a S n --<21 。

20. (本小题满分14分)
()()0ln >--=a x a x x f .
(1)若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值; (2)若0>a ,求()x f 的单调区间;
(3)试比较2
22222ln 33ln 22ln n
n +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.()
2≥∈*
n N n 且,并证明你的结论.
珠海一中2011届高三第二学期第一次调研测试（数学理）
参考答案
1-5BBDDA 6-8DAC
9.-2 10.－4≤a ≤－1 11.2 12.3003 13.2500 14.3
10π
15.
（I ）正弦定理得 sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-
2sin cos sin cos .A B C B =- ………………2分
则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.
∴sin()2sin cos ,B C A B +=又sin()B C +=sin 0A ¹，
∴1cos ,2B =
又0B p <<， ∴3
B p
=. ………………5分 （Ⅱ）由A B C p ++=及3B p =
， 得2
3
C A p =-. ………………6分 又△ABC 为锐角三角形，∴0,20.32A A p p p ìïï<<ïïïíï2ï<-<ïïïî
∴ 62A p p <<. …………8分
23sin sin sin sin()sin )326
A C A A A A A p
p +=+-=+=
+
.
又2
(,)633
A p p p +
?
，∴sin()1]6A p +?. ………………11分
∴3
sin sin (,
2
A C +?. ………………12分
16.
（Ⅰ）证明：如图，取PD 的中点E ，连EO ，EM ．
∵EO ∥PB ，EO ＝12PB ，MA ∥PB ，MA ＝1
2
PB ，∴EO ∥MA ，且EO ＝MA ．
∴四边形MAOE 是平行四边形．∴ME ∥AC ．
又∵AC ⊂/平面PMD ，ME ⊂平面PMD ， ∴AC ∥平面PMD ． …………3分
（Ⅱ）如图，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PB ．
又∵CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面PBC ． ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．
过B 作BF ⊥PC 于F ，则BF ⊥平面PDC ，连DF ，则DF 为BD 在平面PCD 上的射影． ∴∠BDF 是直线BD 与平面PDC 所成的角．
不妨设AB ＝2，则在Rt △PBC 中，PB ＝BC ＝2，BF ⊥PC ，∴BF ＝1
2PC ＝2．
∵BD ＝22．∴在Rt △BFD 中，BF ＝12BD ，∴∠BDF ＝π
6
．
∴直线BD 与平面PCD 所成的角是π
6． ………………5分
（Ⅲ）解：如图，分别延长PM ，BA ，设PM ∩BA ＝G ，连DG ， 则平面PMD ∩平面ABCD ＝DG ．
不妨设AB ＝2，∵MA ∥PB ，PB ＝2MA ，∴GA ＝AB ＝2． 过A 作AN ⊥DG 于N ，连MN ． ∵PB ⊥平面ABCD ，
∴MA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥DG ．∴∠MNA 是平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt △MAN 中， tan ∠MNA ＝MA
NA ＝
22
． A
B
P
M
G
∴平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角的正切值是22
17.
（1）在y ＝181x
2－9
4
x －10中，令y ＝0，得x
2－8x －180＝0
解得x ＝－10或x ＝18，∴A (18，0)． 在y ＝181x
2－9
4x －10中，令x ＝0，得y ＝－10∴B (0，－10)． ········ 2分 ∵BC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为－10． 由－10＝181x
2－94
x －10得x ＝0或x ＝8． ∴C (8，－10)． ········ 3分
∵y ＝181x
2－94x －10＝181(x －4)2－9
98
∴抛物线的顶点坐标为(4，－9
98
)． ··············· 4分
（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可．
∵QC ＝t ，PA ＝18－4t ，∴t ＝18－4t ．
解得t ＝5
18
． ························· 6分
（3）设点P 运动了t 秒，则OP ＝4t ，QC ＝t ，且0＜t ＜4.5，说明点P 在线段OA 上，且不与点O ，
A 重合．
∵QC ∥OP ， ∴PD QD ＝OD CD
＝OP
QC ＝t t 4＝41．
同理QC ∥AF ，∴AF QC ＝AE CE ＝OD CD ＝41，即AF
t
＝41．
∴AF ＝4t ＝OP ．
∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18． ·················· 8分
∴S △PQF
＝21PF ·OB ＝2
1
×18×10＝90
∴△PQF 的面积总为定值90． ·················· 9分 （4）设点P 运动了t 秒，则P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10) t ∈（0，4.5）．
∴PQ
2＝(4t －8＋t )2＋10
2＝(5t －8)2
＋100 FQ
2＝(18＋4t －8＋t )2＋10
2＝(5t ＋10)2
＋100．
①若FP ＝FQ ，则18
2＝(5t ＋10)2
＋100．
即25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝25
224
．
∵0≤t ≤4.5，∴2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝25224
＝5
144．
∴t ＝
5
14
4－2． ······················ 11分
②若QP ＝QF ，则(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2
＋100．
即(5t －8)2＝(5t ＋10)2
，无0≤t ≤4.5的t 满足． ········ 12分
③若PQ ＝PF ，则(5t －8)2＋100＝18
2
．
即(5t －8)2
＝224，由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，
∴－8≤5t －8≤14.5，而14.5
2＝(229)2＝4
841
＜224．
故无0≤t ≤4.5的t 满足此方程． ··············· 13分
注：也可解出t ＝
51448 －＜0或t ＝5
14
48 ＋＞4.5均不合题意， 故无0≤t ≤4.5的t 满足此方程．
综上所述，当t ＝
5
144－2时，△PQF 为等腰三角形． ······ 14分
18.
解:(1)当1=n 时,;3811=
b 当2=n 时,39
12=b . …………2分 (2)当251≤≤n 时,1121=====-n n a a a a .
n
n a a a a b n n n +=
-+=++++=
∴-371
138138121 . …………4分 当6026≤≤n 时,
()()2500250
25266325382
1
26251+-=+-+
=+++++=
-n n n n n n
a a a a a
b n n
n ,…………6分 ∴第n 天的利润率()(
)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∈≤≤+-∈≤≤+=*
*
N n n n n n N n n n
b n 60262500
2251,371
2 …………8分
(3) 当251≤≤n 时, n
b n +=371是递减数列,此时n b 的最大值为381
1=b ;………10分
当6026≤≤n 时,
9921
2500221250022500
22
=-≤-+=+-=
n
n n n n
b n (当且仅当,2500
n n =即50=n 时，“=”成
立). …………12分 又1,992381=∴>n 时,()38
1max =n b . …………14分 19.
（1）∵)0,1(0-A ，)0,1(1A ，∴)1)(1(1110-+=⋅++n n n n x x A A A A ，
∴1)1)(1(1-=-++a x x n n ，∴1
)(1++=
=+n n n n x a
x x f x ， ∴1
)(++=x a
x x f . ………………3分
（2）∵)0,(a x BA n n -=，∴a x BA a n n n -==.
∵a x f a x a n n n -=-=++)(11
n n n n n n a a a x a a x x a a x a x )1()1(1)1(1-=-⋅-<-⋅+-=-++=
∴要使n n a a <+1成立，只要11≤-a ，即41≤<a
∴]4,1(∈a 为所求. ………………6分
（3）∵…)1()1(12
1<-⋅-<--<-+a x a a x a a n n n 1
1)
1()1(+-=-⋅-<n n
a a x a ，
∴n n a a )1(-< ………………9分 ∴n n n a a a a a a S )1()1()1(221-++-+-<+++=
[]
a
a a n ---⋅-=2)1(1)1( ………………11分
∵41≤<a ，∴110≤-<a ，∴1)1(0≤-<n a ………13分
∴a
a S n --<21
………………14分
20.
(1)()x x x f a ln 1,1--==
当1≥x 时,()().0111,ln 1'≥-=-
=--=x
x x x f x x x f ()x f ∴在区间[)+∞,1上是递增的. …………2分
当10<<x 时,()().01
1,ln 1'<-
-=--=x
x f x x x f ()x f ∴在区间()1,0上是递减的.
故1=a 时,()x f 的增区间为[)+∞,1,减区间为()1,0,()()01min ==f x f .…………4分
(2)若1≥a ,当a x ≥时,(),ln x a x x f --=().0111'≥-=-=x
x x x f 则()x f 在区间[)+∞,a 上是递增的;
当a x <<0时,()x x a x f ln --=, ().01
1'<-
-=x
x f ()x f ∴在区间()a ,0上是递减的. …………6分 若10<<a ,当a x ≥时,(),ln x a x x f --=
()()()0,1,0,1,111'''<<<>>-=-
=x f x a x f x x
x x x f 则()x f 在区间[)+∞,1上是递增的, ()x f 在区间[)1,a 上是递减的; 当a x <<0时,()x x a x f ln --=, ().01
1'<-
-=x
x f ()x f ∴在区间()a ,0上是递减的,而()x f 在a x =处有意义;
则()x f 在区间[)+∞,1上是递增的,在区间()1,0上是递减的. …………8分
综上: 当1≥a 时, ()x f 的递增区间是[)+∞,a ,递减区间是()a ,0;
当10<<a ,()x f 的递增区间是[)+∞,1,递减区间是()1,0. …………9分
(3)由(1)可知,当1,1>=x a 时,有,0ln 1>--x x 即
x
x x 1
1ln -< ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=-++-+-<+++∴2222222222221312
1
111311211ln 33ln 22ln n n n n n
()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++⨯+⨯--<11141
3131211114313211n n n n n n =()()()121211121
1++-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---n n n n n . …………14分。