重庆市2019-2020学年度高二第二学期期末联合检测试题 数学【含解析】

重庆市2019-2020学年度高二第二学期期末联合检测试题 数学【含解
析】
一､选择题
1.已知集合{}12,3,5,7,|12A B x x ⎧
⎫
==<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =（ ） A. {2} B. {}3
C. {}2,3
D. {}5,7
【答案】D 【解析】 【分析】
解不等式
1
12
x <-得到集合B ，然后计算A B 即可. 【详解】解不等式
1
12
x <-得2x <或3x >，所以()(),23,B =-∞⋃+∞， 又因为{}2,3,5,7A =，所以{}5,7A B =.
故选：D.
【点睛】本题主要考查分式不等式的解集，与集合的交集运算，属于基础题. 2.复数
10
3i
-的共轭复数是（ ） A. 3i + B. 3i -
C. 3i -+
D. 3i --
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，化简求得
10
33i i
=+-，再结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】根据复数的除法运算，可得
()()()
103103333i i i i i ⋅+==+--+， 所以复数
10
3i
-的共轭复数是3i -. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的定义及应用，其中解答中熟记复数的除法运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
3.在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（ ） A. 随机抽样 B. 散点图
C. 回归分析
D. 独立性检验
【答案】D 【解析】 【分析】
由于独立性检验研究的是两个分类变量间的关系，所以即可得到答案.
【详解】因为已经确定了某地区高中学生体重与身高间具有相关关系，所以不会使用到的统计方法是独立性检验. 故选：D
【点睛】此是考查几种统计方法的区别，属于基础题. 4.命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为（ ） A. 2,20x R x ∀∈+< B. 2,20x R x ∃∈+ C. 2,20x R x ∃∈+ D. 2,20x R x ∀∈+
【答案】B 【解析】 【分析】
根据全称命题与存在性命题
的
关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为“2
,20x R x ∃∈+≤”. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.
5.已知函数()sin f x a x b =+的导函数为f
x ，若13f π⎛⎫
= ⎪⎭
'⎝，则a =（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意求得()cos f x a x '=，再根据13f π⎛⎫
=
⎪⎭
'⎝即可求得a . 【详解】解：由题意知：()cos f x a x '=.
因为13f π⎛⎫
= ⎪⎭
'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 6.设随机变量X 服从正态分布(
)2
1,(0)N σσ>，若(0)0.15P X <=，则(02)P X ≤≤=（ ）
A. 0.35
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.85
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正态分布的对称性得到(2)(0)0.15P X P X >=<=，再利用概率和为1得到选项. 【详解】随机变量X 服从正态分布(
)2
1,(0)
N σ
σ>，因为(0)0.15P X <=，所以
(0)(>2)0.15P X P X <==，
所以(02)120.150.7P X ≤≤=-⨯=， 故选：C.
【点睛】本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型. 7.从3位男生､4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 40
【答案】B 【解析】 【分析】
选取的3人中既有男生又有女生，包括2名男生1名女生和1名男生2名女生两种情况，分别运用组合计数原理可得选项.
【详解】选取的3人中既有男生又有女生，包括2名男生1名女生和1名男生2名女生两种情况，
若3人中有2名男生1名女生，有421
312C C ⋅=种选法； 若3人中有1名男生2名女生，有4312
18C C ⋅=种选法；
所以不同的选法共有12+1830=种. 故选：B.
【点睛】本题考查组合的应用，进行合理地分类是解决本题的关键，属于基础题. 8.5
(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A. 80- B. 20-
C. 120
D. 200
【答案】C 【解析】 【分析】
由5(21)(2)x x -+得555(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，所以只要求出52(2)x x +和5
(2)x +中的
3x 的系数，作差即可.
【详解】解：因为555
(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，
所以5
(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为332255222120C C ⋅-=.
故选：C
【点睛】此题考查求二项展开式的系数，属于基础题.
9.甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为112,,323
，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ） A.
19
B.
12
C.
78
D.
89
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得三人都没通过测试的概率，由此求得三人中至少有一人通过测试的概率. 【详解】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为2111
3239
⨯⨯=，故至少一人通过测试的概率为18199
-
=. 故选：D
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
10.己知曲线()(ln )x
f x x a x e =+在点(1,)e 处的切线经过坐标原点，则a =（ ）
A. e -
B. 2-
C. 1-
D. 2e -
【答案】C 【解析】 【分析】
求出()ln )=(1x a
f x x a x e x
'+++，由导数的几何意义，利用切线过原点得到斜率相等可得. 【详解】()(ln )(ln )()(1l =)+n x x x
a f x x a x e x a x e x a x e x
'''=+++++，
∴(1)(2)f a e '=+，由题知
(2)10
e a e -=+-，故1a =-. 故选：C
【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路,根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
11.已知函数3
()(0)f x ax bx c bc =++<，则函数()
y f x =的
图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
由3
()f x c ax bx -=+是奇函数，其图象关于点
()0,c 对称，故,A C 错误.由选项,B D 中的图象可知，函
数()f x 有两个极值点，且0a >.由'2
()3f x ax b =+，可得0b <.由0bc <，可得0c >，即得答案.
【详解】
3()f x c ax bx -=+是奇函数，
∴函数()y f x c =-的图象关于点()0,c 对称，故,A C 错误.
选项,B D 中，由图象可知，函数()f x 有两个极值点，且0a >.
'2()3,0f x ax b b =+∴<.0,0bc c <∴>.
选项B 中， 0c <，故B 错误； 选项D 中，0c >，故选项D 是可能. 故选：D .
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查利用导数研究函数的图象，属于中档题. 12.已知f
x 是定义在R 上的偶函数()f x 的导函数，当0x <时，()2()xf x f x '<，且(1)0f =，若
00.5.30.5log 3,0.5,log 0.2a b c ===，则（ ）
A. ()()()f a f b f c >>
B. ()()()f b f a f c >>
C. ()()()f c f a f b >>
D. ()()()f c f b f a >>
【答案】B 【解析】 【分析】
把0x <，()2()xf x f x '
<转化为24
()2()
0x f x xf x x
->'，构造新函数2()()f x g x x =，可得()g x 在(,0)-∞上单调递增，通过()f x 为偶函数得出()g x 也是偶函数，进而得出()g x 在(0,)+∞上单调递减，判断
,,a b c 的取值范围，通过()g x 的单调性比较即可得出答案.
【详解】解：当0x <时，22
4
()2()
()2(),()2()0,0x f x xf x xf x f x x f x xf x x
-∴-''∴'>， ∴2()0f x x '
⎛⎫
> ⎪⎝
⎭
，令2()()f x g x x =， ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，
又
()f x 为偶函数，∴()g x 也是偶函数，
∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，又
()()110g f ==，故当()1,1x ∈-时()0g x >，
当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时()0<g x ，
0.52log 3log 3(2,1)a ==-∈--，0.30.3
1
0.5(0,1)2b ==
∈，0.52log 0.2log 5(2,3)c ==∈， 故()0()()g b g a g c >>>， 即
22
2()()()
0f b f a f c b a c
>>>，故()0,()0,()0f b f a f c ><<， 又
2
201a c
<<，
∴2
2()()()a f a f c f c c >>，
()()()f b f a f c ∴>>.
故选：B.
【点睛】本题主要考查构造新函数，由导数判断单调性，利用函数单调性比较大小，属于难题. 二､填空题
13.复数(1)z i i =--的虚部为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】
把复数z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，即得复数z 的虚部. 【详解】
2(1)1z i i i i i =--=--=-，
∴复数z 的虚部为1-.
故答案为：1-.
【点睛】本题考查复数的有关概念，属于基础题.
14.已知具有相关关系的两个变量,x y 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方
程ˆ0.70.35y
x =+，则m =_______. x
3 4
5 6 y
2.5
m
4
4.5
【答案】3 【解析】 【分析】
根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案. 【详解】解：3456 4.54x +++=
=， 2.54 4.51144
m m
y ++++==，
所以样本中心点为：114.5,
4m +⎛⎫
⎪⎝
⎭
. 因为回归方程ˆ0.70.35y
x =+，样本中心点在回归方程上， 所以
110.7 4.50.354
m
+=⨯+，解得：3m =. 故答案为：3.
【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题. 15.某旅馆有三人间､两人间､单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间(必须有成人陪同)，且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种. 【答案】18 【解析】 【分析】
按照题目要求,先排列大人必各住一个房间,由排列数公式计算,再排列两个小孩的房间,分两种情况,最后由分步计数原理可得答案.
【详解】由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间､两人间各一人，所以不同的安排方法有(
)
3
2
32118A A ⨯+=种.
【点睛】本题考查排列组合的应用,以及排列数的计算,涉及到分步计数原理,属于基础题. 16.每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n 次(
)*
2,n n N
∈，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬
币面朝上的次数为X ，若()5E X >，则n 的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】
先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得n 的最小值.
【详解】实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为4
1151216
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题知15~,16X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则15516EX n =
>，即16
3
n >，所以正整数n 的最小值为6. 故答案为：6
【点睛】本小题主要考查二项分布的识别和二项分布期望的有关计算，属于中档题.
三､解答题
17.已知二项式2n
x x ⎛
⎝
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数.
（1）求n 的值；
（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值. 【答案】（1）8n =；（2）1
2
a =±. 【解析】 【分析】
（1）根据二项式系数和列方程，解方程求得n 的值.
（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a 的值. 【
详解】（1）由题知，二项式系数和12
2256n n n n n n
C C C C +++
+==，故8n =；
（2）二项式系数分别为0
1
2
8
8888,,,
,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大，
即为展开式中第5项，∴444
82()70C a -⋅⋅=，即12
a =±
. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于中档题. 18.（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；
（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 【答案】（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=. 【解析】 【分析】
（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .
（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.
【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+
∴223133
a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+；
（2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262
(32)(32)132
a
i i b i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，
即12,26a b =-=.
【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.
19.已知函数32
()1f x x x x =--+.
（1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线； （2）求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答案】（1）1x y +=；（2）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线; （2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
【详解】（1）2()321,(0)1f x x x f ''=--=-，又()01f =，所以切线方程为11(0)y x -=-⋅-，
即1x y +=；
（2）由（1）知()01f x x '
>⇒>或13x <-，∴()f x 在[0,1]上单减，在[1,2]上单增，
又(0)1,(1)0,(2)3f f f ===，∴()f x 在[0,2]上的最大值为3，最小值为0.
【点睛】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.
20.新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：
没有感染新冠病毒 感染新冠病毒 总计
没有注射重组新冠疫苗 10 x A 注射重组新冠疫苗 20 y
B
总计
30
30
60
已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为
512
. （1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？
（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.
附：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -=
=+++++++ ()2P K k
0.05 0.010 0.005 0.001 k
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13
203
. 【解析】 【分析】
（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】（1）由题知
205
6012
y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴22
60(1052520)108
15.42910.828352530307
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；
（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则
213
52553
3013203
C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至
多”等，属于中档题.
21.某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立. （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；
（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）0216．；（2）分布列答案见解析，2.944. 【解析】 【分析】
（1）由题意分析可得，不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，然后分别讨论甲乙赢得比赛情况，计算总得分，找到符合题意的情况，计算概率即可.
（2）利用二叉树表呈现打X 个球和甲乙得分情况，可得X 的所有可能取值为2，3，4，分别计算概率、列分布列求期望.
【详解】（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：
①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.60.60.60.216⨯⨯=； ②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意； 故所求概率为0.216.
（2）分析接下来的比赛过程中甲､乙的得分情况： 标记甲赢为事件A ，乙赢为事件B
1234
(6:3)
(5:3)(7:5)(5:5)(5:6)(4:3)(6:5)(4:5)(4:6)A A A B B A A B B ⎧⎧⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎩⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩
； 123
(6:5)
(5:5)(3:5)(5:7)
(3:6)A A B B B ⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪⎩
故X 的所有可能取值为2，3，4，
(2)0.40.50.2P X ==⨯=，
(3)0.6(0.60.60.41)0.40.510.656P X ==⨯⨯+⨯+⨯⨯=，(4)0.60.60.410.144P X ==⨯⨯⨯=，
X 的分布列为 X
2
3
4
P
0.2 0.656 0.144
20.230.65640.144 2.944EX =⨯+⨯+⨯=.
【点睛】本题考查了随机事件独立性的综合应用、分布列和数学期望等基本数学知识，考查了理解辨析、分类讨论、数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 22.已知函数2
()ln 2f x x a x x =--，a R ∈.
（1）若函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()
1212
f x f x x x +的取值范围. 【答案】（1）1
2
a ≤-；（2）(,32ln 2)-∞--. 【解析】 【分析】
（1）先对函数求导，根据题意，得到()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≤-恒成立，进而可求出结果；
（2）先由题意，根据（1）得到2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根1x ，2x ，且1
02
a -
<<，则121x x =+，122a x x =-，不妨假设12x x <，则1
1
02
x <<， 将()()1212f x f x x x +化为()()111121ln 2ln 13x x x x -+--， 令1()(1)ln ln(1)02
g x x x x x x ⎛⎫
=-+-<< ⎪⎝
⎭
，对其求导，用导数
的方法求出取值范围，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，22
22()22a x x a
f x x x x
--'=--=，0x >，
因为函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，
即2
22a x x ≤-恒成立，而2
2
111222222x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝
⎭，∴12a ≤-； （2）因为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，
所以由（1）可得：2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根1x ，2x ，且1
02
a -
<<，则121x x =+，122
a
x x =-，
不妨假设12x x <，则11
02
x <<， ∴
()()1212
121212121
2ln ln ln ln 223f x f x x x x x x a x a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1212211211111
2ln ln 322ln 2ln 321ln 2ln 13x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-=-+-- ⎪⎝⎭，
令1()(1)ln ln(1)02g x x x x x x ⎛
⎫=-+-<<
⎪⎝
⎭
， 则1112()ln ln(1)ln 11(1)x x x
g x x x x x x x x --⎛⎫'=-+
+--=-+ ⎪--⎝⎭
， 显然
1
11x
->，120x ->， 故()0g x '>，∴()g x 单调递增， 又11ln 22g ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
，0x →时()g x →-∞， ∴1(),ln 2g x ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭，
∴
()()1212
(,32ln 2)f x f x x x +∈-∞--. 【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，以及求函数值域的问题，熟记导数的方法研究函数单调性以及极值、最值等即可，属于常考题型.。