时间序列分析练习题

系统的响应 Xt 仅与其前一时刻进入系统的扰动 at-1 有一定的依存关系，而且为白噪声。 7.ARMA(2,1)模型基本假设是什么？
at 独立于 at-j(j=2.3……),从而 at 独立于 Xt-j（j=3.4……） 8.n 阶自回归模型基本假设是什么？
Xt 与 Xt-1,Xt-2，…,Xt-n 有直线相关关系,而在 Xt-1.Xt-2……Xt-n 已知的条件下，Xt 与 Xt-j （j=n+1.n+2……）无关，at 是一个白噪声序列。
时间序列分析练习题
一、填空题
1. 从统计意义上讲，所谓的时间序列就是将某一指标在（不同时间）上的不同数值， 按时间的先后顺序排列而成的数列。
2. 从统计意义上看，时间序列就是某一系统在（不同时间）的响应。 3. 按所研究对象的多少分，时间序列有（一元）时间序列和（多元）时间序列。 4. 按时间的连续性可将时间序列分为（离散）时间序列和（连续）时间序列。 5. 按序列的统计特性分，时间序列有（平稳）时间序列和（非平稳）时间序列。 6. 按时间的分布规律来分，时间序列有（高斯型）时间序列和（非高斯型）时间序列。 7. 如果序列的一二阶矩存在，而且对任意的时刻 t 满足：
1 =0 时，
ARMA(2,1)系统就成为 AR(2)系统；AR(2)系统的格林函数，即为
G j

1
1 2
1j

j1 2
，2 =0 时，ARMA(2,1)系统称为 ARMA(1,1)系统。
13．模型定阶方法有哪些？ 答：模型定阶方法有⑴残差方差图定阶法；⑵F 检验定阶法；⑶最佳准则函数定阶法。 14．Box-Jenkins 建模方法有哪几个步骤？ 答：⑴模型的识别：依据平稳时间序列的样本自相关函数和样本偏自相关函数的不同的 统计特征来初步判断时间序列模型的类型。 ⑵模型的定阶：应用残差方差图定阶法或 F 检验定阶法或应用准则函数定阶法来对模型 的阶数进行判定。 ⑶模型的参数估计：估计出其中的参数，以便进一步识别和应用模型。（主要的参数估 计方法有矩估计法，最小二乘估计法和极大似然估计法等）。 ⑷模型的适应性检验：就是判断这个模型用于描述时间序列是否恰当，是否完全或基本
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（1） 随机过程具有随机变量的特征，同时还具有普通函数的特征性。 （2） 随机变量是随机的特例，即一元随机变量可视为参数集为单元素的随机过程。 （3） 当随机过程固定在某一个时刻是，就得到一个随机变量。
（4） 随机过程是 n 维随机变量，随机变量列的一般化，它是随机变量 X (t ) 的集。
4.AR(1)模型基本假设是什么？ （1） Xt 与 Xt-1 有直线相关关系。 （2） at 为独立正态同分布序列。 5. AR(2)模型基本假设是什么？ （ 1） Xt 与 Xt-1 和 Xt-2 有 直 线 相 关 关 系 ,而 在 Xt-1 和 Xt-2 已 知 的 条 件 下 ， Xt 与 Xt-j （j=3.4……）无关，at 是一个白噪声序列。 6.MA（1）模型基本假设是什么？
37. ARMA(n,m) 的逆转形式 X t I j X t j at 。 j 1
38.
模型适应性检验的相关函数法，在显著性水平

0.05 下，若

k
1.96 /
N，
则接受 k 0 的假设，认为 at 是独立的。
39. 模型适应性检验的 2 检验法，在显著性水平 下，若统计量
通过一阶差分，得到 Yt=a+bt-[a+b(t-1)]=b 消除了线性趋势。
17. 在趋势性检验中，进行单位根检验的意义是什么？
单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程中的一阶 自回归系数是否为一，这个检验实际上就是对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如 果检验表明没有单位根，则它是一个趋势平稳过程，否则，它是一个带趋势的单位根过程。
j , Gj 0 ，系统记忆性趋于零， Xˆ t (l) 随 l 增大，也趋于零。
2
31. 时间序列模型是时间序列动态性和发展变化规律的客观描述，因而可以利用建立的 时间序列模型对时间序列的未来取值进行预测。
32. 对预测值适时修正的理解：在进行超前多步预测时，随时间推移，原来预测值变为 已知，需要进行新预测，而这种新预测可由就预测值和新的观察值推算出，在旧预测值上加 一个修正项，完成新的预测。
23．模型定阶方法有残差方差图定阶法.F 检验定阶法.最佳准则函数定阶法等，实际中 可灵活选用。
24．模型主要的估计方法有矩估计法.最小二乘估计法和极大似然估计法等，实际中有 软件直接计算。
25. 模型的适应性检验实质上是检验残差序列是否为白噪声序列，通常用自相关函数检 验法和卡方检验法。
26. 预测方差（以 t 为原点，向前 l 期作预测，预测值为 Xˆ t (l) ）
Q

2 1(L(N)来自nm)
则认为模型是适合的。
40. AR(1)模型可用一个无限阶 MA 来逼近。 41. ARMA 模型的差分形式
X t 1 X t1 2 X t2 n X tn at 1at1 2 at2 m atm
G12
G22



G2 l 1
1/ 2
二、简答题
1. 时间序列具有那几个特点？ 答：首先，序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于时间的变化， 但不一定是时间 t 的严格函数。
其次，就每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完全准确地 用历史值预测。
再次，前后时刻的数据点或数值的位置有一定的相关性，这种相关性就是系统的动 态规律性。
上解释了系统的动态性，即检验at 序列是否为白噪声序列。
15. 如何判断时间序列的趋势性？
a.利用序列图进行判断；b.利用样本自相关函数进行平稳性判断；c.利用单位根检验进 行判断。
16.如何用差分的方法消除时间序列的趋势性？(书 133 页)
一阶差分可消除线性趋势，二阶差分可消除二次曲线趋势。若趋势方程为 Yt=a+bt，则
9.m 阶移动模型基本假设是什么？
系统的响应 Xt 仅与 at-1.at-2……at-m 有关而与 at-j(j=m+1.m+2……)无关，且 at 为白噪 声。
10. ARMA(n.m) 模型基本假设是什么？ at 独立于 at-j(j=n.n+1……),从而 at 独立于 Xt-j（j=n+1.n+2……） 11.将下表补充完整：
6
如果时间序列是趋势平稳的，我们就可以用一个线性趋势来拟合这个时间序列，并由此 进行预测。如果时间序列不是趋势平稳的，我们就不能用一个趋势来拟合时间序列，在统计 学中没有对一个时间序列进行单位根检验就直接进行趋势拟合的做法显然是欠妥的。
18. 什么是 ARIMA 模型？
若 X t 的 d 阶差分，Yt (1 B)d X t 是一个平稳的 ARMA(p,q),则称 X t 为具有 p,d,q 阶自回归求和移动平均模型，即 X t ~ARIMA(p,d,q)。
33. 时间序列的趋势，有（确定性）和（非确定性）两种，前者又分为线性趋势和非线 性趋势。
34. 平稳过程的时间序列具有（常数）的均值和方差。
35. 单位根检验一般包含三种情况：（没有常数项）（仅含有常数项）（含有常数项和时 间趋势）。
36. 对于确定性趋势的消除方法有：（最小二乘法）（差分法）。

et (l) X lt Xˆ t (l)
27. 预测误差均方值 E(e2t (l)) E{[ X tl Xˆ t2(l)]}
注意：我们所要做的工作是，求出一个预测值 Xˆ t (l) ，使得 E(e2t (l)) 最小。
28. 预测的三种形式：差分方程形式.传递形式.逆转形式 29. 条件期望预测是最小均方误差预测 30. 对于平稳 ARMA(n,m)模型，特征方程所有特征根绝对值均小于 1，随
16.AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。
1
17.差分可以将非平稳序列转化为平稳序列。
18. AR（1）模型，当1 1时，就变成了随机游走。
19．若时间序列的自相关函数在 m 步截尾，并且偏自相关函数被负指数函数控制收敛 到零，则可判断时间序列为 MA(m)序列。
20．若时间序列的偏自相关函数在 n 步截尾，并且自相关函数被负指数函数控制收敛到 零，则可判断时间序列为 AR(n)序列。
①（ 均值为常数 ） ②（ 协方差为时间间隔 的函数 ）
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。 8. 对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差（均为常数），则称之为白噪声过程。白 噪声过程是一个（宽平稳）过程。 9. 时间序列分析方法按其采用的手段不同可概括为数据图法，指标法和（模型法）
19. 线性趋势平稳的特点：当我们将时间序列中的完全确定的线性趋势去掉以后，所形 成的时间序列就是一个平稳的时间序列。
20. 如何以系统的观点看待时间序列的动态性？ 系统的动态性就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，也就是系统的记 忆性，描述记忆性的函数称为记忆函数。
三、证明题
1. AR(1)模型： X t 1 X t1 at ，其中 at 是白噪声，且 E at2
10.AR（1）模型为：Xt=1 Xt-1+at 11.AR（2）模型为：Xt=1 Xt-1+2 Xt-2+at 12.AR（n）模型为：Xt=1 Xt-1+2 Xt-2+……n Xt-n+at 13.MA（1）模型为：Xt=at-1 at-1 14.MA（m）模型为：Xt=at-1 at-1- 2 at-2……- m at-m 15.ARMA(2.1) 模型为：Xt-1 Xt-1-2 Xt-2 =at-1 at-1
最后，从整体上看，时间序列往往呈现某种趋势性或出现周期性变化的现象。 2．时间序列分析与数理统计学的主要区别是什么？ 答：首先，数理统计学的样本值是对同一随机变量进行 n 次独立重复试验的结果，或是 n 个相互独立同分布的随机变量序列的一个实现，而时间序列则是某一随机过程的一次样本 实现。 其次，在数理统计学中，进行统计推断的目的主要是对某一个随机变量的分布参数进行 估计和假设检验，而时间序列分析中，则是对某一时间序列建立统计模型。 最后，数理统计学中的回归模型描述的是因变量与其他自变量之间的统计静态依存关系； 而时间序列分析中的自回归模型描述的是某一变量自身变化的统计规律性，是某一系统的现 在的行为与其历史行为之间的统计动态依存关系。 3．随机变量和随机过程的区别和联系。 答：主要区别有： （1） 随机变量是定义在样本空间上的一个单值函数；随机过程则是一族时间 t 的函 数。 （2） 对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间 t 无关；而随机过程则与时 间密切相关。 （3） 随机变量描述事物在某一特定时间上的静态；随机过程描述事物发展变化的动 态。 主要联系有：
MA AR ARMA
自相关系数 截尾 拖尾 拖尾
偏自相关系数 拖尾 截尾 拖尾
5
12.请简述 AR(2)，ARMA(1,1)，ARMA(2,1)系统之间的关系
答：ARMA(2,1)的格林函数 G j

g11j

g 22j

1 1 1 2
1j

2 2
1 1
2j
21．若时间序列的自相关函数和偏自相关函数序列均不截尾，但都被负指数函数控制收 敛到零，则时间序列很有可能是 ARMA 序列。
22．建立平稳时间序列模型就是从观察到的有限长度的平稳序列样本出发，通过模型的 识别、模型的定阶、模型的参数估计、适应性检验等步骤建立起适合序列的 ARMA 模型， 为预测和进一步分析做好准备。

42. ARMA 模型的传递形式 X t G j at j j0

43. ARMA 模型的逆转形式 X t I Xj t j at j 1
44. 由 ARMA 模型的传递形式进行预测， X tl 预测 95%的置信区间为
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X tl 1.96 a
G02