2018版高中数学第1章导数及其应用1.5.3微积分基本定理

－1)．
③ʃ basin xdx＝－cos x|ba.
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba.
⑦ʃ
baaxdx＝
a ln
x
a
|ba
(a

0且a
1)．
⑧ʃ
b a
xdx＝ 2
3
3
x2
|ba
b

a

0．
题型探究
有什么关系？
答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2， F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在惟一的F(x)，使得F′(x) ＝f(x)? 答案 不惟一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx
＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx
＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21
＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
解答
反思与感悟
分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定 积分再计算.
解答
命题角度 2 求分段函数的定积分 sin x0≤x<π2，
例 2 (1)求函数 f(x)＝12π≤x≤2， 在区间[0,4]上的定积分； x－12<x≤4
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12，，xx∈∈[[01，，12]，， 又(x－x33)′＝1－x2，(x33－x)′＝x2－1，
解答
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx ＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝(13x3－72x2＋12x)|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝227.
解答
反思与感悟
(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式， 便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x). 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).
解

2 (cos2
x －sin2
x )dx
0
2
2

＝ 2 cos xdx 0

＝sin x |20 1
解答
(3)ʃ
9 4
x(1＋
x)dx.
解
ʃ
9 4
x(1＋
x)dx
＝ʃ 94(
x＋x)dx＝(
2 3
x
3 2
＋12x2)|94
＝(23×9 32＋12f(x)＝1x2＋，21x<，x≤0≤2，x≤1， 求 ʃ 20f(x)dx. 解 ʃ 20f(x)dx ＝ʃ 10(1＋2x)dx＋ʃ 21x2dx ＝(x＋x2)|10＋13x3|21 ＝2＋73＝133.
解答
(2)求 ʃ 2－2|x2－x|dx 的值.
解答
类型二 利用定积分求参数
解答
(3)

2 (sin
x－cos
x )2 dx；
0
2
2
解 ∵(sin 2x－cos 2x)2
＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，


2 (sin
x－cos
x )2 dx＝

2 (1－sin x)dx
0
2
2
0

( x＋cos x)|02
＝(π2＋cos 2π)－(0＋cos 0)＝2π－1.
例3
(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若ʃ
t 0
f(x)dx＝6，则t＝__3_.
解析 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或t＝－2，∵t>0，∴t＝3.
解析 答案
(2)已知2≤
ʃ
2 1
(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__[23_，__2_]__.
解析 ʃ 21(kx＋1)dx＝ 12kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.
解析 答案
引申探究 1.若将本例(1)中的条件改为 ʃt0f(x)dx＝f(2t )，求 t. 解 由 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t， 又 f(2t )＝t－1， ∴t2－t＝t－1，得t＝1.
第1章 1.5 定积分(选学)
1.5.3 微积分基本定理
学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 微积分基本定理
思考1
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则
ʃ
1 0
(2x＋1)dx与F(1)－F(0)
解答
2.若将本例(1)中的条件改为ʃ
t 0
f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值.
解 F(t)＝ʃ t0f(x)dx＝t2－t＝(t－12)2－14(t>0)， 当 t＝12时，F(t)min＝－14.
类型一 求定积分 命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分. (1)ʃ 10(2x＋ex)dx； 解 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
解答
(2)ʃ 21(1x－3cos x)dx； 解 ʃ 21(1x－3cos x)dx＝(ln x－3sin x)|21 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
答案
梳理
(1)微积分基本定理 对于被积函数f(x)，
如果 F′(x)＝f(x)，那么 ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)， 即 ʃ baF′(x)dx＝F(b)－F(a).
(2)常见的原函数与被积函数关系
①ʃ bacdx＝cx|ba(c 为常数).
②ʃ
baxndx＝
n
1
1
xn1
|ba
(n
跟踪训练1 计算下列定积分. (1)ʃ 21(x－x2＋1x)dx； 解 ʃ 21(x－x2＋1x)dx ＝(12x2－13x3＋ln x)|21 ＝(12×22－13×23＋ln 2)－(12－13＋ln 1) ＝ln 2－56.
解答
(2)

2 (cos2
x sin2
x)dx ;
0
2
2